2019四川省达州市中考数学试卷 解析版 - 图文

2019年四川省达州市中考数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（ ） A．2019

B．﹣2019

C．

D．﹣

2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a+a＝a

C．（﹣2ab）＝﹣4ab

2

22

2

3

5

B．a÷a＝a D．（a+b）＝a+b

2

2

2

844

4．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）一组数据1，2，1，4的方差为（ ） A．1

B．1.5

C．2

D．2.5

6．（3分）下列判断正确的是（ ） A．

＜0.5

B．若ab＝0，则a＝b＝0 C．

＝

D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长

7．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A．2500（1+x）＝9100 B．2500（1+x%）＝9100

22

2

C．2500（1+x）+2500（1+x）＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）＝9100 8．（3分）a是不为1的有理数，我们把﹣1的差倒数

称为a的差倒数，如2的差倒数为

＝﹣1，

2

＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3

的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ） A．5

B．﹣

C．

D．

9．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

，2），点A在x

10．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2

轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2

；

2

2

②当点D运动到OA的中点处时，PC+PD＝7； ③在运动过程中，∠CDP是一个定值； ④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（

，0）．

其中正确结论的个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为4.62万亿美元（美国约为4.278万亿美元），同比增长12.6%，占全球贸易总额的11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据4.62万亿用科学记数法表示为 ．

12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．

13．（3分）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是 ．

14．（3分）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为 ．

15．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝

的图象上，C、D两点在反比例函数y＝

的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ ．

16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线y＝﹣x+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；

②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）

2

2

2

+m；

④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为

+

．

其中正确判断的序号是 ．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：（π﹣3.14）﹣（）+18．（7分）先化简：（

﹣

）÷

0

﹣2

﹣．

，再选取一个适当的x的值代入求值．

19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：

星期一 540 星期二 680 星期三 640 星期四 640 星期五 780 星期六 1110 星期日 1070 合计 5460 （1）分析数据，填空：这组数据的平均数是 元，中位数是 元，众数是

元．

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？ 答（填“合适”或“不合适”）： ．

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额． 20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3． （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D； ②过点D作BC的垂线，垂足为点E． （2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？

22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．

（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝6，AE＝

，CE＝

，求BD的长．

23．（8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景

区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，

≈1.73）

24．（11分）箭头四角形 模型规律

如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．

因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用

（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．

②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝ ．

③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝ 度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．

25．（12分）如图1，已知抛物线y＝﹣x+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标； （3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

2

2019年四川省达州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（ ） A．2019

B．﹣2019

C．

D．﹣

【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案． 【解答】解：﹣2019的绝对值是：2009． 故选：A．

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念进而判断求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形． 3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a+a＝a

C．（﹣2ab）＝﹣4ab

2

22

2

3

5

B．a÷a＝a D．（a+b）＝a+b

2

2

2

844

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a+a，无法计算，故此选项错误； B、a÷a＝a，故此选项正确； C、（﹣2ab）＝4ab，故此选项错误； D、（a+b）＝a+2ab+b，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）

2

2

2

2

22

8

4

4

2

3

A． B． C． D．

【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．

【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形． 故选：B．

【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．

5．（3分）一组数据1，2，1，4的方差为（ ） A．1

B．1.5

C．2

D．2.5

【分析】先求得这组数据平均值，再根据方差公式，计算即可 【解答】解： 平均数为＝

2

2

＝2

2

2

2

方差S＝[（1﹣2）+（2﹣2）+（1﹣2）+（4﹣2）]＝

故选：B．

【点评】此题主要考查方差的计算公式，熟记方差的计算公式：S2＝×[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣1﹣）+（xn﹣）]是解题的关键 6．（3分）下列判断正确的是（ ） A．

＜0.5

2

2

2

2

B．若ab＝0，则a＝b＝0 C．

＝

D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长

【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．

【解答】解：A、2＜∴＜

＜3，

＜1，本选项错误；

B、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，本选项错误； C、当a≥0，b＞0时，

＝

，本选项错误；

D、3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确； 故选：D．

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、列代数式，掌握二次根式的乘除法法则、实数的大小比较法则是解题的关键．

7．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A．2500（1+x）＝9100 B．2500（1+x%）＝9100

22

2

C．2500（1+x）+2500（1+x）＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）＝9100

【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．

【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： 2500+2500（1+x）+2500（1+x）＝9100．

2

2

故选：D．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键． 8．（3分）a是不为1的有理数，我们把﹣1的差倒数

称为a的差倒数，如2的差倒数为

＝﹣1，

＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3

的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ） A．5

B．﹣

C．

D．

【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解． 【解答】解：∵a1＝5， a2＝a3＝

＝＝

＝﹣，

＝，

a4＝

＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝， 故选：D．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．

9．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决． 【解答】解：当0≤t≤2时，S＝有最小值（0，0），开口向上， 当2＜t≤4时，S＝

﹣

＝

＝

，即S与t是二次函数关系，

，即S与t是二次函数关系，开口向下，

由上可得，选项C符合题意， 故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2

，2），点A在x

轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2

；

2

2

②当点D运动到OA的中点处时，PC+PD＝7； ③在运动过程中，∠CDP是一个定值； ④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（其中正确结论的个数是（ ）

，0）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；

②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝＝OC+OD＝2+（

2

2

2

，根据勾股定理即可得到PC+PD＝CD

222

）＝7，故②正确；

2

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝

PE＝

a，求得CE＝BC﹣BE＝2

﹣

a＝

（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝故③正确；

，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，

④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，

Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（

，0）．故④正确．

，2），

【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2∴OA＝BC＝2

；故①正确；

②∵点D为OA的中点， ∴OD＝OA＝

2

2

2

，

2

2

2

∴PC+PD＝CD＝OC+OD＝2+（）＝7，故②正确；

2

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a， 在Rt△BEP中，tan∠CBO＝∴BE＝

PE＝

a， ﹣

a＝

（2﹣a）， ＝

＝

，

∴CE＝BC﹣BE＝2∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°，

∴△CEP∽△PFD， ∴∴

＝＝

，

＝

＝

，

，

，

∴FD＝

∴tan∠PDC＝

∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2∴OA＝2

，2），四边形OABC是矩形， ，AB＝2，

＝

，

∵tan∠AOB＝

∴∠AOB＝30°，

当△ODP为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝60°， ∴∠ODC＝60°， ∴OD＝

OC＝

，

Ⅱ、OP＝OD，

∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； Ⅲ、OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝30°，

∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（故选：D．

，0）．故④正确，

【点评】此题主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和PD是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为4.62万亿美元（美国约为4.278万亿美元），同比增长12.6%，占全球贸易总额的11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据4.62万亿用科学记数法表示为 4.62×10 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4.62万亿＝4.62×10， 故答案为：4.62×10

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为

．

n

12

12

n

12

【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．

【解答】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光

所以P（灯泡发光）＝．

故本题答案为：．

【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

13．（3分）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是 ﹣＜x＜0 ．

【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围． 【解答】解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2， 解得：﹣＜x＜0， 则x的范围是﹣＜x＜0， 故答案为：﹣＜x＜0

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．（3分）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为 16 ．

【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2．

【解答】解：∵?ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB， ∴O为BD中点， ∵点E是AB的中点， ∴AB＝2BE，BC＝2OE， ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD， ∴CD＝2BE． ∵△BEO的周长为8， ∴OB+OE+BE＝8，

∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16， ∴△BCD的周长是16， 故答案为16．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 15．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝

的图象上，C、D两点在反比例函数y＝

的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ 4 ．

【分析】设出A（a，

），C（a，

），B（b，

），D（b，

），由坐标转化线段

长，从而可求出结果等于4． 【解答】解：设A（a，CA＝∴得a＝同理：BD＝又∵a﹣b＝3

﹣

＝2， ，

，得b＝

），C（a，

），B（b，

），D（b，

），则

∴﹣＝3

解得：k2﹣k1＝4

【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线y＝﹣x+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；

②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）

2

2

2

+m；

④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为

+

．

其中正确判断的序号是 ①③④ ．

【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；

②根据二次函数的性质进行判断；

③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；

④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．

【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x+2x+m+1中，得x﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；

②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a

2

2

2

2

＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）

2

+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）+m，故此小题结论正确；

2

2

④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，

则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：

，故此小题结论正确；

故答案为：①③④．

【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：（π﹣3.14）﹣（）+

0

﹣2

﹣．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝1﹣4+3﹣2＝﹣2

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（7分）先化简：（﹣）÷，再选取一个适当的x的值代入求值．

，

，两式

【分析】先对括号里的分式进行整理，

相减进行通分即可进行化简，再代入适当的值即可． 【解答】解： 化简得， 原式＝＝＝﹣

＝﹣

取x＝1得，原式＝﹣

【点评】此题主要考查分式的化简求值，掌握运用分式的通分技巧及分解因式是解题的关键．

19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：

星期一 540 星期二 680 星期三 640 星期四 640 星期五 780 星期六 1110 星期日 1070 合计 5460 （1）分析数据，填空：这组数据的平均数是 780 元，中位数是 680 元，众数是 640 元．

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？ 答（填“合适”或“不合适”）： 不合适 ．

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．

【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义进行解答即可； （2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可； ②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额． 【解答】解：（1）这组数据的平均数＝

＝780（元）；

按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110， 中位数为680元，众数为640元； 故答案为：780，680，640；

（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额， 所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，

故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适； 故答案为：不合适；

②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额， 当月的营业额为30×780＝23400（元）．

【点评】本题主要考查了众数、平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用．

20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3． （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D； ②过点D作BC的垂线，垂足为点E． （2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；

（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE． 【解答】解：（1）如图，DE为所作；

（2）∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACB＝45°， ∵DE⊥BC，

∴△CDE为等腰直角三角形， ∴DE＝CE，

∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴

＝

，即

＝

，

∴DE＝．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？

【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个， 依题意，得：解得：x＝8，

经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意． 答：这种粽子的标价是8元/个．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．

（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝6，AE＝

，CE＝

，求BD的长．

+

＝27，

【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得

＝

，根据

垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：（1）DF与⊙O相切， 理由：连接OD，

∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴

＝

，

∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∴DF与⊙O相切；

（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C， ∴△ABD∽△AEC， ∴∴

， ＝

，

∴BD＝．

【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、切线的判定，证得∠BAD＝∠DAC是解题的关键．

23．（8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.

≈1.41，≈1.73）

【分析】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可． 【解答】解：作BF⊥CE于F，

在Rt△BFC中，BF＝BC?sin∠BCF≈3.20， CF＝BC?cos∠BCF≈3.85， 在Rt△ADE中，DE＝

＝

＝

≈1.73，

∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58， 由勾股定理得，AB＝答：AB的长约为0.6m．

≈0.6（m），

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（11分）箭头四角形 模型规律

如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．

因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 2α ．

②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝ 85° ．

③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝ （m+n） 度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案； ②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝∠ACO＝得∠BOC＝

（∠BOC+

，代入计算可得；

（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，

（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+

（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C

（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝

×

（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝∠BAC）＝

∠BOC+

∠BAC，代入可得答案；

（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可． 【解答】解：（1）①如图2，

在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图3，

∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，

∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F， ∴∠F＝

，

∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°， ∴∠F＝85°； ③如图3，

由题意知∠ABO1000＝∠ACO1000＝

∠ABO，∠OBO1000＝

∠ABO，

∠ACO，∠OCO1000＝

∠ACO，

（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C， （∠ABO+∠ACO）+∠BAC，

∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝则∠ABO+∠ACO＝代入∠BOC＝

（∠BO1000C﹣∠BAC），

×

（∠BO1000C

（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝

﹣∠BAC）+∠BO1000C， 解得：∠BO1000C＝

（∠BOC+

∠BAC）＝

∠BOC+

∠BAC，

∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°， ∴∠BO1000C＝

m°+

n°；

m+

n）；

故答案为：①2α；②85°；③（

（2）如图5，连接OC，

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝∠BOD，

∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边， ∴△OBC≌△ODC（SSS），

∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，

∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，

∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD， 又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO， ∴BO＝BC，

又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四边形OBCD是菱形．

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质∠BOC＝∠A+∠B+∠C及其运用，全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点． 25．（12分）如图1，已知抛物线y＝﹣x+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标； （3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

2

【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝﹣x+bx+c即可求得二次函数的解析式；

（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt△CHO中，可求得tan∠COH＝4，推出∠ACO＝∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；

（3）设P（a，﹣a﹣2a+3），P（a，﹣a﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S

四边形BMNO

2

22

，可推出S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON，再用含a的代数式表示

出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．

【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x+bx+c，

2

得，，

解得b＝﹣2，c＝3， ∴y＝﹣x﹣2x+3 ＝﹣（x+1）+4，

∴此抛物线解析式为：y＝﹣x﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设抛物线对称轴与x轴交于点H， 则H（﹣1，0），

在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1， ∴tan∠COH＝

＝4，

2

22

∵∠COH＝∠CAO+∠ACO， ∴当∠ACO＝∠CDO时，

tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4， 如图1，当点D在对称轴左侧时， ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO， ∴△AOC∽△ACD， ∴

＝

，

＝2

＝

，

，AO＝1，

∵AC＝∴

∴AD＝20， ∴OD＝19， ∴D（﹣19，0）；

当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0）， ∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；

（3）设P（a，﹣a﹣2a+3），

2

将P（a，﹣a﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b， 得，

，

2

解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3， ∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3， 当x＝0时，y＝a+3， ∴N（0，a+3）， 如图2，

∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO， ∴S△BPM﹣S△EMN ＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON

＝×4×（﹣a﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3） ＝﹣2a﹣a ＝﹣2（a+）+

2

2

2

，

，

由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n， ∴m﹣n的最大值为

．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线PA的解析式，进一步表示出点N坐标．

乐山市2019年初中学业水平考试

数 学

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

注意事项：

1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1.?3的绝对值是 (A)3

(B)?3

(C)11 (D)? 332.下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是

(A) (B) (C) (D) 图1 3.小强同学从?1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x?1?2的概率是

(A)11 (B) 54 (C)11 (D) 324.?a一定是

(A)正数 (B)负数 (C)0 (D)以上选项都不正确

5.如图2，直线a∥b，点B在a上，且AB?BC.若?1?35,那么?2等于 (A)45 (B)50 (C)55

AC2???? (D)60

B1ba?图2 ?2x?6?3x?6.不等式组?x?2x?1的解集在数轴上表示正确的是

??0?4?5

﹣6013

﹣6013 (A) (B)

﹣6013

﹣6013 (C) (D)

7.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是 (A)1,11

(B)7,53 (C)7,61 (D)6,50

8.把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 (A)

1 6 (B)1 3(C)11 (D) 5421图3

9. 如图4，在边长为3的菱形ABCD中，?B?30?，过点A作AE?BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G.则CG等于

(A)

3?1

31 (B)1 (C) (D)

22BAGECFD图4

10.如图5，抛物线y?12x?4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为4半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是

(A)3 (B)

41 2(C)7 (D)4 2

图5 第Ⅱ卷（非选择题 共120分）

注意事项

1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试

题卷上无效．

2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．

3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11.?1的相反数是 ▲ . 2

12.某地某天早晨的气温是?2℃,到中午升高了6℃，晚上又降低了7℃.那么晚上的温度是 ▲ C. 13.若3?9?2.则3mnm?2n?? ▲ . 14.如图6，在△ABC中，?B?30?，AC?2,cosC?

15.如图7，点P是双曲线C：y?

30°3.则AB边的长为 ▲ . 5ABC图6

4

（x?0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线 x

AB：y?1x?2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的 2上方时，△POQ面积的最大值是 ▲ .

图7

?B?30,直线l?AB.当直线l沿射线BC 16.如图8.1，在四边形ABCD中，AD∥BC，

方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向 右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图8.2所示，则四边形

?ABCD的周长是 ▲ .

lADF

CBE

图8.1

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.

图8.2

?1?017.计算：????2019????2sin30?.

?2?

18.如图9，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为?2，距离相等.求x的值.

A-20B?1x，且点A、B到原点的 x?1图9

19.如图10，线段AC、BD相交于点E,AE?DE ,BE?CE.求证：?B??C.

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．

ADEBC图10

x2?2x?1x2?x?20.化简：.

x2?1x?1

21.如图11，已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2：y?2x?4相交于点P(?1,a). （1）求直线l1的解析式； （2）求四边形PAOC的面积.

AOBxl2l1PCy图11

22.某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为30分），测试结束后，张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图12所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：

人数男生人数女生人数

1412108642

（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 ▲ 名男生， ▲ 名女生； （2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ▲ ； ．．．．

（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分. 23. 已知关于x的一元二次方程x?(k?4)x?4k?0. （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足

2113??，求k的值； x1x24（3）若Rt?ABC的斜边长为5，另外两边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt?ABC 的内切圆半径.

24.如图13，直线l与⊙O相离，OA?l于点A，与⊙O相交于点P，OA?5.C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB?AC. （1）求证：AB是⊙O的切线；

O（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长.

BP

CAl

图13

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.

25.在△ABC中，已知D是BC边的中点，过G点的直线分别交AB、G是△ABC的重心，

AC于点E、F.

（1）如图14.1，当EF∥BC时，求证：

BECF??1； AEAF （2）如图14.2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）

中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图14.3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论

是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

AAAEGC

BEGFCBGED图14.2

FD图14.1

BD图14.3 CF26. 如图15，已知抛物线y?a(x?2)(x?6)与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，

且tan?CAB?3.设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N. 2（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q(n,0)为x轴上一点，且PQ?PC.

①当点P在线段MN(含端点)上运动时，求n的变化范围； ②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；

③当n取最大值时，将线段．．CQ向上平移t个单位长度，使得线段．．CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围.

图15

备用图

乐山市2019年初中学业水平考试

数学参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

1. (A) 2. (D)

3. (C) 4.(D) 5. (C)

6. (B) 7. (B) 8. (A) 9.(A) 10. (C)

第Ⅱ卷（非选择题 共120分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.

1 2 12.?3 13.4

15.3

16.10?23

14.

16 5

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分. 17．解：原式?2?1?2?1 ……………………………………6分 2?2?1?1 …………………………………8分 ?2. ………………………………9分

18．解：根据题意得：

x?2，…………………………………4分 x?1去分母，得x?2(x?1)，

去括号，得x?2x?2，……………………………………6分

解得x??2

经检验，x??2是原方程的解.（没有检验不扣分）…………9分 19．证明：在?AEB和?DEC中，

?AE?DE，BE?CE,?AEB??DEC …………………3分

??AEB≌?DEC， …………………………………7分 故?B??C，得证. …………………………………9分

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.

(x?1)2x(x?1)20.解：原式?÷， …………………4分

(x?1)(x?1)x?1

?(x?1)x?1×，…………………………………7分

(x?1)x(x?1) ?1. …………………………………10分 x21. 解：（1）?点P(?1,a)在直线l2：y?2x?4上，

?2?(?1)?4?a，即a?2，…………………………………2分 则P的坐标为(?1,2)，

l1l2PCAOBy 设直线l1的解析式为：y?kx?b(k?0)，

?k?b?0 那么?，

?k?b?2? 解得：?x?k??1 .

?b?1图11

?l1的解析式为：y??x?1.…………………………………5分

（2）?直线l1与y轴相交于点C，

?C的坐标为(0,1)， …………………………………6分 又?直线l2与x轴相交于点A，

?A点的坐标为(?2,0)，则AB?3，……………………7分 而S四边形PAOC?S?PAB?S?BOC， ?S四边形PAOC?115?3?2??1?1?.……………………10分 222

22.解：（1）40 40 ………………………………………………………………4分 （2）27 ……………………………………………………2分

（3）720?

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分. 23.解：（1）证明：

27?12?3?244?720??396（人） ……………………10分

8080???(k?4)2?16k?k2?8k?16?(k?4)2?0，……………………2分 ?无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分

（2）由题意得：x1?x2?k?4，x1?x2?4k， ……………………4分 ?113x?x23k?43??，?1?，即?， ……………………5分 x1x24x1?x244k4解得：k?2； ……………………6分

2（3）方法1：根据题意得：x1?x2?5，

22222222 而x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?(k?4)?8k?k?4，

222 ∴k?4?5，解得：k?3或k??3（舍去）…………8分 4 设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图， 由切线长定理，可得：(3?r)?(4?r)?5， ?直角三角形ABC的内切圆半径r=

rr5r33?4?5?1； ………10分 2 方法2：解方程得：x1?4，x2?k， ………………7分

根据题意得：4?k?5，解得：k?3或k??3（舍去）………………8分 设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图， 由切线长定理，可得：(3?r)?(4?r)?5， ?直角三角形ABC的内切圆半径r=

2223?4?5?1； ………………10分 2 24. 证明：(1)如图，连结OB，则OP?OB，

??OBP??OPB??CAP， ……………………1分 ?AB?AC，??ACB??ABC，……………………2分

而OA?l，即?OAC?90?，

??ACB??CPA?90?，

即?ABP??OBP?90?，

O??ABO?90?， ……………………4分 ?OB?AB，

故AB是⊙O的切线； ……………………5分 (2)由(1)知：?ABO?90?， 而OA?5，OB?OP?3，

在Rt?AOB中，由勾股定理，得：AB?4， ……6分 过O作OD?PB于D，则PD?DB，………………7分 在?ODP和?CAP中，

CDPABl??OPD??CPA，?ODP??CAP?90?，

??ODP∽?CAP， ……………………8分 ?PDOP，……………………9分 ?PACP又?AC?AB?4，AP?OA?OP?2， 在Rt?PAC中，由勾股定理得：PC?AC2?AP2?25，

OP?PA3?5， CP56 ?BP?2PD?5. ……………………10分

5?PD?方法2：由(1)知：?ABO?90?， 而OA?5，OB?OP?3，

在Rt?AOB中，由勾股定理，得：AB?4， ……6分 又?AC?AB?4，AP?OA?OP?2， 在Rt?PAC中，由勾股定理得：PC?延长PO交⊙O于D，连接BD，

CAOBPDAC2?AP2?25，……7分

??DPB??CPA，?DBP??CAP?90?，

∵?DBP∽?CAP， ……………………8分

?BPAP?，……………………9分 DPCP而DP?2OP?6，

∴BP?AP?DP2?66??5.……………………10分

CP255六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分 25.解：（1）?G是△ABC重心，? 又?EF//BC,

DG1?, ……………………1分 AG2BEDG1CFDG1??,??, ……………………2分 AEAG2AFAG2BECF11 则????1. ……………………3分

AEAF22 ? （2）（1）中结论成立，理由如下： ……………………4分 如图，过A作AN//BC交EF的延长线于点N， 延长FE、CB相交于点M，

EGANFMBDCBEBMCFCM 则，， ……………………5分 ??AEANAFANBECFBMCMBM?CM ?， ……………………6分 ????AEAFANANAN 又?BM?CM?BM?CD?DM， 而D是BC的中点，即BD?CD，

?BM?CM?BM?BD?DM?DM?DM?2DM，…………7分

BECF2DM， ??AEAFANDMDG1BECF1 又???，???2??1，

ANAG2AEAF2 ? 故结论成立； ……………………9分

方法2：如图，过点D、C分别作AB的平行线，交EF或EF的延长线于点H、I，

DHDG1CFCI 则， ??，?AEAG2AFAEBECFBECIBE?CI ?， ????AEAFAEAEAE 而D是BC的中点，即DH是梯形BEIC的中位线， ?BE?CI?2DH， ?AIGEBDHFCBECF2DH1???2??1 AEAFAE2 故结论成立；

方法3：如图，过点B、C分别作AD的平行线，交EF或EF的延长线于点H、I，

BEBHCFCI 则，， ??AEAGAFAGBECFBHCIBH?CI ?， ????AEAFAGAGAG 而D是BC的中点，即DG是梯形BHIC的中位线， ?BH?CI?2DG，

AHEBGFIDCDG1?， AG2BECF2DH1 ????2??1，

AEAFAE2 又∵

故结论成立；

（3）（1）中结论不成立，理由如下：……………………10分 当F点与C点重合时，E为AB中点，BE?AE, 点F在AC的延长线上时,BE?AE,

BEBECF ??1,则??1， ……………………11分

AEAEAFBECF 同理：当点E在AB的延长线上时，??1，

AEAF ?结论不成立. ……………………12分

AEGBDCF26.解：（1）根据题意得： A(?2,0),B(6,0)，……………………1分

CO3?,且OA?2,得CO?3，………2分 AO21?C(0,3),将C点坐标代入y?a(x?2)(x?6)得：a??，

41故抛物线解析式为：y??(x?2)(x?6)；……………………3分

4在Rt?AOC中，?tan?CAB?（2）①方法1：由（1）知，抛物线的对称轴为：x?2，顶点M(2,4)，……4分 设P点坐标为(2，m)（其中0?m?4），

222222则PC?2?(m?3)，PQ?m?(n?2)，CQ?3?n，

222?PQ?PC,?在Rt?PCQ中，由勾股定理得：PC2?PQ2?CQ2,………5分

即2?(m?3)?m?(n?2)?3?n，整理得：

222222n?12137(m?3m?4)?(m?)2?（0?m?4），…6分

2282?当m?所以，

37时，n取得最小值为；当m?4时，n取得最大值为4， 287?n?4；……………………7分 8方法2：由（1）知，抛物线的对称轴为：x?2，顶点M(2,4)，……4分 设P点坐标为(2，m)（其中0?m?4），

过P作PE?x轴于点E，则Rt?PEC∽Rt?PNQ，

∴

PEPN?，其中PE?2，EC?m?3，PN?m，NQ?n?2， ECNQ而m?3与n?2始终同号，

2m， ?m?3n?2121327∴n?(m?3m?4)?(m?)?（0?m?4），………………6分

228237?当m?时，n取得最小值为；当m?4时，n取得最大值为4，

287所以，?n?4；………………7分

8∴

方法3：①由（1）知，抛物线的对称轴为：x?2，顶点M(2,4)，………4分 设P点坐标为(2，m)（其中0?m?4），直线PC的解析式为：y?k1x?b1，

m?3?k??3?b1?将P、C两点坐标代入得：?，解得：?12，

?m?2k1?b1??b1?3?直线PC解析式：y?m?3x?3， 22x?b2， m?3又?PQ?PC,可设直线PQ的解析式为：y??m2?3m?42将P点坐标为(2,m)代入y??， x?b2得：b2?m?3m?32m2?3m?4x??直线PQ的解析式为：y??， m?3m?32m2?3m?4x?令y?0时，0??， m?3m?312(m?3m?4) ， 2132712即n?(m?3m?4)?(m?)?，…………6分

2228解得：x??点P在线段MN(含端点)上运动，?0?m?4， ?当m?37时，n取得最小值为， 28当m?4时，n取得最大值为4， 故：

7?n?4；………………7分 8②由①知：当n取最大值4时，m?4，

? P(2,4)，Q(4,0)，

则PC?5,PQ?25,CQ?5，………………8分 设点P到线段CQ距离为h， 由S?PCQ?得：h?11CQ?h?PC?PQ， 22PC?PQ?2，故点P到线段CQ距离为2；………………9分

CQ③由②可知：当n取最大值4时，Q(4,0)，

3?线段CQ的解析式为：y??x?3，………………10分

43设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：y??x?3?t，

4当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点， 此时对应的点Q'的纵坐标为：?将Q'(4,3)代入y??1(4?2)(4?6)?3， 43x?3?t得：t?3，………………11分 4当线段CQ继续向上平移与抛物线相切时，线段CQ与抛物线只有一个交点，

1?y??(x?2)(x?6)??4联解?，

3?y??x?3?t?4?得：?13(x?2)(x?6)??x?3?t，化简得： 44

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