经验公式与施肥效果分析的数学模型

施肥效果

理论研究>>>>>>> ) ))) ))> )> )>>)

◎李园庭

漆志鹏

胡结梅

经验公式与施肥效果分析的数学模型(昌航空大学，南江西南昌 3 06 ) 3 0 3

[关键词]数据拟合；数学建模；经验公式；肥效果分析施

[摘

要]本文利用数据拟合等方法讨论了一个数学建模问题：施肥效果分析，出了两种模型，给每种模型又都讨论了产量模

型和效益模型。 [中图分类号】 0 2 . 2 11[文献标识码]A [文章编号】10 - 9 6 2 0 ) 3 0 0— 7 0 14 2 ( 0 8 0—0 5 0

Em p r c lf r u a a d m a h m a i a o ei ii a o m l n t e tc lm d l ng f r t r b e f f r i z r e e t a a y i o he p o lm o e tl e f c n l ss i

L u n—t g Q h—pn, U J I a i, I i eg H i Y n Z e—m i e( a ca gH n kn nvrt, ac ag30 6, hn ) N nh n ag ogU i sy N nh n 3 0 3 C i ei a

Ke r s: aa f t g y wo d d t t n;mah ma ia d e ig;e i/a o mu a e t ie f c n y i i i te t l c mo l n mp r l f r l;f r l re e t a s c iz al s Ab t a t T e p p rd s u s sa mah maia d l g p o l m:fri z r e e ta ay i. T d l a e gv n,i a h o ih sr c: h a e ic s e t e t l mo ei r b e c n e t ie f c n ss wo mo es r ie l l n e c fwhc yed mo e n e e t mo e l ic s e . il d la d b n f s i d la e d s u s d

数据拟合方法【在数学建模问题中常常有着重 16 g h与 3 2 g h。 1 9 k/ a 7 k/ a要的应用。根据实验数据来求出实际问题中变量之

我们来分析施肥量与产量之间的关系，并对所

间的经验公式¨, 然后再根据经验公式来讨论模型得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

的最优解，是许多数学建模问题中的一种重要方法。 下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题 J

。某地区作物生长所需的营养素主要是氮 (、 N)

首先，将题中的数据用 M T A A L B软件作出图形：土豆：N W土豆：P w 土豆： K W

磷( )钾( ) P、 K。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据可参见文献[]其中 h表示公顷，表示吨，g 3, a t k表示公斤。当一

个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的

施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时，与 K的施肥量分别取为 P[日期] 0- 1 2收稿 2 7 1— 0 0【修回日期]0 8 0— 4 2 0- 7 0 [基金项目】南昌航空大学省级教改课题 U J 0—— ) x G一 7 7 9。【作者简介】园￣ (9 2 )南昌航空大学数学与信息科学学院副教授。研究方向：李 .16 -男，偏微分方程。

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从图上可看出， P K的取值范围不一样， N、、可增加不大。从上面的土豆和生菜产量与 P肥或 K肥

以将它们的取值范围转化成区间[,]这样它们用量的数据图上可以看到这样的规律。具有这种特 01,的变化范围就都一样了。转化后的数据图形如下：点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好地反映出来。当然也可以考虑用分段函数来描述。为简

单起见，下面在拟合这些函数时都用二次多项式。 在实验数据中， K肥料施用量与生菜产量的实验数据波动性较大，种产量与肥料的施用量的关这系在农作物中是很少出现的现象。如果从数据图形

的整体来看，其实 K肥料施用量与生菜产量的实验数据的特点还是与上面所说的情况相似的，波动其性可看作是实验误差。

要利用实验数据来拟合出这些函数关系，显然，

1模型的建立及求解

如果实验数据越多、数据分布越合理，则拟合的效果

其所反映出来的规要分析施肥量与产量之间的关系，首先要建立就越好。这样拟合出来的函数，应施肥量与产量之间的函数关系。可以用数据拟合的律就越符合实际情况。例如，当给出充分多的数且这些数据应当是在 N、、 P K三种肥料的不同用方法来建立这种函数关系。这又需要确定拟合的函 据，

数的形式，

即所谓经验公式。

量下的产量数据。又比如，应该有这样的数据：当

P K三种肥料中某两种肥料限制在不同的固定施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的 N、、相第 施用量与产量的关系，可以是三种肥料共同的施值时，应地，三种肥料取不同值时的产量数据，也

、、用量与产量的关系。按一般常识，、、 N P K是作物生这样才有可能反映出 N P K三种肥料在对农作物长的三种基本肥料要素，它们用量的多少将直接影产量的共同影响时的相互影响的规律。但事实上，而所响农作物的产量。这种对作物产量的“响”常这里所给出的实验数据非常有限，且很不均匀，影通、、是这三种肥料的共同影响，不应是单一某一种肥以用现有的数据来拟合 N P K的施用量与产量之而并料对作物产量的“响”影。但每一种肥料的用量对间的函数关系，根据这些函数的性质所推断出的

于不同的作物产量的影响效果又有不同。例如， 施肥量与产量之间的关系， N其可信性是有限的。肥的施用量对有些农作物产量的影响是： N肥施当

另外，拟合每一种肥料的施用量与产量的函数

其余 用量较少时，着 N肥用量的增加，作物的产量时，两种肥料的用量都是限制在一个数值上的，随农当相应的另两肥料的用量会增加，到一定用量后产量达到最大，后， N肥其结果通常也只能得到，然当

用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。这从在所限制的数值下的情况。上面的土豆和生菜产量与 N肥用量的数据图上也

虽然我们得到的结果可能有一定的局限性，但

可以看到这样的规律。而在一定的范围内， P肥和这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法， 还 K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增从建立模型的角度来说，是值得讨论的。如果要加而一直增加，只是当 P肥和 K肥的用量较少时，随想得到更精确的结果，只需要有更多的产量与施肥

着其用量的增加，农作物产量增加较快，而当 P肥和量实验数据，用本文中给出的模型讨论即可。再 K肥的用量较多时，随着其用量的增加，农作物产量下面首先建立产量与施肥量的函数关系，利再

南{

室‘击謦学报鸵Jou nal r Nanc of han an ong U n ve s t gH gk i P iy

自然科学版………, I c n e N f S; c 8 e

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用这些函数来讨论施肥效果。

产量与施肥量的函数关系，有两种方式，一种是对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数， 这需要拟合三个函数，每个函数都是一元函数，这种做法可以使拟合的效果较好。另一种是考虑三种肥料共同对产量的影响，这只需要拟合出一个函数，这是一个三元函数，由于数据量偏少且不均匀等的且原因，拟合效果要差一些，但这是讨论肥料施用量与产量的全局最优解所必须的。下面分别来讨论。1 1模型 1对三种肥料的用量与土豆和生菜产 . 量分别拟合相应的函数讨论一种肥料的用量与产量的关系时，它两其种肥料的用量都固定在第 7种水平，种肥料的用三量分别是：土豆= 0 5 9,= .4 9 P =05 1; . 7 4

生菜 n;=0519P .74,;=050,=051。 .78 .74先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系，我们利用所给数据来拟合这些函数关系。如果假设土豆产量与三种肥料： P K的用量 N、、之间的函数关系分别是l (, 2= ( ) 1 ( ) 1= ) 1 P, 3=后

类似地，如果假设生菜与三种肥料 N P K之间、、

这些函数的形式，按照上面的讨论，都用二次多的函数关系分别是 W1=g( ) W2=g(, 2 2 ln,2 2P)W3=g(} 3| j )项式。面是利用实验数据拟合的结果。下 当 P K固定在第 7、种水平，==0 5 1即P .74时，函数 W: (拟合的结果是：。 ) 这些函数利用原始数据拟合的结果如下。

当P K、固定在第7种水平，; 050,=即p= .78 2】=g ( )=一3.94+3. 15 ln 65 4n 97 7n+1.9, 024

.74时，函数：=g ( )。n拟合的结果是： W1= ln 1 f ( )=一 53 2n+9 .54 7 .22 287 n+1.4 6 05 1 47 1,∈[,] 0 1当 N、固定在第 7种水平， n K即=0 59 .49,=

∈[

,] 0 1

051 .74时，函数 W: ( )。 P拟合的结果是： W2=- ( )=一1.19+2.68 1厂P 2 6 17p 45 7p+3.2 1 294,

当N K固定在第 7、种水平，;=0519即凡 .74,=0 5 1 .74时，函数 W:=g ( )拟合的结果是： PW=g ( )=一2.09 15 1也 2p 5 68p十4 .2 8 p+6 816 .89,

P∈[,] 0 1

0 1当NP、固定在第7种水平， .4 9P P∈[,]即n=05 9,=当 N P固定在第 7种水平， n、即=0 5 19 .7 4, 05 1, .74时函数 2= (￡ )拟合的结果是： ) W3= ( l )=一2 .4 3+ 8 88k+2. 14 966k 4 .08 444,

P=050时，数 W:g(); . 8函 7 拟合的 结果是：W=g (罄 3 )=- .06 8 3308 6 22, 0 348k+ .31k+1.3 9

∈[,] 0 1

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k∈ l,] 0 1

112效益模型 ..

如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量

当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费

与施肥量的函数关系，拟合曲线的图形来看，有用多时，从只就应该施肥，否则就不应该多施肥。设土豆产量与 N肥的用量函数有唯一极大值点。它函数都和生菜的售价分别是 0和口 (/)N P K的售其 :元 t,、和不具有这一性质，其规律是：、的施用量越多，量价分别为 b, 6(/ g。 PN产 b,,元 k )都会增加。如果只从增加产量的角度，就应尽量多施

首先讨论 N肥施用量的效益模型。 N肥的用当

这两种肥料。但多施肥的同时也会增加购买肥料的费量是 n k/ a时， ( gh )土豆和生菜的产量分别是 t= t ,

用，从经济的角度来看，并不一定合算。应综合考虑产

( )和 W n:=g ( )土豆施用肥料的费用是 h n,。=量和施肥的成本因素，以单位面积上的收益 (即农作 b+:￣。元/ a, l p6+kb( h )生菜施用肥料的费用是 物的销售收入与施肥的费用之差 )为目标函数，以单

h 2=6 p6 I6(/a。 1; j 3

元 h) n+ 2+};益分别是：

位面积的收益最大为最优准则，确定最优解。来 1 11产量模型 ..考虑当 0≤ np, 1的产量模型。果只是， k≤时如

单位面积上的土豆和生菜因施Ⅳ肥所增加的收

m=口[ n f( ) ( )-,0]一h = 0( 53 2n l一7 .2 2+9 .54 )一 (l 2 87n bn+pb O2+kb )￣3

追求高产，只要求出上面拟合出来的函数则

=

( )加i ( ) i,,) 和=g (=123的最大值即可。产量模型的求解可以用微分法求解，以用 MA L B软也 TA

件很容易求出，且只要求 N对产量的最大值，因为 P 和 K的用量取最大值时，相应地土豆和生菜的产量最大。利用 MA L B软件求解的结果是： TA

m2=0[ ln 2g( )一g ( ) 10]一h 2= n( 654 n 2一3 .9 4+3 . 1 5 )一 ( l+ 977 n b pit

h 6) 2+ 3

当 P K固定在第 7种水平，、即P=k=P=k 量是 2 034 ( gh ), 9.24 k/ a时土豆的产量最大，最大值是 4 . 6 3 th ) 3 3 0 (/ a;

于是效益模型就归结为要确定 N肥的施用量凡

。m达到最大。 :0 5 1而 N的用量为 n . 7 4, .=0 6 6, N的施用使得收益 m, . 14即利用微分法不难求得最优解是：

当P K、固定在第7种水平，即p=; 050, P= . 8 7k=k=05 1,; .74而N的用量为/ 05 2, N的 7 .4 7即， 2=施用量是 227 8 ( gh )生菜的产量最大， 1.34 k/ a时，最大值是 2 .0 2 th ) 1 0 6 (/ a。T

当=西 nn 。— 1蔷=益是p￣ 2+kb )元 b￣3 (

时豆最收日旦敢 ,的牛嗣大

m1=a ( 5 3 2 n 9 . 5 4 1 1一7 . 2 2+ 2 8 7 n )一( 11 bn+

/a。 h )

壹 n 当 n: 2:_丽时， ■“, 生菜的最大收益是生采刚最收盈是

m=口( 3.94; 3.1 1) (l+ 2 2一 654n+ 977%一 b 2 52 np6;3(/a。 2+尼6)元 h)同样，对于单位面积上的土豆和生菜因施 P肥或 K肥所增加的收益也可以类似地讨论，此处就只对于

单位面积上的土豆和生菜因施 P肥所增加的收益进行讨论。收益函数分别是： m=。[ P A( ) ( )- 0]一h

南昌室鸵击謦学报00珏疆《 a han H an ong U n v siy r ofN nc￣￣k i er t

自然科学腹………, 8 8 c: e NⅫ ec

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=口 ( 6 17 p 1一1 . 1 9+2 . 6 8 )一( 1+ 457p n6 p 2+kb ) 6￣3

Pb 6)元/ a。 22+ 3 ( h ) 12模型 2将土豆和生菜的产量都看成是 N、 . P和 K的三元函数

m 2=口[2P 2g ()一g ( ) 20]一h2

=口( 568p+4.28 )一(;1 2一2.09 151p 6+p 2+ 6) 6 3

设 W n, k,= P,)和=g nP,)别是土 (, k分

豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数，这里用 2次多项式来拟合这两个函数。面是用下

利用微分法不难求得最优解是： 当p l:—当p:p 时，的最大收益是寸土豆阳最大收益是土显

MA L B软件求得的结果， TA利用实验数据在求拟合函数= np,)和：=g nP ),现只出 , k (,,时发

m:a ( A( ) h。 。 P )- 0]一 =0 ( 6 17 p 2 . 6 8 1 1一1 . 19+ 4 5 7 p )一(￣ l nb+ Pb I2+kb )元/ a。￣3 ( h )

现，,及其乘幂项， P后而没有 np交叉相乘的项。,,W 1=, nP,)=一1.2+8 .0 2 .9 (, k 28 96 n+ 87p+4 8 k一 7 26 一20 0 p一28 7 k 7. 2 2. n .4 .3

当p: 2:— p P m”

百一时，“,日生菜的最大收益是生采阳最大收益是

W 2=g,, )=一 . 9 ( Pk 7 4 6+3 . 7 3 . 4 6 5 n+ 1 2p+1 . 8一 3 . 7 一 1 . 6一 1 . 9 67 k 36 n 6 Op 27 k

2=1[2P )一 20]一h2 7 g (2 g ( ), 2

其中0≤ P k≤ l拟合效果如下图所示。,,。

:0( 2.09; 4.282一 n6+ 2一 568p+ 151 ) (; p 1土

G

05

12 1产量模型 ..

0

8时， . 3土豆的产量最大，最大值是 4.98 t a; 51 ( h ) 3/ 当N P、和K的取值分别是= ., 09, 05 P: .7k= 4

易知，产量模型可归结为求函数= nP k ,,)和MA L B软件可以求出结果是： TA 当 N P K的取值分别是/=06,、和 t ' .2p=07, .2k=

: g nP k的最大值。用微分法或用 06时， (,,) .6生菜的产量最大，最大值是 2.21th) 31 ( a。 9/ 12 2效益模型 ..同模型 1当施用肥料所带来的收入比用于购，

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买肥料的费用多时，该施肥。就应否则就不应该多施 7 (/ g;的价格为 b 6元 k )P肥 2=04元/g;的 . ( k )K肥肥。土豆和生菜的售价分别是口和口(/) N、价格为 b设 :元 t, P=24 (/ g。 .2元 k )又设土豆和生菜的批发和 K的售价分别中 b, b(/ g。 N、 K的价分别为 80元/吨 )和 40元/吨 ) b,元 k )当 P和 0( 0(。

用量分别是/P k k/ a时， 2,( gh )土豆和生菜的产量分，

对于模型 1的效益模型，利用上面的数据，可求

别是 W nP,)=, k和：=g nP k,购买肥料得单位面积上的土豆和生菜施 N的最优解结果分 (,,)而肥

的费用是 h=b+b l 2/ 2 p+b (/ a, 3元 h )于是单位面别是： k 积上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分别是：凡 l=0 66, =2 29 0( )和 n . 14 m .82X1元 2=

m。=[ 2P k -<,,) X h=[ 2 0 5 2, 2/,) f 00 0]口一，/, .4 6 m=4 3 8 0 ( ) . 0 1X1元。 P k f 000]X0一(,)-<,,) l b m+b 2 P+b ) 3 k同样，可求得单位面积上的土豆和生菜施 P肥， n 2=[ (,,)一g o0 0]X口 g nP k (,,) 2一h=的最优解结果分别是： [ (,,)一g O0,) 2一(l+b g nP k (, 0]xa b/ 2 2 p+bk 3)P 1=0 7 2, =7 4 6 0 ( )和 P .6 1m . 8 9 X1元 2

=

模型归结为：确定凡P k,,的值，使上面两个函数 0 8 0,=6 7 9 0 ( ) . 17 m2 .2 6X 1元。分别达到最大值。 .从求解的结果上可以看到，于施 N肥的效益对用微分法可求得最优解分别是： 当 N、 K的取值分别是 n P和=,l p

模型求解的结果与产量模型的求解结果差别不大，这是因为，在现有的实验数据范围内，肥料的成本相对于总收益来说很小。例如每公顷面积施用 N肥的

垫 一 4 0 0 8=.

口1

’

= 5 6“,豆的产量最成本最多为 4 1×17<10 74 a时’土且 上里取 7 .6 00元，相对于总收益来一. t

大，最大值是 m=[/,。 厂00 0]X 1 2 P, )一 (,,) 。 k a一

说可忽略不计。因此，可以认为效益模型的结果与产量模型的结果相同。

( 1 1 2l+bk ) th ) b/+bp 2 31 (/ a;

这个求解的结果与农民对农作物施肥时的作法当N P K的取值分别是 n 、和：==

是相符合的。事实上，民在对农作物施肥时，农都是从考虑如何使农作物的产量达到最大来确定施肥量的。

一 3 1 . 2 2.

,

=

’

一

8口 25 5 ..

时，木 里 生菜的产量’工。

最大，大值是 m2最=[ ( 2P,2 g/, k)一g o 00]X 2 (,,)a 2一( l2+bp bn z2+bk ) th ) 32 ( a。/

在模型 1讨论一种肥料的用量与产量的关中，系时，它两种肥料的用量都固定在第 7种水平，其模

2模型的检验与改进

型求解的结果较合理，但这只是当固定其中某两种肥料的用量时，虑施用第三种肥料的施用量的最考

为了检验效益模型的求解结果，要知道土豆优解。需而产量与肥料的施用量的全局最优解应当是

和生菜的销售价，还要知道肥料 N P K的销售价。、、 不同的 N肥价格相差较大，例如，按照当前的市

模型 2的解。

通常，对于用拟合方法得到的函数，只有当自变

场价格，碳酸氢铵平均价格为 50元/吨)尿素价量在包含实验数据点 ( 4(,这里指自变量部分 )的某个格为 16 (/吨 )钾肥的价格也有 10 (/吨 ) 70

元， 70元

范围(例如，以实验数据点为顶点的所有多面体的

至 22 (/吨 )等的情况， P肥的价格大致为并集 )内变化时， 40元不而拟合函数才可能是较合理的，而对4 0元/吨 ) 0(。

于自变量在这个实验数据点的范围外变化时的函数值则不一定合理。例如，模型 2在拟合所得到的函数

在以下讨论中，们假设 N肥价格为 b= 1我 .

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l=, nP k (,,)=一l.2+8 .0+2 .9 28 9 6 i 87p+ t4 . 2k一72 2 t一 2 . 4 一28 7 78 . 6i 00p . 3k一

nP k,, )=8 . n+6 3 2 2 . 8 96 . 5 p+ 5 3 k一7 . 6 22 n2 . 4+ 3 . 7 k一 2 . 3 0 0p 92p 87 k

t O 2=g I P k (,, )=一 . 9 3 . 7 t 7 4 6+ 6 5 n+3 . 4+ 1 2, o"

g Ip k (,, )=2 .5 3 .4 3 6 9 3 . 7 t 3 4 n+ 12p+ . 5 k一 3 6 i t一

1 . 8一3 . 7 一 1 . 6 一 1 . 9 67 k 3 6i t 6 Op 2 7k

1 06 6. p+ 2 9 2. 6nk一 1 7 k 2. 9

中，常数项的值为负，这是不合理的，因为 00 0,,)

可以看到，这样拟合出来的函数 nPk,,)和

( P k在原点处的值都不会出现负数。另外，在和g o0 0表示不施肥时的产量， (,,)这些值都应当是 g,,),,)和 g nP k的表达 (,,)非负才合理。但因为原点 (,,) 00 0并不在实验数据这样拟合得到的函数 nP k还，,用的范围内，因此拟合函数的这种情况是可以出现的。式中，出现了 nP k交叉相乘的项。这两个函数

P k和 ( P k时一样可以这时模型 2中的效益模型就需要改进一下。这可以 代替模型 2中的，,) g,,)用两种方法来处理。 进行讨论。时， MA L B软件可求得最优解分此用 TA

第一种方法，就是直接将函数， nP k和g I (,,) (,别是： t

P k在原点(,

,)的某个小的邻域内的值改为 0,) 000即可。就是分别用也 (, k np,)=ma{ np后，} x,,)0 g (,,): ma{ (,,)0。nP k x g nP k,}

当 N、和 K的取值分别是 Pn= 0 6—0 0 6 .2 .o901

= 1 7 9—0 0 5 .8 .75口1

o0 6 . 51一

。: 1 6 4— 0. 51 , .67 0 6‘ 口1

一 0. 5 7 3 02 b口l

口1

代替原来的函数凡P k和g np k。,,) (,,)这样处理之后，模型 2的最优解和最大收益的值不变。 第二种方法，因为 N P K三种肥料是农作物生、、长的基本肥料要素，如果这三种肥料都不施用，农作物的产量通常会很低，近似地认为产量为 0因可。

时，土豆的产量最大，最大值是 m= n,, ) 。 k× P口 1一( l 1 z 1 3 1 (/ a; bn+b+bk ) th ) p

当 N P和 K的取值分别是、2: . 一0 1 .3 b 0 01 2 b . 9 3,= 0. 7 . 2 4 L一 0 9 ,,:0. 7 3 2一 0 1 5 0 . 01 2 p2= 0. 2 p 9- -

一

,

此，在拟合函数凡P k,,)和 g np k时， (,,)我们在实一

验数据中增加一个点 ( 00 0 ( 0,,,)即表示当 N P K、、

2 b 0 031 . 1

.

|: 0. 56—0. 9 j}, 6 5 01 2‘ 口2

b _一 0. 5 3 2 0 6 3_

Ⅱ2

n2

三种肥料的施用量均为 0时，豆和生菜的产量也时，土生菜的产量最大，最大值是 m=g凡，, ) 2 (: k× P

为0, )这样拟合函数厂 nP后 (,,)和 g凡P k时的结 0 (,,) 2一( l2+6p+bk ) th ) bn 22 32 (/ a。果是

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(责任编辑：杨名宇 )

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