2016中考数学第一轮复习培优班12 - 几何三角形部分（选

2016中考数学第一轮复习培优班12——几何三角形部分（选择专项二）

一．选择题（共30小题） 1．（2015春?昆明校级期末）如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 2．（2015春?苏州校级期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）

A．180° B．270° C．360° D．540° 3．（2015秋?武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2015?齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2015?黄冈中学自主招生）如右上图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 6．（2015?深圳模拟）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）

第1页（共33页）

A．

B．

C．

D．不能确定

7．（2015?绵阳模拟）如右上图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是（ ）

A．5 B．7 C．5 D．无法确定 8．（2015?大竹县校级模拟）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； （3）CD+CE=OA；

222

（4）AD+BE=DE．

其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2015秋?仪征市期中）如右上图，△ABC中，AB=6，

AC=8，BD，CD平分∠ABC、∠ACB，过D作平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14 10．（2015秋?武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（ ）

A．7

B．6

C．8

D．9

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11．（2014秋?南长区期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：

①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）个．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 12．（2014秋?商丘期末）如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：

①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB+AC，

其中正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 13．（2013秋?中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）

A．8+2a

B．8+a

C．6+a D．6+2a

14．（2013秋?绍兴校级期中）如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）

A．6 B．9 C． D．27 15．（2012春?武侯区校级期末）已知：如右上图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

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16．（2012秋?黄州区校级期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）

A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135°

17．（2014?新洲区模拟）如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A2010OA2011的最小边长为（ ）

A．2

2009

B．2

2010

C． D．

18．（2014?宜宾县校级模拟）如右上图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（ ） A．2.5 B．3.5 C．2 D．+1 19．（2015?德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）

A．60° B．45° C．30° D．75° 20．（2015春?威海期末）如图，在四边形ABCD中，

∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于（ ）

A．5° B．10° C．20° D．30°

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21．（2015春?澧县校级期中）如图所示：CE，BF是△ABC的两条高，M是BC的中点，连ME，MF，∠BAC=50°，则∠EMF的大小是（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80° 22．（2015?鞍山）如图，点O在线段AB上，AO=1，OB=2，OC为射线，且∠BOC=120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（ ）

A．t=1

B．t=1或

C．t=

D．t=1或

23．（2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5 24．（2015?科左中旗校级一模）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）

A．9 B．10 C． D． 25．（2015?黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）

A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm

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26．（2015秋?滨湖区期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（ ）

A．3 B．3 C．4 D．4 27．（2014?郸城县校级模拟）如图，∠XOY=90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC=1，则OC=（ ）

A． B． C． D． 28．（2014?成都模拟）如图，P是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置，则∠APP′的度数为（ ）

A．30° B．45° C．50° D．60° 29．（2015春?重庆校级期末）如图所示，?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（ ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 30．（2015春?龙岗区期末）如右上图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为（ ） A．2

B．

C．1

D．

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2016中考数学第一轮复习培优班12——几何三角形部分

（选择专项二）参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题） 1．（2015春?昆明校级期末）如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 【考点】三角形内角和定理．

【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可． 【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k， 则2k+3k+4k=180°， 解得k=20°，

所以，最大的角为4×20°=80°， 所以，三角形是锐角三角形． 故选A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便． 2．（2015春?苏州校级期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）

A．180° B．270° C．360° D．540°

【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．

【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和． 【解答】解：由题意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'， ∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°． 故选C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键． 3．（2015秋?武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】直角三角形全等的判定．

【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可．

【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确； ②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确； ③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；

④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确； 故选D．

【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 4．（2015?齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点

D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理． 【专题】压轴题．

【分析】①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断

出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN；

，可得S△CDN=S△ABC，

②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=所以S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．

③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF． ④首先判断出

，DM=

FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的

方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF． 【解答】解：∵D是BC中点，N是AC中点， ∴DN是△ABC的中位线， ∴DN∥AB，且DN=

；

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M， ∴M是AB的中点，

第8页（共33页）

∴EM=又∵DN=

， ，

∴EM=DN， ∴结论①正确；

∵DN∥AB，

∴△CDN∽ABC， ∵DN=

，

∴S△CDN=S△ABC， ∴S△CDN=S四边形ABDN， ∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，

∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM=

；

，

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=

， ，

∴DM=FN，

∵DM∥AC，DN∥AB，

∴四边形AMDN是平行四边形， ∴∠AMD=∠AND，

又∵∠EMA=∠FNA=90°， ∴∠EMD=∠DNF， 在△EMD和△DNF中，

，

∴△EMD≌△DNF，

第9页（共33页）

∴DE=DF，

∴结论③正确；

如图2，连接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中点，EM⊥AB，

∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°， ∴

，

∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM=

；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°， 又∵DM=， ∴DM=FN=

FA，

∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD， ∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC =360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD） =90°+∠AMD

∴∠EMD=∠EAF，

在△EMD和△∠EAF中，

∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED=∠AEF，

∵∠MED+∠AED=45°， ∴∠AED+∠AEF=45°， 即∠DEF=45°， 又∵DE=DF， ∴∠DFE=45°，

∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴DE⊥DF，

第10页（共33页）

，

∴结论④正确．

∴正确的结论有4个：①②③④． 故选：D． 【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．

（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．（2015?黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°． ∴∠BCE=∠ACD． ∴△BCE≌△ACD．

∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．

又点P与点M分别是线段BE和AD的中点， ∴BP=AM．

∴△BCP≌△ACM．

∴PC=MC，∠BCP=∠ACM． ∴∠PCM=∠ACB=60°． ∴△CPM是等边三角形． 故选：C． 【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质． 6．（2015?深圳模拟）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）

第11页（共33页）

A．

B．

C．

D．不能确定

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三

角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．

【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ，

在△PFD和△QCD中

，

∴△PFD≌△QCD， ∴FD=CD， ∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=3， ∴DE=， 故选B．

第12页（共33页）

【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 7．（2015?绵阳模拟）如图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是（ ）

A．5 B．7 C．5 D．无法确定

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】几何图形问题．

【分析】通过AAS证得△ABE≌△ECD，则对应边AE=ED，BE=CD．在直角△ABE中利用勾股定理求得AE的长度，然后再在直角△AED中利用勾股定理来求AD的长度． 【解答】解：如图，∵∠C=∠B=90°，∠AED=90°， ∴∠1=∠2．

在△ABE与△ECD中，

，

∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴AE=ED，BE=CD=4，

∴在直角△ABE中，由勾股定理得 AE=AB+BE=3+4=5．则AE=5． 在等腰直角△AED中，AD=AE=5． 故选：C．

2

2

2

2

2

2

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形．利用全等三角形的性质求得AE=ED，BE=CD=4是解题的关键． 8．（2015?大竹县校级模拟）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； （3）CD+CE=OA；

222

（4）AD+BE=DE．

其中正确的结论有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对； 结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；

结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断． 结论（4）正确．利用全等三角形和勾股定理进行判断． 【解答】解：结论（1）错误．理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC． ∵OC⊥AB，OD⊥OE， ∴∠AOD=∠COE． 在△AOD与△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA）． 同理可证：△COD≌△BOE．

结论（2）正确．理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴S△AOD=S△COE，

∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．

结论（3）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．

结论（4）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴AD=CE；

∵△COD≌△BOE， ∴BE=CD．

222

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD+CE=DE，

222

∴AD+BE=DE．

综上所述，正确的结论有3个，

第14页（共33页）

故选C．

【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点． 9．（2015秋?仪征市期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BD，CD平分∠ABC、∠ACB，过D作平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果． 【解答】解：∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，

∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB， ∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD， ∴ED=EB，FD=FC， ∵AB=5，AC=8，

∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=6+8=14． 故选D．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键． 10．（2015秋?武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（ ）

A．7 B．6 C．8 D．9

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

第15页（共33页）

【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．

【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠CDF， ∴∠DFC=∠FDC， ∴CF=CD， 同理BE=AB，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴AB=BE=CF=CD=5， ∴BC=BE+CF﹣EF=8， ∴AD=BC=8． 故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD． 11．（2014秋?南长区期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：

①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）个．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；

②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形； ③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．

④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°，

第16页（共33页）

∵OP=OC， ∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； 故①正确；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC，

∴△OPC是等边三角形； 故②正确；

在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP； 故③正确；

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC， ∴CH=CD，

∴S△ABC=AB?CH，

S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP?CH+OA?CD=AP?CH+OA?CH=CH?（AP+OA）=CH?AC，

∴S△ABC=S四边形AOCP； 故④正确． 故选D．

第17页（共33页）

【点评】本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线． 12．（2014秋?商丘期末）如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：

①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB+AC，

其中正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：①∵IB平分∠ABC， ∴∠DBI=∠CBI， ∵DE∥BC，

∴∠DIB=∠CBI， ∴∠DBI=∠DIB， ∴BD=DI，

∴△DBI是等腰三角形， 故本选项正确；

②∵∠BAC不一定等于∠ACB， ∴∠IAC不一定等于∠ICA， ∴△ACI不一定是等腰三角形， 故本选项错误；

第18页（共33页）

③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴AI平分∠BAC， 故本选项正确；

④∵BD=DI，同理可得EI=EC，

∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC， 故本选项正确；

其中正确的是①③④， 故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键． 13．（2013秋?中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【专题】计算题．

【分析】△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解． 【解答】解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP ∴△MNP是等边三角形． 又∵MQ⊥PN，垂足为Q，

∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°， ∵NG=NQ，

∴∠G=∠QMN， ∴QG=MQ=a，

∵△MNP的周长为12， ∴MN=4，NG=2，

∴△MGQ周长是6+2a． 故选D．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．

第19页（共33页）

14．（2013秋?绍兴校级期中）如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）

A．6 B．9 C． D．27 【考点】等边三角形的判定与性质． 【专题】计算题．

【分析】根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射，每圈走的路程为3，故可得出答案．

【解答】解：∵BP=AB=1，∠BPR=60°，

∴PR=1，

根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射， ∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9， 故选B．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度较大，关键是分析光线第一次回到点P时经过了几圈反射． 15．（2012春?武侯区校级期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD=BE，根据已知给出的条件即可得出答案； 【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE，故选项①正确；

第20页（共33页）

∵∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD， ∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确； 由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD， ∵∠ACB是△ACD的外角，

∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°， 又∠APM是△PBD的外角，

∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确； 在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM，

∴AN=BM，故选项④正确； ∴CM=CN，

∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN=60°， ∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确； 故选：D．

【点评】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等． 16．（2012秋?黄州区校级期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）

A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135°

【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质；勾股定理的逆定理．

【分析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=BP=4，

第21页（共33页）

∵PQ+QC=4+3=25，PC=5=25，

222∴PQ+QC=PC，

∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠BOQ=∠BQP=60°，

∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC， ∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°， 即∠APC≠135°，

∴选项A、B、C正确，选项D错误． 故选D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．

17．（2014?新洲区模拟）如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A2010OA2011的最小边长为（ ）

222222

A．2

2009

B．2

2010

C． D．

【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】规律型．

【分析】根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边为斜边的一半，可分别求得A1A2、A2A3、A3A4等的值，观察可发现规律，根据规律解题即可． 【解答】解：由已知可求得A1A2，=1，A2A3=又Rt△A2010OA2011的最小边长为A2010A2011， 观察可发现A2010A2011=

．

，A3A4=

…

故选C．

【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的相关知识，属于基础题，比较简单． 18．（2014?宜宾县校级模拟）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（ ）

第22页（共33页）

A．2.5 B．3.5 C．2 D．+1

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．

【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半

得出BF=BE=3.5，于是CF=BC﹣BF=1.5，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC=2CF=3，然后根据BD=BC﹣DC即可求解． 【解答】解：过点E作EF⊥BC于F． 在Rt△BEF中，∵∠BFE=90°，∠B=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=BE=3.5，

∴CF=BC﹣BF=5﹣3.5=1.5． ∵ED=EC，EF⊥BC于F， ∴DC=2CF=3，

∴BD=BC﹣DC=5﹣3=2． 故选C．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 19．（2015?德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）

A．60° B．45° C．30° D．75°

【考点】直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质．

第23页（共33页）

【分析】根据轴对称的性质可知∠CED=∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点， ∴∠CED=∠A，CE=BE=AE， ∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠CED=60°， ∴∠B=∠CED=30°．

故选：C．

【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED=60°． 20．（2015春?威海期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于（ ）

A．5° B．10° C．20° D．30°

【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．

【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点可

知AH=CH=BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH=90°，再由对顶角相等可知∠GEH=∠BEC=80°，由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AH，CH，

∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点， ∴AH=CH=BD．

∵点G时AC的中点，

∴HG是线段AC的垂直平分线， ∴∠EGH=90°． ∵∠BEC=80°，

∴∠GEH=∠BEC=80°， ∴∠GHE=90°﹣80°=10°． 故选B．

第24页（共33页）

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键． 21．（2015春?澧县校级期中）如图所示：CE，BF是△ABC的两条高，M是BC的中点，连ME，MF，∠BAC=50°，则∠EMF的大小是（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】直角三角形斜边上的中线．

【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EM=BM=BC，那么

∠MEB=∠EBM，根据三角形内角和定理得出∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM，

同理∠FMC=180°﹣2∠FCM，在△ABC中，由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，所以∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°，然后根据平角的定义求出∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°． 【解答】解：∵CE是△ABC的两条高， ∴∠BEC=90°，

∵M是BC的中点， ∴EM=BM=BC，

∴∠MEB=∠EBM，

∴∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM， 同理∠FMC=180°﹣2∠FCM， ∵∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，

∴∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°， ∴∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°． 故选D．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．同时考查了三角形内角和定理及平角的定义．

第25页（共33页）

22．（2015?鞍山）如图，点O在线段AB上，AO=1，OB=2，OC为射线，且∠BOC=120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（ ）

A．t=1 B．t=1或

C．t=

D．t=1或

【考点】勾股定理的逆定理；一元二次方程的应用；勾股定理． 【专题】几何动点问题． 【分析】根据题意分三种情况考虑：当∠PAB=90°；当∠APB=90°；当∠ABP=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可． 【解答】解：如图1， 当∠PAB=90°时， ∵∠BOC=120°， ∴∠AOP=60°， ∴∠APO=30°， ∴OP=2OA=2， ∵OP=2t， ∴t=1；

如图2，当∠APB=90°，过P作PD⊥AB， ∵∠OPB=30°，

∴OD=OP=t，PD=OP?sin∠POD=

t，

∴AD=AO﹣OD=1﹣t，

2222

在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP+BP=AB，即（2+t）+（22t）=3， 解得：t=

（负值舍去）；

t）+（

2

t）+（1﹣

2

当∠ABP=90°时，此情况不存在； 综上，当t=1或t=故选B．

时，△ABP是直角三角形．

第26页（共33页）

【点评】此题考查了勾股定理、锐角三角函数以及一元二次方程的解法，本题利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 23．（2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．

【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；

B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确； C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；

D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确． 故选D． 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定． 24．（2015?科左中旗校级一模）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）

A．9 B．10 C． D． 【考点】平面展开-最短路径问题． 【专题】数形结合．

【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．

【解答】解：如图（1），AB=如图（2），AB=故选B．

=

=10．

=；

第27页（共33页）

【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据． 25．（2015?黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）

A．（4+

）cm B．5cm C．2

cm D．7cm

【考点】平面展开-最短路径问题．

【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×4=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长． 【解答】解：侧面展开图如图所示：

∵圆柱的底面周长为6cm， ∴AC′=3cm．

第28页（共33页）

∵PC′=BC′， ∴PC′=×6=4cm．

在Rt△ACP中，AP=AC′+CP， ∴AP=

=5．

2

2

2

故选：B．

【点评】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 26．（2015秋?滨湖区期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（ ）

A．3 B．3 C．4 D．4

【考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．

【分析】取AB中点D，连接FD，根据等腰直角三角形的性质，由△ABC为等腰直角三角形得到AC=BC，∠A=45°，再根据点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则AD=BD=4，DP=3，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，

利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=AB=5，根据平行线性质得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF为等腰直角三角形，则∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根据有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得．

【解答】解：连结FD，D是AB的中点，如图， ∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1， ∴AC=BC=5，∠A=45°，

∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=10，PB=1，

∴AD=BD=5，DP=DB﹣PB=5﹣1=4，EF、DF为△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF=AB=5，DF=BC=

，∠EFP=∠FPD，

∴∠FDA=45°，==，

∴∠DFP+∠DPF=45°，

∵△PQF为等腰直角三角形， ∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=FQ， ∴∠DFP=∠EFQ，

第29页（共33页）

∵△PFQ是等腰直角三角形， ∴∴

==

， ，

∴△FDP∽△FEQ， ∴

=

=

，

．

∴QE=DP=4故选D．

【点评】本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键． 27．（2014?郸城县校级模拟）如图，∠XOY=90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC=1，则OC=（ ）

A． B． C． D． 【考点】等腰直角三角形．

【分析】先过AP与OW的交点作EF⊥OB，根据已知条件得出∠AEO=∠CEP=45°，再根

据sin45°===，表示出个边的值，再进行相加，即可得出答案．

【解答】解：过AP与OW的交点作EF⊥OB， ∵∠XOY=90°，OW平分∠XOY， ∴∠AOC=∠COB=45°， ∴∠AEO=∠CEP=45°， ∴sin45°=AE=

=

=

， CP，OE=

EF，

OE，EP=

， EP，

∵cos45°=∴EC=

∵AO=EF，OF+EP=OB，OC=OE+EC，OA+OB+OC=1

第30页（共33页）

∴OC=﹣1； 故答案为：B．

【点评】此题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是根据角的度数表示出各个边． 28．（2014?成都模拟）如图，P是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置，则∠APP′的度数为（ ）

A．30° B．45° C．50° D．60°

【考点】等腰直角三角形；旋转的性质．

【分析】首先根据旋转可知∠1=∠2，AP=AP′，再求出∠PAP′=90°，可得到△APP′是等腰直角三角形，进而求出∠APP′的度数．

【解答】解：∵将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置， ∴∠1=∠2，AP=AP′， ∵∠CAB=90°，

即：∠2+∠CAP=90°， ∴∠1+∠CAP=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′=45°． 故选：B．

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定，旋转的性质，解决问题的关键是证明∠PAP′=90°． 29．（2015春?重庆校级期末）如图所示，?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（ ）

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A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．

【分析】由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解．

【解答】解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分．可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线．

根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6（cm）． 故选B．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 30．（2015春?龙岗区期末）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为（ ）

A．2

B．

C．1

D．

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=6，FG=CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．

【解答】解：∵AE为△ABC的角平分线，CG⊥AD， ∴△ACG是等腰三角形， ∴AG=AC， ∵AC=6，

∴AG=AC=6，FG=CF， ∵AE为△ABC的中线， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EF=BG，

∵AB=8，

∴BG=AB﹣AG=8﹣6=2． ∴EF=1． 故选C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG=CF是关键．

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