高考达标检测（二十三） 等差数列的3考点 - 求项、求和及判定

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高考达标检测（二十三） 等差数列的3考点

——求项、求和及判定

一、选择题

?1?39

1．(2018·厦门一中测试)已知数列{an}中，a2＝，a5＝，且?a－1?是等差数列，则

28?n?

a7＝( )

10

A. 912C. 11

11B. 1013D. 12

??1??

解析：选D 设等差数列?a－1?的公差为d，

???n?

则

1111

＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，

93a5－1a2－1－1－182

1113

所以＝＋5d＝12，解得a7＝.

12a7－1a2－1

2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )

A．6斤 C．9.5斤

B．9斤 D．12斤

解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列， 设首项a1＝4，则a5＝2.

由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6， 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．

3．(2018·银川一中月考)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有下列命题：

①若S3＝S11，则必有S14＝0；

②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项； ③若S7>S8，则必有S8>S9； ④若S7>S8，则必有S6>S9.

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其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

14?a1＋a14?

解析：选D 对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝＝

20，所以①正确；

对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大项，所以②正确；

对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；

对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.

4．(2018·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于( )

A．290 C．580

B．300 D．600

解析：选B 由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1. 由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29， 所以S20＝

20?a1＋a20?

＝10(a2＋a19)＝300. 2

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为( )

A．18 C．20

解析：选D 因为{an}是等差数列， 所以S9＝9a5＝18，a5＝2，

n?a1＋an?n?a5＋an－4?nSn＝＝＝×32＝16n＝336，

222解得n＝21.

6．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结

B．19 D．21

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论错误的是( )

A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5

D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值

解析：选C 由S5S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确；∵d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误；∵S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．故选C.

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( ) A．|a7|>|a8| C．|a7|＝|a8|

B．|a7|<|a8| D．|a7|＝0

解析：选B 因为(S8－S5)(S9－S5)<0， 所以(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)<0， 因为{an}为等差数列， 所以a6＋a7＋a8＝3a7， a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)， 所以a7(a7＋a8)<0， 所以a7与(a7＋a8)异号． 又公差d>0，

所以a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|，故选B. 二、填空题

8．在数列{an}中，an＋1＝

an，a1＝2，则a20＝________. 1＋3an

an解析：由an＋1＝，a1＝2，

1＋3an11可得－a＝3，

nan＋1

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?1?1

所以?a?是以为首项，3为公差的等差数列．

2?n?

112

所以a＝＋3(n－1)，即an＝，

2n6n－5所以a20＝答案：

2

. 115

2 115

9．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，则数列{an}的通项公式为________． 解析：∵a1＝1，an＋1＝2an＋2n， an＋1an1∴n1＝n＋， 2＋22

?an?a111

∴数列?2n?是首项为＝，公差d＝的等差数列，

222??

an111

故n＝＋(n－1)×＝n， 2222即an＝n·2n－1. 答案：an＝n·2n1

－

10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，则λ＝________. 解析：当S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8时，

由等差数列的性质得：S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， ∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)， ∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)， 解得λ＝2. 答案：2 三、解答题

11．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12. (1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(2)设bn＝10－an，数列{bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时，Sn最大？ Sn最大值是多少？

解：(1)设{an}的公差为d， ∵a1，a2，a5成等比数列，

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∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 解得d＝0或d＝2a1.

当d＝0时，∵a3＋a4＝12，∴an＝6， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30；

当d≠0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝1，d＝2， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25.

(2)∵b1≠b2，bn＝10－an，∴a1≠a2，∴d≠0， 由(1)知an＝2n－1，

∴bn＝10－an＝10－(2n－1)＝11－2n，Sn＝10n－n2＝－(n－5)2＋25. ∴当n＝5时，Sn取得最大值，最大值为25.

12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

??2a1＋7d＝4，由题意知?5×4

5a1＋d＝－5，?2?

故an＝2n－7(n∈N*)．

??a1＝－5，

解得?

?d＝2，?

7

(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，

2

所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0. 由(1)知Sn＝n2－6n，

所以当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2； 当n≥4时，

Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.

2

??6n－n，n≤3，

故T5＝13，Tn＝?

2??n－6n＋18，n≥4.

13．已知数列{an}中，a1＝4，an＝an－1＋2n1＋3(n≥2，n∈N*)．

－

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(1)证明数列{an－2n}是等差数列，并求{an}的通项公式； an(2)设bn＝n，求bn的前n项和Sn.

2

解：(1)证明：当n≥2时，an＝an－1＋2n－1＋3＝an－1＋2n－2n－1＋3， ∴an－2n－(an－1－2n－1)＝3. 又a1＝4，∴a1－2＝2，

故数列{an－2n}是以2为首项，3为公差的等差数列， ∴an－2n＝2＋(n－1)×3＝3n－1， ∴an＝2n＋3n－1.

n

3n－1an2＋3n－1

(2)bn＝n＝＝1＋，

22n2n?3n－1?25

1＋?＋?1＋2?＋…＋?1＋n? ∴Sn＝??2??2?2???3n－1?＝n＋?2＋52＋…＋n?，

2??22

3n－125

令Tn＝＋2＋…＋n， ①

2223n－1125

则Tn＝2＋3＋…＋n1， ② 2222＋13333n－1①－②得，Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n1，

22222＋1??1?n－1?1－

4??2??3n－153n＋5

＝1＋3×－n1＝－n1，

122＋2＋1－23n＋5

∴Sn＝n＋5－n.

2

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＝2an＋2n1－1(n∈N*)．

＋

(1)求a2，a3；

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?an＋λ?

(2)求实数λ使?n?为等差数列，并由此求出an与Sn；

?2?

Sn(3)求n的所有取值，使a∈N*，说明你的理由．

n

解：(1)∵a1＝3，an＋1＝2an＋2n＋1－1， ∴a2＝2×3＋22－1＝9，a3＝2×9＋23－1＝25. (2)∵a1＝3，an＋1＝2an＋2n＋1－1， ∴an＋1－1＝2(an－1)＋2n＋1， an＋1－1an－1

∴n1－n＝1，

22＋

?a1－1?an＋λ??

故λ＝－1时，数列?n?成等差数列，且首项为＝1，公差d＝1.

2??2??

an－1

∴n＝n，即an＝n·2n＋1. 2

∴Sn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)＋n， 设Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 则2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②

①－②得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，

∴Sn＝Tn＋n＝(n－1)·2n＋1＋2＋n. 2n＋1＋n＋2n－2n＋1Sn?n－1?·(3)a＝＝2＋n， nnn·2＋1n·2＋1n1

结合y＝2x及y＝x的图象可知2n>恒成立，

22Sn∴2n＋1>n，即n－2n＋1<0，∵n·2n＋1>0，∴<2.

anSnS1当n＝1时，＝＝1∈N*；

ana1

当n≥2时，∵an>0且{an}为递增数列， ∴Sn>0且Sn>an，

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SnSnSn∴>1，即1<<2，∴当n≥2时， ?N*. ananan综上可得n＝1.

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