2012届高三数学一轮复习基础导航：3.3三角函数的图像和性质

3.3【考纲要求】

1、能画出

三角函数的图像和性质

的图像，了解三角函数的周期性.

2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（

3、了解函数

解参数

）内的单调性.

的图像，了

的物理意义；能画出

对函数图像变化的影响.

4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

【基础知识】

1．三角函数的图象及性质

2、周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有

f(x T) f(x)，f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期，

周期函数的周期不唯一，kT,k z,k 0都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。

3、三角函数图像的变换

平移变换：左加右减，上加下减

把函数y f(x)向左平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x )的图像 把函数y f(x)向右平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x )的图像 把函数y f(x)向上平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x) 的图像 把函数y f(x)向下平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x) 的图像 伸缩变换：

①把函数y f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的

1

倍得w

y f( x)(0 1)[来源:Z*xx*http://www.77cn.com.cn]

②把函数y f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

1

倍得w

y f( x)( 1)

③把函数y f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

倍得

y f(x)( 1)

④把函数y f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的

倍得

y f(x)(0 1)

4、合一变形

asin

bcos )，

如

：

3sin2 cos2 2(

1 sin2 cos2 ) 2(sin2 cos cos2 sin) 2sin(2 )22666

5、函数y Asin( x ) h （1）其图象的作法有两种：

一是描点法（五点法），作出来的,这五个点是满足: x 0, 个x的值，对应y值分别是0,A,0, A,0。

用"五点法"作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为y Asin( x )或

3

, , ,2 的五

22

y Acos( x )的形式。

二是图像变换法，由函数y sinx的图像变换得到函数y Asin( x ) h的图像，一般是先左右，再伸缩，后上下。如：y sin(2x （2）这个函数的最小正周期是T 6、温馨提示：

（1）使用周期公式，必须先将解析式化为y Asin( x )或y Acos( x )的形式；正弦余弦函数的最小正周期是T

6

)和y 2sinx 3

2

.

2

，正切函数的最小正周期公式是T

；注意

一定要注意加绝对值。

（2）三角函数有的地方是2k ,k z，有的地方是k ,k z。

【例题精讲】

例1 已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点π1 M 32 .

(1)求f(x)的解析式；

π312

0， ，且f(α)f(β)＝，求f(α－β)的值． (2)已知α，β∈ 2 513解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. π1

∵f(x)的图象经过点M 32 ， π1

＋φ ＝. ∴sin 3 2π

∵0＜φ＜π φ＝，

2π

x＋ ＝cosx. ∴f(x)＝sin 2

π312

0，，所以 (2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝α，β∈ 2513sinα＝

324

1－ 55sinβ12 25

1－ 13 ＝13.

故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 3124556

＝＋＝.

51351365

π11 π1. φ (0<φ<π)，例2 已知函数f(x)＝xsinφ＋cos2xcosφ－sin 其图象过点 6222 2(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2π

0， 上的最大值和最小值． 的图象，求函数g(x)在 4

π11

φ (0<φ<π)， 解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin 22 21＋cos2x11

所以f(x)＝xsinφ＋cosφ－cosφ

22211

＝xsinφ＋cos2xcosφ 22

11

＝xsinφ＋cos2xcosφ)cos(2x－φ)， 22

π1又函数图象过点 6，2， π11

2×－φ ， 所以cos 6 22

ππφ ＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝. 即cos 3 3

π11

2x－，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(2)由(1)知f(x)＝ 32 2纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知

π4x－， g(x)＝f(2x)＝ 32 π

0， ， 因为x∈ 4 所以4x∈[0，π]， π2ππ

， 因此4x－ 3 33π1

4x－ ≤1. 故－≤cos 3 2

π11

0， 所以y＝g(x)在 4 24

π

例3 已知函数f(x)＝sin2ωx3sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右

2侧的第一个最高点的横坐标为.

6

(1)求ω；

π

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来

6的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．

解：(1)f(x)＝

313ωx＋cos2ωx＋ 222

π3

＝sin(2ωx＋＋62

πππ

令2ωx＋x＝ω＝1.

626π3

(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.

62经过题设的变化得到的函数 1π3

g(x)＝sin(x－)＋.

262

45

当x＝4kπ＋，k∈Z时，函数取得最大值.

32

π1π3

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，

2262即x∈[4kπ＋

4π10

，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间． 33

3.3三角函数的图像和性质强化训练

【基础精练】

π5π

－，上的图象，1．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 为了得到这个函数的 66图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(

)

π1

A．向左平移

32π

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3π1

C．向左平移

62π

D．向左平移2倍，纵坐标不变

6ππ

2x－ 的图象，只需把函数y＝sin 2x＋的图象( ) 2．为了得到函数y＝sin 3 6 ππ

A．向左平移 B．向右平移

44ππ

C．向左平移 D．向右平移

22

π

ω>0，|φ|< 的部分图象如图所示，则( ) 3．已知函数y＝sin(ωx＋φ) 2

ππ

A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－66π

C．ω＝2，φ＝

6

π

D．ω＝2，φ＝－来源:学科网ZXXK]

6

4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝(

)

A．1

B．2 C.

2

D.3

ππ

x－ cos x－ ，则下列判断正确的是( ) 5．已知函数y＝sin 12 12 π

0 A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是 12 π

，0 B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是 12 π

C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是 60 π

，0 D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是 6

π

6．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－a的值为( )

8 A.2 B．－2

C．1 D．－1

7．函数y＝sinx＋cosx的最小值和最小正周期分别是( )[来源:学科网ZXXK] A2，2π B．－2,2π C2，π

D．－2，π

8．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )

A.[kπ－

π5π5π11π

，kπ＋]，k∈Z B.[kπ＋kπ＋]，k∈Z 12121212

πππ2π

C.[kπ－，kπ＋]，k∈Z D.[kπ＋，kπ＋]，k∈Z

36639.函数y＝|sinx|－2sinx的值域是 ( )

A.[－3，－1] B.[－1,3] C.[0,3] D.[－3,0] π

ωx－ (ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相10．已知函数f(x)＝3sin 6 π

0， ，则f(x)的取值范围是________． 同．若x∈ 2

1

11．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，

2An，….则A50的坐标是________．

π

x＋ 的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则12．把函数y＝cos 3 m的最小值是________．

sin4x＋cos4x＋sin2x·cos2x

13.求函数f(x)＝

2－sin2x

14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.

(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式； (2)问哪几个月能盈利？

【拓展提高】

ππ

1．设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f(＝f(．

24

(Ⅰ)求函数f(x)的值域；

(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做)

π

2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中，

2

π2π

相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

23

(1)求f(x)的解析式；

ππ

(2)当x∈]时，求f(x)的值域．

122

ππ

3.设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f(＝f()．

24

(Ⅰ)求函数f(x)的值域；

(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做) [来源:学|科|网Z|X|X|K]

π

4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中，

2

π2π

相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

23

(1)求f(x)的解析式；

ππ

(2)当x∈[时，求f(x)的值域．

122

【基础精练参考答案】

π

6.D【解析】设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以

8ππ

－＋x ＝f －－x 对一切实数x都成立， f 8 8

ππππ

－x ＋acos2 －＋x ＝sin2 －－x ＋acos2 －x 即sin2 8 8 8 8 ππππ

－＋2x ＋sin 2x ＝a cos 2x －cos －2x ， 即sin 4 4 4 4 ππ∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin，

44

即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0，∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.

πππ

x＋ ，∴当x＋＝2kπ－k∈Z)时，ymin2.T＝2π. 7.A【解析】∵y＝2sin 4 42π

8.C【解析】f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．

6

2π

∵f(x)图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，∴＝

ωπππππ

π，ω＝2.f(x)＝2sin(2x＋)．故其单调增区间应满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z)．kπ－

62623π

≤x≤kπ＋(k∈Z)．

6

9.B【解析】当0≤sinx≤1时，y＝sinx－2sinx＝－sinx，此时y∈[－1,0]；当－1≤sinx＜0时，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx，这时y∈(0,3]，求其并集得y∈[－1,3].

3

－3 【解析】∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周10. 2 ππππ5π1

2x－，∵0≤x≤，∴－2x－，∴－期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin 6 26662ππ33

2x－ ≤1，∴－≤3sin 2x－ ≤3，即f(x)的取值范围为 －，3 . ≤sin 6 6 2 2

11. (99,0)【解析】对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 2ππ

12. π【解析】由y＝cos(x＋＋m)的图象关于ym＝kπ，k∈Z，m

333＝kπ

(sin2x＋cos2x)2－sin2x·cos2x13.【解析】f(x)＝2－2sinxcosx

(1－sinx·cosx)(1＋sinx·cosx)＝2(1－sinx·cosx)111＝＋sinx·cosx)＝sin2x， 242

31

所以函数的最小正周期为π，最大值为，最小值为.

44

ππ

令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

22ππ

则kπ－≤x≤kπ＋k∈Z.[来源:http://www.77cn.com.cn]

44π3π

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

22π3π

则kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z.

44

πππ3π

所以函数的单调增区间为[kπ－kπ＋]，k∈Z，单调减区间为[kπ＋kπ＋]，k∈Z.

4444

π2－k＝1时，m最小为π. 33

14.【解析】(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得， ππA＝2，B＝6，ω＝φ＝－

44

ππ

所以f(x)＝2sin(－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，

44π3

g(x)＝2sin(－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．

44

π2

(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.

423π9

2kπ＋x<2kππ，k∈Z，

444

∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，[来源:学|科|网] ∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9， ∴x＝4,5,6,7,8；

k＝1时，11<x<17，∴x＝12. ∴x＝4,5,6,7,8,12，

故4,5,6,7,8,12月份能盈利．[来源:学科网ZXXK]

【拓展提高参考答案】 1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x

a－1

＝sin2x＋－cos2x)＋1.

2

ππa＋3∴f＝a，f(＝.

242

a＋3ππ

由f＝f(，有a＝∴a＝3.

242

π

∴f(x)＝sin2x－cos2x＋22sin(2x－)＋2.

4

∴函数f(x)的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则

π

k＝f′(x)＝22cos(2x－)．

4

π

2cos(2x－ ≤2|＝22. ∴|k|＝|f′(x)|＝ 4

2π

2.【解析】(1)由最低点为M(2)得A＝2.

3

πTπ2π2π

在x轴上相邻两个交点之间的距离为得，即T＝π，∴ω＝T＝π2.

222

2π2π4π4π

由点M(，－2)在函数图象上得2sin(2×φ)＝－2，即sin(φ)＝－1，故φ

3333π

＝2kπ－k∈Z，

2

11π

∴φ＝2kπ－.

6πππ

又φ∈(0，)，∴φf(x)＝2sin(2x＋)．

266ππππ7π

(2)∵x∈ []，∴2x＋∈[]，

122636ππππ7ππ

当2x＋，即x＝f(x)取得最大值2；当2x＋＝x＝时，f(x)取得最小

626662

值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．

a－1

3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.

2

ππa＋3∴f＝a，f(＝.

242

a＋3ππ

由f＝f(，有a＝∴a＝3.

242

π

∴f(x)＝sin2x－cos2x＋22sin(2x－)＋2.

4

∴函数f(x)的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则

π

k＝f′(x)＝22cos(2x－)．

4

π

22cos(2x－) ≤2|＝22. ∴|k|＝|f′(x)|＝ 4

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