中北大学2007 - 2008学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案与评分标准

2007/2008学年第一学期末考试试题（A卷）

数值分析参考答案与评分标准

使用班级： 07研

一、填空题(每空3分，共30分)

??a?b作为1. 设a?1.1062,b?0.947是x,y经过四舍五入后得到的近似值，则以uu?x?y的近似值有 3 位有效数字；

2. 已知x?(1,?2)，A???T?7?2??，则AX???31?1? 16 ；A?? 9 ；

3. 设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则f[0,1]? 16 ，f[0,1,2]? 7 ；f(x)的二次

Newton插值多项式为7x?9x；又若f?(0)?3，则f(x)的三次Hermite插值多项式为?3x?16x?3x；（注：任何可化简为本答案对应的多项式都给分）

4. 若在采用对分法求解非线性方程x?cosx?0时，取初始有根区间为?a0,b0???0,??，则

322???2?经过两次迭代后的有根区间?a2,b2???π,π??[0.3926991,0.7853982]；

??84??5. 求解初值问题y?(t)?f(t,y),y(t0)?y0的改进Euler法的格式为

h?y?y?(k1?k2)n?n?12??k1?f(tn,yn)?k?f(t?h,y?hk)nn1?2?，它是 2 阶方法。

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二、解答下列各题(每小题12分，共24分)

三(本题16分) 用11个结点的复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分

1?1xdx，并从理

2论上分析其绝对误差限，然后同真正的绝对误差进行比较。 解：复化梯形公式

............................................ 1分 n?10,h?0.1,，求积节点xk?1?0.1k,k?0,1,2,?,10

由复化梯形求积公式得

910.1?11?dx?1??2???0.6937714 ........................................................ 6分 ?1x2?21?0.1kk?1??截断误差：RT??b?ah2f??(?)??0.01??[1,2] 3126?所以绝对误差限 RT?max0.01?0.01?0.0017?? ............................................. 7分 31?x?26x621?4实际误差 e??dx?0.6937714?ln2?0.6937714??10?6.242?............. 8分

1x2复化Simpson公式

m?5,h?0.1,，求积节点xk?1?0.1k,k?0,1,2,?,10 ............................................. 9分

由复化Simpson求积公式得

?........................................... 14分 ??0.6931502

?4(4)截断误差：RS??b?ahf(?)??0.0002??[1,2]

18015?50.0002?1.34?10?5?? ........................... 15分 所以绝对误差限 RS?max0.0002?1?x?215?515?521?6实际误差 e??dx?0.6931502?ln2?0.6931502??10?3.05? ......... 16分

1x?21?.3．设A=??，用幂法求A的按模最大的特征值及对应的一个特征向量。取初始特征向量

12??25410.1?111dx?1??4?2????1x3?2i?1x2i?1i?1x2i?1????进行1次迭代计算。要求使用1-范数进行计算，写出详细计算过程。 ?0.99?解：（使用1-范数）求A按模最大的特征值的反幂法迭代格式如下：

为x(0)

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?取初始非零向量u(0)?Rn?n???ui(k?1)?k?1?i?1?(k?1)(k?1)u???y?k?1 .............................................................. 7分 ??u(k)?Ay(k?1)?n?(k)??u?ki?i?1???(k?1,2,?)(0)取u?1??1.5025126?(1)??u?进行计算，得............................................ 10分 ???，?1?3。 ?0.99??1.4974874?注：若采用其他范数进行计算，可酌情给分，但不得给满分。

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