2018年江苏省苏州市昆山市中考数学二模试卷
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2018年江苏省苏州市昆山市中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把正确答案填在答题卡相应的位置上.) 1.(3分)A. B.2
C.
的结果是( ) D.﹣2
2.(3分)截止2017年,昆山连续13年位居全国百强县首位,根据政府工作报告,2017年昆山市一般公共预算收入高达352.5亿元,其中352.5亿用科学记数法表示为( )
A.3.525×1012 B.3.525×1011 C.3.525×1010 D.3.525×109 3.(3分)下列计算正确的( )
A.(﹣3)2=6 B.(﹣a3)2=a5 C.3m4﹣2m2=m2
D.
4.(3分)若关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k≥1
B.k>1
C.k<1 D.k≤1
5.(3分)一组数据:3,0,1,3,2,这组数据的众数、中位数分别是( ) A.2,1
B.3,1
C.3,2
D.2,2
6.(3分)关于二次函数y=﹣A.抛物线开口向上
+x﹣4的图象与性质,下列说法正确的是( )
B.当x=2时,y有最大值,最大值是﹣3 C.当x>0时,y随x的增大而减小 D.抛物线与x轴有两个交点
7.(3分)如图,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=( )
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A.10° B.20° C.30° D.40°
8.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在BC和AD上,连结AE,CF.若四边形AECF为菱形,则该菱形的面积为( )
A.15 B.16 C.18 D.20
9.(3分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=
,将△ABC绕点A顺时针
方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )
A.2﹣ B. C.﹣1 D.1
10.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC;则下列结论: ①abc<0;②
>0;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=﹣.其中正确的结论( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(本大题共8题,每小题3分,共24分,不需要写出解答过程,请把最后结果填在答题卷相应的位置上) 11.(3分)因式分解:2a2﹣8= .
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12.(3分)如图所示,AB∥CD,∠E=35°,∠C=20°,则∠EAB的度数为 .
13.(3分)当x= 时,代数式14.(3分)在函数y=
的值是0.
中,自变量x的取值范围是 .
15.(3分)如图所示,我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形两条直角边的长分别是2和1,小军随机地向大正方形内部区域投掷飞镖.则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率是 .
16.(3分)如图,已知反比例函数y=在第一象限内的图象上一点A,且OA=4,AB⊥x轴,垂足为B,线段OA的垂直平分线交x轴于点C(点C在点B的左侧),则△ABC的周长等于 .
17.(3分)如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(3,4),底边OB在x轴正半轴上.将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得△A'OB',点A的对应点A'在x轴负半轴上,则点B的对应点B'的坐标为 .
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18.(3分)如图,平面直角坐标系中,已知A,B两点的坐标分别为(2,0)(0,2
),点P是△AOB外接圆上的一点,且∠BOP=45°,则点P的坐标为 .
三、解答题(本大题共10小题,共76分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(5分)计算:20.(5分)解不等式组21.(6分)先化简再求值:(
﹣
,并写出该不等式组的整数解. )÷
,其中x=
.
22.(6分)某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元,购买50件A商品和20件B商品共用了880元. (1)A、B两种商品的单价分别是多少元?
(2)已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件,如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件,且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元,那么该商店有哪几种购买方案?
23.(8分)某中学开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动,现从由3名男生和2名女生所组成的主持候选人小组中,随机选取2人担任此次文艺汇演活动的主持人.
(1)若从这5名主持候选人中随机选取1人,恰好选到的是女生的概率是 . (2)请用列举法(画树状图或列表)求随机选取的2名主持人中,恰好是“一男一女”的概率.
24.(8分)如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,连接BD,∠BCD=∠BDC,过C作CE⊥BD,垂足为E.
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(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若AD=3,DE=2,求△BCD的面积S△BCD.
25.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2: (1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
26.(10分)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点O是边AB上一点,以O为圆心,BO为半径的⊙O与AD相切于点E,交AB于F,连接BE.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)若BC=4,cosC=,求⊙O的半径r.
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27.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=4cm;BC=3cm,若点P从点B出发沿BD方向,向点D匀速运动,同时点Q从点D出发沿DC方向,向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.连接AP,PQ,PC,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)则线段PD的长度为 (用含t的代数式表示);
(2)设△DPQ的面积为S,求△DPQ的面积S的最大值,并求出此时t的取值 .
(3)若将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时,求t的值;
(4)在点P,Q的运动过程中,当t取何值时,AP⊥PQ(直接写出t的值)
28.(10分)已知经过点A(﹣4,﹣4)的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B(﹣3,0)及原点O. (1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接AO,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,平行于y轴的直线交抛物线于点P,交线段AO于点N,当四边形AMPN为平行四边形时,求∠AOP的度数.
(3)如图2,连接AB,若点C在抛物线上,得∠CAO=∠BAO,试探究:在第(2)小题的条件下,坐标平面内是否存在点Q,使得△POQ~△AOC?若存在,请求出所有几满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由,
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参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把正确答案填在答题卡相应的位置上.) 1.(3分)A. B.2
C.
的结果是( ) D.﹣2
【分析】根据有理数的乘法法则计算可得. 【解答】解:故选:A.
【点评】本题主要考查有理数的乘法,解题的关键是掌握有理数的乘法法则.
2.(3分)截止2017年,昆山连续13年位居全国百强县首位,根据政府工作报告,2017年昆山市一般公共预算收入高达352.5亿元,其中352.5亿用科学记数法表示为( )
A.3.525×1012 B.3.525×1011 C.3.525×1010 D.3.525×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将352.5亿用科学记数法表示为3.525×1010. 故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(3分)下列计算正确的( )
A.(﹣3)2=6 B.(﹣a3)2=a5 C.3m4﹣2m2=m2
D.
=+(3×)=,
【分析】根据有理数的乘方可得(﹣3)2=(﹣3)×(﹣3);幂的乘方法则:底
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数不变,指数相乘;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变进行计算即可.
【解答】解:A、(﹣3)2=9,故原题计算错误; B、(﹣a3)2=a6,故原题计算错误;
C、3m4和2m2不是同类项,不能合并,故原题计算错误; D、
﹣
=2
﹣
=
,故原题计算正确;
故选:D.
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、有理数的乘方、幂的乘方、合并同类项,关键是掌握各计算法则.
4.(3分)若关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k≥1
B.k>1
C.k<1 D.k≤1
【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根, ∴△=b2﹣4ac=4(k﹣1)2﹣4(k2﹣1)=﹣8k+8≥0, 解得:k≤1. 故选:D.
【点评】此题主要考查了根的判别式,正确得出关于k的等式是解题关键.
5.(3分)一组数据:3,0,1,3,2,这组数据的众数、中位数分别是( ) A.2,1
B.3,1
C.3,2
D.2,2
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可. 【解答】解:这组数据的众数为3,
从小到大排列:0,1,2,3,3,中位数是2,
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故选:C.
【点评】此题主要考查了众数和中位数,关键是掌握两种数的定义.
6.(3分)关于二次函数y=﹣A.抛物线开口向上
B.当x=2时,y有最大值,最大值是﹣3 C.当x>0时,y随x的增大而减小 D.抛物线与x轴有两个交点
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式,再根据二次函数的性质逐个判断即可. 【解答】解:∵y=﹣
+x﹣4=﹣(x﹣2)2﹣3,
+x﹣4的图象与性质,下列说法正确的是( )
∴a=﹣<0,抛物线的开口向下,
对称轴是直线x=2,当x=2时,y有最大值,最大值是﹣3, 当0<x<2时,y随x的增大而增大,
△=12﹣4×(﹣)×(﹣4)=﹣3<0,抛物线与x轴没有交点, 所以只有选项B正确,选项A、C、D错误; 故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.
7.(3分)如图,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA,根据∠CDA=∠CBA,再根据直径的性质得∠ACB=90°,由此即可解决问题.
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【解答】解:∵∠ACD=40°,CA=CD, ∴∠CAD=∠CDA=(180°﹣40°)=70°, ∴∠B=∠ADC=70°, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°﹣∠B=20°, 故选:B.
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.
8.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在BC和AD上,连结AE,CF.若四边形AECF为菱形,则该菱形的面积为( )
A.15 B.16 C.18 D.20
【分析】根据矩形的性质和菱形的面积=矩形的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积解答即可.
【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8, ∴AB=CD=4,AD=BC=8, ∵四边形AECF为菱形, ∴AF=EC=AE=CF, 设BE为x,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2, 即42+x2=(8﹣x)2, 解得:x=3
∴菱形的面积=4×(8﹣3)=20, 故选:D.
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【点评】此题考查矩形的性质,关键是根据矩形的性质和菱形的面积=矩形的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积解答.
9.(3分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=
,将△ABC绕点A顺时针
方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )
A.2﹣ B. C.﹣1 D.1
【分析】连接BB′,根据旋转的性质可得AB=AB′,判断出△ABB′是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′,然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解.
【解答】解:如图,连接BB′,
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′, ∴AB=AB′,∠BAB′=60°, ∴△ABB′是等边三角形, ∴AB=BB′,
在△ABC′和△B′BC′中,
,
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS), ∴∠ABC′=∠B′BC′, 延长BC′交AB′于D, 则BD⊥AB′,
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∵∠C=90°,AC=BC=∴AB=∴BD=2×
=
,
, =2,
C′D=×2=1, ∴BC′=BD﹣C′D=故选:C.
﹣1.
【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.
10.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC;则下列结论: ①abc<0;②
>0;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=﹣.其中正确的结论( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,利用抛物线的对称轴位置得到b>0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断;把A点坐标代入解析式可对③进行判断;设A、B两点的横坐标为x1、x2,则OA=﹣x1,OB=x2,利用根与系数的关系可对④进行判断.
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【解答】解:∵抛物线开口向下, ∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧, ∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0,
∴abc<0,所以①正确; ∵抛物线与x轴有2个交点, ∴△=b2﹣4ac>0, ∴
<0,所以②错误;
∵OA=OC,C(0,c), ∴A(﹣c,0), ∴ac2﹣bc+c=0,
∴ac﹣b+1=0,所以③正确;
设A、B两点的横坐标为x1、x2,则OA=﹣x1,OB=x2, ∵x1?x2=,
∴OA?OB=﹣,所以④正确. 故选:C.
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
二、填空题(本大题共8题,每小题3分,共24分,不需要写出解答过程,请把最后结果填在答题卷相应的位置上)
11.(3分)因式分解:2a2﹣8= 2(a+2)(a﹣2) .
【分析】首先提取公因式2,进而利用平方差公式分解因式即可. 【解答】解:2a2﹣8=2(a2﹣4)=2(a+2)(a﹣2). 故答案为:2(a+2)(a﹣2).
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【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用乘法公式是解题关键.
12.(3分)如图所示,AB∥CD,∠E=35°,∠C=20°,则∠EAB的度数为 55° .
【分析】根据三角形外角性质,即可求出∠DFE的度数,再根据两直线平行,同位角相等求解即可.
【解答】解:∵∠E=35°,∠C=20°, ∴∠DFE=∠E+∠C=35°+20°=55°, ∵AB∥CD,
∴∠EAB=∠DFE=55°. 故答案为:55°.
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
13.(3分)当x= ﹣1 时,代数式
的值是0.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
【解答】解:由分式的值为零的条件得(x+2)2﹣1=0,x+3≠0, 由(x+2)2﹣1=0,得(x+2)2=1, ∴x=﹣1或x=﹣3, 由x+3≠0,得x≠﹣3. 综上,得x=﹣1.
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故空中填:﹣1.
【点评】若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
14.(3分)在函数y=
中,自变量x的取值范围是 x≥ .
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可知:2x﹣1≥0,解得x的范围.
【解答】解:根据题意得:2x﹣1≥0, 解得,x≥.
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
15.(3分)如图所示,我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形两条直角边的长分别是2和1,小军随机地向大正方形内部区域投掷飞镖.则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率是
.
【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例,根据这个比例即可求出针扎到小正方形(阴影)区域的概率.
【解答】解:直角三角形的两条直角边的长分别是2和1,则小正方形的边长为1,根据勾股定理得大正方形的边长为方形(阴影)区域的概率是. 故答案为:
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,,飞镖投中小正
【点评】本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.易错点是得到两个正方形的边长.
16.(3分)如图,已知反比例函数y=在第一象限内的图象上一点A,且OA=4,AB⊥x轴,垂足为B,线段OA的垂直平分线交x轴于点C(点C在点B的左侧),则△ABC的周长等于 2 .
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AC=OC,由此推出△ABC的周长=OB+AB,设OB=a,AB=b,根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组
,解之即可求出△ABC的周长.
【解答】解:∵OA的垂直平分线交OB于C, ∴AC=OC,
∴△ABC的周长=OB+AB, 设OB=a,AB=b, 则:解得 a+b=2故答案是:2
,
,即△ABC的周长=OB+AB=2.
.
【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质,以及勾股定理的综合应用,关键是一个转换思想,即把求△ABC的周长转换成求OB+AB即可解决问题.
17.(3分)如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(3,4),底边OB在
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x轴正半轴上.将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得△A'OB',点A的对应点A'在x轴负半轴上,则点B的对应点B'的坐标为 (﹣
,
) .
【分析】作AG⊥OB于G,作B'H⊥A'O于H,利用面积法即可得到B'H=据勾股定理可得Rt△B'HO中,HO=(﹣
,
).
=
,根
,进而得出点B'的坐标为
【解答】解:如图,作AG⊥OB于G,作B'H⊥A'O于H, ∵△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(3,4), ∴AG=4,OG=3,AO=5,OB=6, ∴由旋转可得A'O=5,OB'=6, ∵OB×AG=A'O×B'H, ∴B'H=
,
=
,).
),
,
∴Rt△B'HO中,HO=∴点B'的坐标为(﹣故答案为:(﹣
,
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,主要利用了勾股定理,等腰三角形的性质,解直角三角形,熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
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18.(3分)如图,平面直角坐标系中,已知A,B两点的坐标分别为(2,0)(0,21+),点P是△AOB外接圆上的一点,且∠BOP=45°,则点P的坐标为 (1+)或(﹣+1,﹣1) .
,
【分析】先利用勾股定理计算出AB=4,再利用圆周角定理判断AB为△AOB外接圆的直径,设圆心为C点,过直径PP′⊥AB,连接PA、P′B,作PD⊥x轴于D,P′E⊥y轴于E,如图,再说明∠BOP=∠BOP′=45°,则∠POD=45°,设P(t,t),则AD=t﹣2,利用勾股定理得到(t﹣2)2+t2=(2设P′(m,﹣m),则P′E=OE=﹣m,BE=2(2
)2,解方程可得到P′点坐标.
=4,
)2,解方程可得到P点坐标;
2
+m)+m2=
+m,利用勾股定理得到(2
【解答】解:在Rt△OAB中,AB=∵∠AOB=90°,
∴AB为△AOB外接圆的直径,设圆心为C点,
过直径PP′⊥AB,连接PA、P′B,作PD⊥x轴于D,P′E⊥y轴于E,如图, ∴∠PCA=∠BCP=90°,PA=P′B=2∴∠BOP=∠BOP′=45°, ∴∠POD=45°,
设P(t,t),则AD=t﹣2, 在Rt△PAD中,(t﹣2)2+t2=(2整理得t2﹣2t﹣2=0,解得t1=1+1+
);
+m,
)2, ,t2=1﹣
(舍去),则P点坐标为(1+
,
,
设P′(m,﹣m),则P′E=OE=﹣m,BE=2在Rt△P′BE中,(2
+m)2+m2=(2)2,
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整理得m2+2(﹣
+1,
m+2=0,解得m1=﹣﹣1);
+1,m2=﹣﹣1(舍去),则P′点坐标为
综上所述,满足条件的P点坐标为(1+故答案为(1+
,1+
)或(﹣
+1,
,1+)或(﹣+1,﹣1).
﹣1).
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:熟练掌握三角形的外心的定义与性质.也考查了圆周角定理和坐标与图形性质.
三、解答题(本大题共10小题,共76分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(5分)计算:
【分析】原式利用绝对值的代数意义,零指数幂、负整数指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值. 【解答】解:原式=
﹣1﹣2﹣2×
+1=﹣2.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.(5分)解不等式组
,并写出该不等式组的整数解.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式
+3≥x,得:x≤3,
解不等式1﹣5x<3﹣3(x﹣1),得:x>﹣2.5, 则不等式组的解集为﹣2.5<x≤3,
所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1、2、3.
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