2017年广西桂林市中考数学试卷

2017年广西桂林市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）2017的绝对值是（ ） A．2017

B．﹣2017 C．0

D．

2．（3分）4的算术平方根是（ ） A．4

B．2

C．﹣2 D．±2

3．（3分）一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）用科学记数法表示数57000000为（ ） A．57×106 B．5.7×106 C．5.7×107 D．0.57×108 7．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a3÷a3=a B．（x2）3=x5

C．m2?m4=m6 D．2a+4a=8a

8．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠1=∠4

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C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°

9．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角

B．若实数a，b满足a2=b2，则a=b

C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 10．（3分）若分式A．﹣2 B．0

C．2

的值为0，则x的值为（ ） D．±2

11．（3分）一次函数y=﹣x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=（﹣10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（ ）

A．﹣≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．﹣≤x≤ D．1≤x≤

12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）

A．

B．2 C．π D．π

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）分解因式：x2﹣x= ．

14．（3分）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= ．

15．（3分）分式与的最简公分母是 ．

16．（3分）一个不透明的口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是 ．

17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则

的值为 ．

18．（3分）如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有 个点．

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°+20．（6分）解二元一次方程组：

+2﹣1． ．

21．（8分）某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名

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学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 阅读时间（t单位：小时） A B C D E F 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t＜5 t≥5 8 20 24 m 8 4 频数（人数） （1）图表中的m= ，n= ；

（2）扇形统计图中F组所对应的圆心角为 度；

（3）该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？

22．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．

（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O； （2）求证：△AOB≌△B′OA′．

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23．（8分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）

24．（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．

（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

26．（12分）已知抛物线y1=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）．

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（1）求抛物线y1的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．

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2017年广西桂林市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）2017的绝对值是（ ） A．2017

B．﹣2017 C．0

D．

【分析】根据正数的绝对值是它本身，即可判断． 【解答】解：2017的绝对值等于2017， 故选A．

【点评】本题考查绝对值的性质，记住正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

2．（3分）4的算术平方根是（ ） A．4

B．2

C．﹣2 D．±2

【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：4的算术平方根是2． 故选：B．

【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义，本题属于基础题型．

3．（3分）一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【分析】根据平均数的定义计算．

【解答】解：数据2，3，5，7，8的平均数=故选D．

【点评】本题考查了平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

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=5．

4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据圆锥的三视图进行判断，即可得到其主视图．

【解答】解：根据圆锥的摆放位置，可知从正面看圆锥所得的图形是三角形， 故该圆锥的主视图是三角形， 故选：A．

【点评】本题主要考查了几何体的三视图，解决问题的关键是掌握圆锥的三视图的特征．

5．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．

【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6．（3分）用科学记数法表示数57000000为（ ） A．57×106 B．5.7×106 C．5.7×107 D．0.57×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确

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定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：用科学记数法表示数57000000为5.7×107， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a3÷a3=a B．（x2）3=x5

C．m2?m4=m6 D．2a+4a=8a

【分析】A、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D、利用合并同类项的法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、a3÷a3=1，本选项错误； B、（x2）3=x6，本选项错误； C、m2?m4=m6，本选项正确； D、2a+4a=6a，本选项错误． 故选：C．

【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，以及合并同类项，熟练掌握法则是解本题的关键．

8．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180°

D．∠2=30°，∠4=35°

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【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断． 【解答】解：∵∠1=∠4，

∴a∥b（同位角相等两直线平行）． 故选B．

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于基础题．

9．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角

B．若实数a，b满足a2=b2，则a=b

C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【分析】根据对顶角的定义，有理数的性质，角平分线的性质对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，例如，角平分线把角分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；

B、若实数a，b满足a2=b2，则a=b，是假命题，应为a=b或a=﹣b，故本选项错误；

C、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0，是假命题，应为ab＞0，故本选项错误；

D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是真命题，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

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10．（3分）若分式A．﹣2 B．0

C．2

的值为0，则x的值为（ ） D．±2

【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值． 【解答】解：由题意可知：解得：x=2 故选（C）

【点评】本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本属于基础题型．

11．（3分）一次函数y=﹣x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=（﹣10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（ ）

A．﹣≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．﹣≤x≤ D．1≤x≤

【分析】由x的取值范围结合y1=y2可求出y的取值范围，根据y关于x的关系式可得出x关于y的关系式，利用做差法求出x=1﹣y+再﹣9≤y≤﹣调性，依此单调性即可求出x1+x2的取值范围． 【解答】解：当x=﹣10时，y==﹣当x=10时，y=﹣x+1=﹣9， ∴﹣9≤y1=y2≤﹣

．

；

中的单

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设x1＜x2，则y2=﹣x2+1、y1=∴x2=1﹣y2，x1=

，

，

∴x1+x2=1﹣y2+

．

），﹣9≤ym＜yn≤﹣=（ym﹣yn）（1+

，

设x=1﹣y+（﹣9≤y≤﹣则xn﹣xm=ym﹣yn+

﹣

）＜0，

∴x=1﹣y+中x值随y值的增大而减小， ∴1﹣（﹣故选B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，找出x=1﹣y+在﹣9≤y≤﹣

12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）

中的单调性是解题的关键．

）﹣10=﹣

≤x≤1﹣（﹣9）﹣=

．

A． B．2 C．π D．π

【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为

，求出圆心角，半径即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．

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∵BF⊥CE， ∴∠BFC=90°，

∴点F的运动轨迹在以边长为直径的⊙O上， 当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=4， ∵∠ABC=60°， ∴∠BCG=60°， ∴∠BOG=120°， ∴

的长=

=π，

，

故选D．

【点评】本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）分解因式：x2﹣x= x（x﹣1） ． 【分析】首先提取公因式x，进而分解因式得出答案． 【解答】解：x2﹣x=x（x﹣1）． 故答案为：x（x﹣1）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

14．（3分）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= 4 ．

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【分析】根据中点定义解答．

【解答】解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1， ∴AD=1×2=2，

∵点D是线段AB的中点， ∴AB=2×2=4． 故答案为4．

【点评】本题考查了两点之间的距离，熟悉中点定义是解题的关键．

15．（3分）分式

与

的最简公分母是 2a2b2 ．

【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解

与

的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2；

故答案是：2a2b2．

【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

16．（3分）一个不透明的口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是 ．

【分析】根据6个完全相同的小球中有3个球的标号是偶数，再根据概率公式即可得出答案．

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【解答】解：∵共有6个完全相同的小球，其中偶数有2，4，6，共3个， ∴从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是=； 故答案为：．

【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则

的值为 ．

【分析】作BH⊥OA于H，如图，利用矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=5，AO=OB=，接着利用面积法计算出BH=是利用勾股定理可计算出OH=求出

的值．

，于

，然后证明△OBH∽△OEA，最后利用相似比可

【解答】解：作BH⊥OA于H，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC=OB，∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AC=∴AO=OB=， ∵BH?AC=AB?BC， ∴BH=

=

，

=

=

，

=5，

在Rt△OBH中，OH=∵EA⊥CA，

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∴BH∥AE， ∴△OBH∽△OEA， ∴

=

，

∴===．

故答案为．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．

18．（3分）如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有

（3n﹣1） 个点．

【分析】观察已知图形，得出一般性规律，写出即可．

【解答】解：如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有（3n﹣1）个点． 故答案为：（3n﹣1）．

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【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°+

+2﹣1．

【分析】根据先计算零指数幂、代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂，然后计算加减法． 【解答】解：原式=1﹣+2

+=1+2

．

【点评】本题综合考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂，属于基础题，熟记计算法则即可解题．

20．（6分）解二元一次方程组：

．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：②﹣①得：3x=6， 解得：x=2，

把x=2代入①得y=﹣1， ∴原方程组的解为

．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

21．（8分）某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 阅读时间（t单位：小时） A B C D 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 8 20 24 m 第17页（共26页）

频数（人数）

E F 4≤t＜5 t≥5 8 4 （1）图表中的m= 16 ，n= 30 ；

（2）扇形统计图中F组所对应的圆心角为 18 度；

（3）该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？

【分析】（1）根据题意列式计算即可；

（2）360°×F组所对应的百分数即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可得到结论．

【解答】解：（1）m=8÷10%×20%=16，n=24÷（8÷10%）×100=30； （2）扇形统计图中F组所对应的圆心角为：360°×

=18°；

（3）由题意得，每周平均课外阅读时间不低于3小时的学生数为：1500×（20%+10%+5%）=525名． 故答案为：16，30，18．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．

（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O； （2）求证：△AOB≌△B′OA′．

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【分析】（1）根据平移变换的性质作图即可；

（2）根据平行线的性质得到∠A=∠B′，∠B=∠A′，根据ASA定理证明即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：∵AB∥A′B′， ∴∠A=∠B′，∠B=∠A′ 在△AOB和△B′OA′中，

，

∴△AOB≌△B′OA′．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换、全等三角形的判定，掌握平移变换的性质、全等三角形的判定定理是解题的关键．

23．（8分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）

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【分析】在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长． 【解答】解： ∵BN∥ED，

∴∠NBD=∠BDE=37°， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°，

∴BE=DE?tan∠BDE≈18.75（cm）， 如图，过C作AE的垂线，垂足为F， ∵∠FCA=∠CAM=45°， ∴AF=FC=25cm， ∵CD∥AE，

∴四边形CDEF为矩形， ∴CD=EF，

∵AE=AB+EB=35.75（cm）， ∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8（cm），

答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用．

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24．（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．

（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可取其正值即可得出结论；

（2）根据年平均增长率求出2018年基础教育经费投入的金额，再根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．

【解答】解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x， 根据题意得：5000（1+x）2=7200， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．

答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．

（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1+20%）=8640（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台， 根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%， 解得：m≤880．

答：2018年最多可购买电脑880台．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价=单价×数量，列出关于m的一元一次不等式．

25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交

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AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；

（2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD； （3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S△DPE：S△BPE=13：32，S△BDE：S△BCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=BC，

∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD， ∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠CED=∠CAB， ∵∠C=∠C， ∴△CED∽△CAB， ∴

=

，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点， ∴CD=

；

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（3）解：延长EF交⊙O于M， 在Rt△ABD中，AD=∴BD=3

，

，AB=10，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴

=

，

∴∠BEP=∠EDB， ∴△BPE∽△BED， ∴

=

，

，

，

∴BP=

∴DP=BD﹣BP=

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32， ∵S△BCD=×∴S△BDE=12， ∴S△DPE=

．

×3

=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．

26．（12分）已知抛物线y1=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）．

（1）求抛物线y1的函数解析式；

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（2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点B（4，0）代入y1=ax2+bx﹣4即可得到结论； （2）由对称性可知，得到抛物线y2的函数解析式为y2=﹣x2+3x+4，求得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，设D（m，﹣m+4），E（m，m2﹣3m﹣4），其中0≤m≤4，得到DE=﹣m+4﹣（m2﹣3m﹣4）=﹣（m﹣1）2+9，即可得到结论；

（3）由题意得到△BOC是等腰直角三角形，求得线段BC的垂直平分线为y=x，由（2）知，直线DE的解析式为x=1，得到H（2，2），根据S⊙P：S△DFH=2π，得到r=

，由于⊙P与直线BC相切，推出点P在与直线BC平行且距离为

的直

线上，于是列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（4，0）代入y1=ax2+bx﹣4得：a=1，b=﹣3，

∴抛物线y1的函数解析式为：y1=x2﹣3x﹣4；

（2）由对称性可知，抛物线y2的函数解析式为：y2=﹣x2+3x+4， ∴C（0，4），设直线BC的解析式为：y=kx+q， 把B（4，0），C（0，4）代入得，k=﹣1，q=4，

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∴直线BC的解析式为：y=﹣x+4，

设D（m，﹣m+4），E（m，m2﹣3m﹣4），其中0≤m≤4， ∴DE=﹣m+4﹣（m2﹣3m﹣4）=﹣（m﹣1）2+9， ∵0≤m≤4，∴当m=1时，DEmax=9； 此时，D（1，3），E（1，﹣6）；

（3）由题意可知，△BOC是等腰直角三角形， ∴线段BC的垂直平分线为：y=x， 由（2）知，直线DE的解析式为：x=1， ∴F（1，1）， ∵H是BC的中点， ∴H（2，2）， ∴DH=

，FH=

，

∴S△DFH=1， 设⊙P的半径为r， ∵S⊙P：S△DFH=2π， ∴r=

，

∵⊙P与直线BC相切，

∴点P在与直线BC平行且距离为

的直线上，

∴点P在直线y=﹣x+2或y=﹣x+6的直线上， ∵点P在抛物线y2=﹣x2+3x+4上， ∴﹣x+2=﹣x2+3x+4， 解得：x1=2+

，x2=2﹣

，

﹣x+6=﹣x2+3x+4， 解得：x3=2+

，x4=2﹣

，

，﹣

），（2﹣

，

），（2+

，

∴符合条件的点P坐标有4个，分别是（2+4﹣

），（2﹣

，4+

）．

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【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，折叠的性质，二次函数的最大值问题，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．

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