(改)考研数学历年真题(1987-2013)年数学一_可直接打印(纯试题) 3

试题答案及解析请参见本人上传的其他资料！！！

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x

y x =?取得极小值.

(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.

1

x =

(3)与两直线 1y t =-+及121

111

x y z +++==

都平行且过原点的平面方程为_____________.

2z t =+

(4)设L 为取正向的圆周2

2

9,x y +=则曲线积分

2(22)(4)L

xy y dx x x dy -+-?

= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标

是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a 与,b 使等式2

01lim

1sin x x bx x →=-?成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x ????

(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014??

??=??????

A 求矩阵.B

四、(本题满分8分)

求微分方程2

6(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()()

lim

1,()x a

f x f a x a →-=--则在x a =处

(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值

(D)()f x 的导数不存在

(2)设()f x 为已知连续函数0

,(),s t I t f tx dx =?

其中0,0,t s >>则I 的值

(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s

(D)依赖于s ,不依赖于t

(3)设常数0,k >则级数21

(1)n

n k n

n

∞

=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛

(D)散敛性与k 的取值有关

(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*

A 是A 的伴随矩阵，则*

||A 等于

(A)a

(B)

1a

(C)1n a -

(D)n a

六、（本题满分10分） 求幂级数1

112n n n x n ∞

-=∑

的收敛域，并求其和函数.

七、（本题满分10分） 求曲面积分

2

(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑

=++--??

其中∑

是由曲线13()0z y f x x ?=≤≤?

=?

=??

绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2

π

八、（本题满分10分）

设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =

九、（本题满分8分）

问,a b 为何值时,现线性方程组

123423423412340221(3)2321

x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X

的概率密度函数为2

21

(),x

x f x -+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差

为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为

(

)X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0

y - 0

0y y >≤,

求2Z X Y =+的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求幂级数1

(3)3n

n

n x n ∞

=-∑的收敛域. (2)设2

()e ,[()]1x f x f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域. (3)设∑为曲面2

2

2

1x y z ++=的外侧,计算曲面积分3

3

3

.I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=

++??

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x

→∞

=+则()f t '= _____________.

(2)设()f x 连续且

31

(),x f t dt x -=?

则(7)f =_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =

2

2x

1001

x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在

1x =处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式

4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 可导且01

(),2

f x '=则0x ?→时,()f x 在0x 处的微分dy 是

(A)与x ?等价的无穷小 (B)与x ?同阶的无穷小 (C)比x ?低阶的无穷小 (D)比x ?高阶的无穷小

(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加

(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则 (A)1

2

4xdv dv ΩΩ=??????

(B)1

2

4ydv ydv ΩΩ=??????

(C)

1

2

4zdv zdv ΩΩ=??????

(D)

1

2

4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????

(4)设幂级数

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛

(B)绝对收敛

(C)发散

(D)收敛性不能确定

(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关

(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设()(),x y

u yf xg y x

=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y ??+???

五、(本题满分8分)

设函数()y y x =满足微分方程322e ,x

y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线2

1y x x =--在该点处

的切线重合,求函数().y y x =

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2

(0k

k r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿

直线y =

自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

已知,=AP BP 其中100100000,210,001211????

????==-????????-????

B P 求5

,.A A

八、（本题满分8分）

已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ??

??=????-??

B 相似. (1)求x 与.y

(2)求一个满足1

-=P AP B 的可逆阵.P

九、（本题满分9分）

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()

y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19

,27

则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于

6

5

”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

2

2

(),(2.5)0.9938,u x

x du φφ-==?

则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 的概率密度函数为2

1

(),(1)

X f x x π=

-

求随机变量1Y =().Y f y

1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)

lim 2h f h f h

→--= _____________.

(2)设()f x 是连续函数,且1

()2

(),f x x f t dt =+?

则()f x =_____________.

(3)设平面曲线L

为下半圆周y =则曲线积分

22

()L

x y ds +?

=_____________.

(4)向量场div u 在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.

(5)设矩阵300100140,010,003001????????==????????????

A I 则矩阵1

(2)--A I =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当0x >时,曲线1sin

y x x

= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面2

2

4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是 (A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2)

(D)(1,1,2)--

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)11223c y c y y ++

(B)1122123()c y c y c c y +-+

(C)1122123(1)c y c y c c y +---

(D)1122123(1)c y c y c c y ++--

(4)设函数2

(),01,f x x x =≤<而1

()sin ,,n

n S x b

n x x π∞

==

-∞<<+∞∑其中

102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==? 则1

()2S -等于

(A)12- (B)14-

(C)14 (D)12

(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求

2.z

x y ???

(2)设曲线积分

2

()c

xy dx y x dy ?+?与路径无关,其中()x ?具有连续的导数,且(0)0,?=计算

(1,1)

2(0,0)

()xy dx y x dy ?+?

的值.

(3)计算三重积分

(),x z dv Ω

+???

其中Ω

是由曲面z =

与z =所围成的区域.

四、(本题满分6分) 将函数1()arctan 1x

f x x

+=-展为x 的幂级数.

五、(本题满分7分) 设0

()sin ()(),x

f x x x t f t dt =-

-?

其中f 为连续函数,求().f x

六、（本题满分7分）

证明方程0

ln e x x π

=

-?在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.

七、（本题满分6分）

问λ为何值时,线性方程组

13x x λ+=

123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)

1

λ

为1-A 的特征值. (2)

λ

A

为A 的伴随矩阵*A 的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为R 的球面∑的球心在定球面2

2

2

2

(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那

部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件

A B 的概率()P A B =____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程2

10x x ξ++=有实根的概率是____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)

的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数

.

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2x t =-+

(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.

1z t =-

(2)设a 为非零常数,则lim()x

x x a x a

→∞+-=_____________.

(3)设函数()f x =

10

11

x x ≤>,则[()]f f x =_____________.

(4)积分

2

2

2

e y x

dx dy -?

?的值等于_____________.

(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),x

x

F x f t dt -=?

则()F x '等于

(A)e (e )()x

x f f x ----

(B)e (e )()x

x f f x ---+

(C)e

(e )()x x f f x ---

(D)e

(e )()x

x f f x --+

(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2

()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()

()

n f x 是

(A)1

![()]

n n f x + (B)1

[()]

n n f x +

(C)2[()]n

f x

(D)2![()]n

n f x

(3)设a 为常数,则级数2

1

sin()[n na n ∞

=-∑ (A)绝对收敛

(B)条件收敛 (C)发散

(D)收敛性与a 的取值有关

(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()

(0)0,lim 2,1cos x f x f x

→==-则在点0x =处()f x

(A)不可导

(B)可导,且(0)0f '≠ (C)取得极大值

(D)取得极小值

(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是

(A)12

11212()2k k -+++

ββααα (B)12

11212()2k k ++-+

ββααα (C)12

11212()2

k k -+++ββαββ

(D)12

11212()2

k k ++-+ββαββ

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

1

20ln(1).

(2)x dx x +-?

(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求

2.z

x y ???

(3)求微分方程244e

x

y y y -'''++=的通解(一般解).

四、(本题满分6分) 求幂级数

(21)n

n n x

∞

=+∑的收敛域,并求其和函数.

五、(本题满分8分) 求曲面积分

2S

I yzdzdx dxdy =+??

其中S 是球面222

4x y z ++=外侧在0z ≥的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

11002

13401100

213,0011002100010

002-????

????-?

???==????

-????

????

B C 且矩阵A 满足关系式

1()-''-=A E C B C E

其中E 为四阶单位矩阵1

,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A

八、（本题满分8分）

求一个正交变换化二次型222

12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受

变力F 作用(见图).F

的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2

π

求变力F 对质点P 所作的功

.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X 的概率密度函数

1()e ,2

x

f x x -=-∞<<+∞

则X 的概率分布函数()F x =____________.

(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率

()P AB =____________.

(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即2

2e {},0,1,2,,!

k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设

2

1c o s x t

y t

=+=,则

2

2

d y

dx =_____________.

(2)由方程xyz (,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.

(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211

x y z x y z

l l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.

(4)已知当0x →时123

,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.

(5)设4阶方阵520

02

100,00120011??

???

?=??

-??

??

A 则A 的逆阵1-A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线2

2

1e 1e

x x y --+=

- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线

(C)仅有铅直渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2)若连续函数()f x 满足关系式20

()()ln 2,2

t

f x f dt π

=+?

则()f x 等于 (A)e ln 2x (B)2e ln 2x (C)e ln 2x +

(D)2e ln 2x +

(3)已知级数1

211

1

(1)

2,5,n n n n n a a ∞

∞

--==-==∑∑则级数1

n n a ∞

=∑等于

(A)3 (B)7

(C)8

(D)9

(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则

(cos sin )D

xy x y dxdy +??等于

(A)12cos sin D x ydxdy ??

(B)1

2

D xydxdy ??

(C)1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +??

(D)0

(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求20

.x π

+

→

(2)设n 是曲面222

236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方

向n

的方向导数.

(3)

2

2

(),x

y z dv Ω

++???其中Ω是由曲线

220

y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分

3(1)(2)L

y dx x y dy +++?

的值最小.

五、(本题满分8分)

将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数21

1

n n ∞

=∑的和. 六、（本题满分7分）

设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

23

3()(0),f x dx f =?

证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=

七、（本题满分8分）

已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?

(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式

.

八、（本题满分6分）

设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)

随机地向半圆0y a <<

为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正

比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为

(,)f x y =

(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它

求随机变量2Z X Y =+的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e

cos()0x y

xy ++=确定,则

dy

dx

=_____________.

(2)函数2

2

2ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad M

u =_____________.

(3)设()f x =

2

11x

-+

00x x ππ

-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.

(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.

(5)设111212121

212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ?????

?=??

?

?

??

A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当1x →时,函数12

1

1

e 1

x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0

(C)为∞

(D)不存在但不为∞

(2)级数

1

(1)(1cos )(n

n a n ∞

=--∑常数0)a > (A)发散

(B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与a 有关

(3)在曲线2

3

,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条

(D)不存在

(4)设3

2

()3,f x x x x =+则使()

(0)n f 存在的最高阶数n 为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(5)要使12100,121???? ? ?

== ? ? ? ?-????

ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为

(A)[]212-

(B)201011-??

?

?

??

(C)102011-????-??

(D)011422011-??

??--??????

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求0

x x →

(2)设2

2

(e sin ,),x

z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求

2.z

x y ???

(3)设()f x = 21e

x x -+ 0

0x x ≤>,求31(2).

f x dx -?

四、(本题满分6分) 求微分方程323e x

y y y -'''+-=的通解.

五、(本题满分8分) 计算曲面积分

3

23232()()(),x

az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑

+++++??其中∑

为上半球面z =上侧.

六、（本题满分7分）

设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+

七、（本题满分8分）

在变力F yzi zxj xyk =++ 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面222

2221x y z a b c

++=上第一卦限的点

(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F

所做的功W 最大?并求出W 的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为

1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3??

?= ? ???

β

(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n

n A β为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11

()()(),()0,()(),46

P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.

(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X

E X -+=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2

(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,

其中22

()e

)t x

x dt -

-∞

Φ=

?

.

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

函数1

()(2(0)x

F x dt x =

>?

的单调减少区间为_____________.

(2)由曲线

2232120

x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为

_____________.

(3)设函数2

()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01

(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞

=++∑则其中系数3

b 的值为_____________.

(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.

(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设sin 234

()sin(),(),x

f x t dt

g x x x =

=+?

则当0x →时,()f x 是()g x 的

(A)等价无穷小

(B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小

(D)低价无穷小

(2)双纽线2

22

2

2

()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为

(A)40

2cos 2d π

θθ?

(B)40

4cos 2d π

θθ?

(C)2

θ

(D)2

40

1(cos 2)2d πθθ?

(3)设有直线1158:121

x y z l --+==

-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)

6π

(B)

4π (C)3

π

(D)2

π

(4)设曲线积分

[()e ]sin ()cos x L

f t ydx f x ydy --?

与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则

()f x 等于

(A)e e 2

x x --

(B)e e 2

x x --

(C)e e 12

x x -+-

(D)e e 12

x x

-+-

(5)已知12324,369t ????=??????

Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1

(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1

(D)6t ≠时P 的秩必为2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sin

cos ).x x x x →∞

+

(2)求.

x

(3)求微分方程2

2

,x y xy y '+=满足初始条件1

1x y ==的特解.

四、(本题满分6分) 计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-?? 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.

五、(本题满分7分) 求级数20

(1)(1)

2n n

n n n ∞

=--+∑的和.

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零

点. (2)设,b a e >>证明.b a a b >

七、（本题满分8分）

已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212

325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.

八、（本题满分6分）

设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中,n m

九、（本题满分6分）

设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2

Y X

=在(0,4)内的概率分布密度

()Y f y =____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2

x

f x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX

(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?

1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)0

11

limcot (

)sin x x x

π→-= _____________.

(2)曲面e 23x

z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3)设e sin ,x

x u y -=则2u x y ???在点1

(2,)π

处的值为_____________.

(4)设区域D 为2

2

2

,x y R +≤则22

22()D

x y dxdy a b +??=_____________.

(5)已知11

[1,2,3],[1,,],23

==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n

A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设4342342

2

22222

sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x π

ππ

π

ππ---

==+=-+???则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P <<

(D)P M N <<

(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数0,λ>且级数21

n

n a ∞

=∑收敛,

则级数1

(1)n

n ∞

=-∑(A)发散 (B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与λ有关

(4)2

tan (1cos )lim

2,ln(12)(1)

x x a x b x c x d e

-→+-=-+-其中2

2

0,a c +≠则必有

(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c =

(D)4a c =-

(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)

设

2

2

2

1

c o s ()

c o s ()c o s t x t y t t udu ==-?

,求dy dx 、22d y

dx

在t =.

(2)将函数111

()ln arctan 412

x f x x x x +=

+--展开成x 的幂级数.

(3)求

.

sin(2)2sin dx

x x +?

四、(本题满分6分)

计算曲面积分2222

,S

xdydz z dxdy x y z +++??其中S 是由曲面222

x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2

[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()

lim 0,x f x x →=证明级数1

1()n f n ∞

=∑绝对收敛.

七、（本题满分6分）

已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.

八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为

122400

x x x x +=-=,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

九、（本题满分6分）

设A 为n 阶非零方阵*

,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.

≠A

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. (2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为

则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2

(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32

X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.

(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?

1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)2sin 0

lim(13)

x

x x →+=_____________.

(2)

2

02

cos x

d x t dt dx ?= _____________.

(3)设()2,?=a b c 则[()()]()+?++a b b c c a =_____________.

(4)幂级数2112(3)n n n

n n

x ∞

-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式1

6,-=+A BA A BA 且10031

0,4100

7?????

?

??=?????????

?

A 则

B =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线

:L 3210

21030

x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L

(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π

(D)与π斜交

(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>

(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->

(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件

(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件

(4)设(1)ln(1n

n u =-则级数 (A)

1n

n u

∞

=∑与

2

1

n

n u

∞

=∑都收敛

(B)

1n

n u

∞

=∑与

2

1

n

n u

∞

=∑都发散

(C)

1

n

n u

∞

=∑收敛,而

2

1

n

n u

∞

=∑发散 (D)

1

n

n u

∞

=∑收敛,而

2

1

n

n u

∞

=∑发散

(5)设11121311

12132122232122231231

32

3331

32

33010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????????

????????====????????

????????????????

A B P P 则必有

(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B

(D)21P P A =B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2

(,,),(,e ,)0,sin ,y

u f x y z x z y x ?===其中,f ?都具有一阶连续偏导数,且

0.z ??≠?求.du

dx

(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设

1

(),f x dx A =?

求11

()().

x

dx f x f y dy ??

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分

,zdS ∑

??

其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.

(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33

(,),22

求L 的方程.

六、(本题满分8分)

设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分

2(,)L

xydx Q x y dy +?

与路径无关,并且对任意t

恒有(,1)

(1,)

(0,0)

(0,0)

2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+?

?

求(,).Q x y

七、（本题满分8分）

假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:

(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠

(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使

()()

.()()f f g g ξξξξ''=''

八、（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1????=??????

ξ求.A

九、（本题满分6分）

设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,

则2

X 的数学期望2

()E X =____________.

(2)设X 和Y 为两个随机变量,且

34

{0,0},{0}{0},77

P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=

则{max(,)0}P X Y ≥=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 的概率密度为

()X f x = e 0x - 0

x x ≥<,

求随机变量e X Y =的概率密度().Y f y

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设2lim()8,x

x x a x a

→∞+=-则a =_____________.

(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e x

y y y '''-+=的通解为_____________.

(4)

函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.

(5)设A 是43?矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103????=????-??

B 则()r AB =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知2

()()

x ay dx ydy

x y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1

(D)2

(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0

()

(0)0,lim

1,x f x f x

→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值

(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点

(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞

=∑收敛,常数(0,),2π

λ∈则级数21

(1)(tan )n n n n a n λ

∞

=-∑ (A)绝对收敛

(B)条件收敛

(C)发散

(D)散敛性与λ有关

(4)设有()f x 连续的导数220

,(0)0,(0)0,()()(),x

f f F x x t f t dt '=≠=-?

且当0x →时,()F x '与k x 是同阶

无穷小,则k 等于

(A)1

(B)2 (C)3

(D)4

(5)四阶行列式

1122334

4

0000000

a b a b a b b a 的值等于

(A)12341234a a a a b b b b -

(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --

(D)23231414()()a a b b a a b b --

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.

(2)

设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

(2),S

x z dydz zdxdy ++??

其中S 为有向曲面22

(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.

(2)设变换 2u x y

v x a y =-=+可把方程2222260z z z x x y y ???+

-=????简化为20,z

u v

?=??求常数.a

五、(本题满分7分) 求级数

211

(1)2

n

n n ∞

=-∑的和.

六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于

01(),x

f t dt x

?求()f x 的一般表达式.

七、（本题满分8分）

设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.

2b

f c a '≤+

八、（本题满分6分）

设,T

A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T

ξ是ξ的转置.证明

(1)2

=A A 的充分条件是 1.T

=ξξ

(2)当1T

=ξξ时,A 是不可逆矩阵.

九、（本题满分8分）

已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,

(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.

(2)设,ξη

是两个相互独立且均服从正态分布2

)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.

十一、（本题满分6分）

设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1

(),1,2,3.3

P i i ξ=== 又设max(,),min(,).X Y ξηξη==

(1)

(2)求随机变量X 的数学期望().E X

1997年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)201

3sin cos

lim

(1cos )ln(1)

x x x x x x →+++=_____________.

(2)设幂级数

1

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径为3,则幂级数

1

1

(1)

n n

n na x ∞

+=-∑的收敛区间为_____________.

(3)对数螺线e θ

ρ=在点2(,)(e ,

)2

π

π

ρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.

(4)设12243,311t -????=????-??

A B 为三阶非零矩阵,且

,=AB O 则t =_____________.

(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二

个人取得黄球的概率是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)二元函数(,)f x y = 22

(,)(0,0)0(,)(0,0)

xy

x y x y x y ≠+=,在点(0,0)处

(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在

(D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令

1231

(),()(),[()()](),2

b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-?

则

(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<

(D)231S S S <<

(3)设2sin ()e sin ,x t x

F x tdt π

+=

?

则()F x

(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零

(D)不为常数

(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ????????????===??????????????????

ααα则三条直线 1112223330,0,0

a x

b y

c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 (A)123,,ααα线性相关

(B)123,,ααα线性无关

(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα

(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是 (A)8 (B)16 (C)28 (D)44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)计算2

2

(),I x

y dv Ω

=

+???其中Ω为平面曲线

220

y z x ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的

区域.

(2)计算曲线积分

()()(),c

z y dx x z dy x y dz -+-+-? 其中c 是曲线 221

2x y x y z +=-+=从z 轴正向往z 轴负向看c

的方向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t