优化设计复习资料有答案
更新时间:2024-01-11 20:45:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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现代设计方法参考书目:
1、陈继平. 现代设计方法, 华中科技大学出版社。 2、高健. 机械设计优化基础, 科学出版社,2007,9
3、刘惟信. 机械最优化设计,第二版,清华大学出版社。 第一章习题
例2 某工厂生产甲乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润,以及能够提供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天的产量,以使每天可能获得的利润最大。
设每天生产甲产品x1件,乙x2件,利润为f(x1,x2) f(x1,x2)=60x1+120x2
每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示: g1(x1,x2)=9x1+4x2 g2(x1,x2)=3x1+10x2 g3(x1,x2)=4x1+5x2 于是上述问题可归结为: 求变量 x1,x2
使函数 f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化 满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360
g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300 g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200 g4(x1,x2)=x1≥0 g5(x1,x2)=x2≥0
例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴,已知传递的扭矩为T,试确定此传动轴的内外径,以使其用料最省。
例: 求下列非线性规划优化问题
优化设计的迭代算法
1、下降迭代算法的基本格式 k?1kk迭代公式 k
基本原理:从某一初始设计开始,沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计,如此反复迭代,直到满足设计要求,迭代终止。
?X??X???SS(k)——第k步的搜索方向,是一个向量;Xk?1? X*??Xk?X*αk——第k步的步长因子,是一个数,它决定在方向S(k)上所取的步长大小。 简单的说:是一个搜索、迭代、逼近的过程。最关键的是搜索的方向和步长。 迭代算法的基本步骤:
1,选定初始点X(0),令k=0; 2、在X(k)处选定下降方向S(k);,
3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索,找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1)) 例:f (X)=x12+4x22,已知初始点X(0)=[1,1]T,搜索方向S(o)=[-2,-4]T,求X(1)=? ?1???2??1?2?? X(1)?X(0)??S(0)???????????1???4??1?4?? 9f(X(1))?(1?2?)2?4(1?4?)2α? 36 ? 8?? 17?X(1)???1 ???17??迭代终止条件:迭代法收敛性 1)线性收敛性(2)二次收敛性(3)超线性收敛性 终止迭代收敛准则。 ? 第二章 2.1 函数的方向导数与梯度 一、 函数的方向导数 偏导数: 只描述函数沿特殊方向(x, y轴)的变化情况在许多实际问题中,常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率——引入方向导数的概念。 方向导数定义:设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数,它与x轴夹角为θ1,与y轴夹角θ2,设X(1)为S上另一点,则||X(0)X(1)||=ρ= 如果极限 存在,则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S的方向导数。 已知F(X)=X21+X22,取 ??cosα1??2/2??S?????cosα?2????2/2??, 则在点处沿S方向的方向导数数值为( ) 例题已知函数f(X)= 则其在点X=(2,1)T处梯度的模为【 】 例2-1 求二元函数f(x1, x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在X0=[2,2]处函数下降最快的方向。 解:梯度方向是函数变化率最大的方向。负梯度方向则是函数下降最快的方向。 例2-2 求二元函数f(x1, x2)=(x1-2)2+(x2-1)2 在点X(1)=[3,2]T和X(2)=[2,2]T的梯度,并作图表示 作业: 1、求函数f (X)=x12+x22-6x1在点X(1)=[1,1]T, X(2)=[1,2]T, X(3)=[-2,1]T的梯度及其模,并作图表示。 2、求 例2-2 f(x1, x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在X0=[2,2]T处的海赛二阶泰勒展开式。 ?求二元函数 22f (X0)?2?2?4*2?2*2?5?1? ??f(X0)? ????2x1?4??0??x? ??1???f(X0)???????? ??f(X0)???2x2?2??2???x? 2?? ??22 ??f(X0)?f(X0)??? 2??x1?x2??20???x1 ??????H(X0)??22??02?f(X)?f(X) 00????2??x2?x1? ?x2?? ???T????T? f(X)?f(X0)??f(X0)(X?X0)?1(X?X0)H(X0)?2 T ?x1?2?1?x1?2??20??x1?2??1?02? ?x?2???2??x?2????02????x?2???2??2????2? 22 ?x1?x2?4x1?2x2?5 二次函数 1TTf(X)?XHX?BX?C 2B为常数向量;H为nxn阶常数矩阵。XTHX称为二次型,H称二次型矩阵。 1)若有XTHX>0,则称矩阵H是正定的; (2)若有XTHX≥0,则称矩阵H是半正定的; (3)若有XTHX<0,则称矩阵H是负定的; (4)若有XTHX≤0,则称矩阵H是半负定的; (5)若有XTHX=0,则称矩阵H是不定的; 正定二次函数的性质: 1)正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。 2)非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。 例:求解等式约束问题的最优解。解: ?????(X?X?? 1、多元函数F(X)在X*处存在极大值的必要条件是:在X*处的Hessian矩阵( ) A.等于零 B.大于零 C.负定 D.正定 2、在约束优化问题中,库恩—塔克条件是目标函数存在极值点的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.不必要条件 3、多元函数F(X)在点X*附近偏导数连续 且H(X*)正定,则该点为F(X)的 ( ) A. 极小值点 B. 极大值点 C 鞍点 D 不连续点 4、F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数,若H(X)正定,则称F(X)为定义在凸集D上的( ) A 凸函数 B 凹函数 C 严格凸函数 D 严格凹函数 5. 约束极值点的库恩—塔克条件为当约束条件gi(X)≤ 0(i=1,2,…,m)和λi≥0时,则q应为( )。 A. 等式约束数目 B. 不等式约束数目 C. 起作用的等式约束数目 D. 起作用的不等式约束数目 6.对于求minF(X)受约束于gi (x)≤0 (i=1,2,…,m) 的约束优化设计问题,当取λi≥0时,则约束极值点的库恩—塔克(K-T)条件为 ( )。 第三章 例: 已知目标函数 f(X)=(X1-4)2+(X2-4)2。由X(0)=[1 1]T为起点,沿S(0)=[2 1]T作一维搜索,求下一个迭代点X(1)。 例题:确定函数f(x)=3x3-4x+2的初始区间。给定 x0=0,h=1. 解:x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=1, f2=f(x2)=1 f1>f2, 则h=2h=2 x3=x0+h=2 f3=f(x3)=18 f2 1、函数F(X)为在区间[10,20]内有极小值的单峰函数,进行一维搜索时,取两点13和16,若F(13) A.[10,16] B.[10,13] C.[13,16] D.[16,20] 2、在用0.618法求函数极小值的迭代运算中,a1,b1为搜索区间[a,b]中的两点,函数值分别记为F1,F2。已知F2>F1。在下次搜索区间中,应作如下符号置换( ) ①a1→a b1→a1 F2→F1 ②a→a1 a1→b1 F1→F2 ③b→b1 b1→a1 F2→F1 ④b1→b a1→b1 F1→F2 3、例 :用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点, 给定 x0=0, h=1, ε=0.2。 解:1)确定初始区间x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=0+1=1, f2=f(x2)=1 由于f1>f2, 应在原方向继续向前探测 x3= x2+h=1+1=2, f3=f(x3)=18 由于f2 x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72 f1 令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317 由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472, 1.236] 因为 b-a=1.236-0.472=0.764>0.2, 应继续缩小区间。 第三次缩小区间: 令 x1=x2=0.764, f1=f2=0.282 x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944, f2=0.747 由于f1 令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223 由于f1 因为 b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。 第五次缩小区间: 令 x2=x1=0.652, f2=f1=0.223 x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764] 因为 b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。 极小点与极小值: x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674, f(x*)=0.222 4、F(X)在区间[X1,X3]上为单峰函数,X2为区间中一点,X4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如X4-X2>0,且F(X4)>F(X2),那么为求F(X)的极小值,X4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.X1 B. X2 C. X3 D. X4 例 : 用二次插值法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点,给定 x0=0, ε=0.2。 解 1)确定初始区间 初始区间[a,b]=[0,2], 中间点x2=1。 2)用二次插值法逼近极小点 相邻三点的函数值: x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 代入公式:xp*=0.555, fp=0.292 由于fp 由于fp |x2-xp * |=|0.555-0.607|=0.052<0.2, 迭代终止。 xp*=0.607, f*=0.243 作业: 1 、用进退法确定f(x)=x2-6x+9的一维搜索初始单峰区间[a b],初始点x0=0,初始步长h0=1。 2、用0.618法计算三次迭代,minf(x)=(100-x)2初始区间为[60 150]。 3、用二次插值法minf(x)=x2-10x+36,初始区间为[0 10],ε=0.001 思考题: 1、为什么一维搜索要以单峰区间为基础? 2、黄金分割法和二次插值法缩减区间的原则是什么? 第四章 练习:用牛顿法求目标函数: f (X)=(x1-x2+x3)2+(-x1+x2+x3)2+(x1+x2-x3)2的极小点。给定初始点X(0)=(1/2 1 1/2)T 作业: 作业 复习: 1、什么是库恩一塔克(K-T)条件?其几何意义是什么? 2、迭代过程是否结束通常的判断方法有( ) A.设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小 B.相邻两点目标函数值之差充分小 C.目标函数的导数等于零 D.目标函数梯度充分小 E.目标函数值等于零 3、对于所有非零向量X,若XTMX>O,则二次刑矩阵M是( ) a三角矩阵 B.负定矩阵 C.正定矩阵 D. 非对称矩阵 E. 对称矩阵 4、求minf(X)=x12+x22-x1x2 s.t. h(X)=x1+x2-1=0 的极小值。 第五章 1、在复合形法中,若反射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数ε,仍不能使反射点可行或优于坏点,则可用( ) A 好点代替坏点 B 反射点代替坏点 C 次坏点代替坏点 D 形心点代替坏点 2、对于目标函数F(X)受约束于gu(X)≤0(u=1,2,…,m)的最优化设计问题,外点法惩罚函数的表达式为( ) 计算题: 2222min f(X)?x1?2x2?2x1x21、在用复合形法求解约束优化问题: 22时,选定的初始复合形的顶点为: s.t. x1x2?x1?x2?0 X1=[0.25, 0.5]T, X2=[0, 1]T x1?0 X3=[1, 0]T, X4=[0.48, 0.55]T x2?0问优化迭代计算后得到的新复合形的顶点? 第六章 作业:教材P97——3.4,3.6 第九章 1、平面应力问题中(Z轴垂直于该平面),诸应力分量中为零的是( )。 A σx,σy,σz B τxy,τxz,τyz C σx,σy,τxy D σz,τyz,τxz 2、在平面应力问题中,沿板厚方向( )。 A 应变为零,但应力不为零 B 应力为零,但应变不为零 C 应力、应变都为零 D 应变、应力都不为零 3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析,正确的是( ) A. σx=σy=0,τxy≠0 B. τxy=τyz=0,σx=σy≠0 C. τyz=τxz=0,σz=0 D. σx=σy≠0,τxy=0 例2 、证明:对平面三角形单元形函数存在下列关系 iijjmmNx?Nx?Nx?x 4、如图所示二杆平面桁架,杆长为L,弹性模量为E,杆截面积为A,试求(1)整体刚度矩阵;(2)在1、2节点处引入支承条件,写出总体平衡方程。 。 5、三角形单元的面积为1,厚度为1,已知三角形单元的形态矩阵为 利用单元的形态矩阵求三角形单元 的刚度矩阵。 1、在一平面桁架中,已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件,则应划去总体刚度矩阵中的( ) ①第3行和第3列 ②第6行和第6列 ③第3行和第6列 ④第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元,两节点局部码为1,2,总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵[K]的( ) ①第3行第2列上 ②第4行第1列上 ③第9行第6列上 ④第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元,12个节点,则其总体刚度矩阵[K]是( ) ①9阶方阵 ②12阶方阵 ③36阶方阵 ④9×12阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将() ① E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ2) ② E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ) ③ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ2) ④ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ) 5、刚架杆单元与平面三角形单元( ) ①单元刚度矩阵阶数不同 ② 局部坐标系的维数不同 ③ 无任何不同 ④ 节点载荷和位移分量数不同 6、图示平面结构的总体刚度矩阵[K]和竖带矩阵[K*]的元素总数分别是( )。 ①400和200 ②400和160 ③484和200 ④484和160 7、材料性质均匀的三节点三角形单元,其内部各点( ) ①应力和应变均不随位置变化 ②应力和应变均随位置变化 ③应力不随位置变化,应变随位置变化 ④应力随位置变化,应变不随位置变化 8、描述位移与应变关系的方程称( ) ①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程 9、在以平面刚架中,支承节点4的水平方向位移为已知,若用置大数法引入支承条件,则应将总体刚度矩阵中的( ) ① 第4行和第4列上的元素换为大数A ② 第4行和第4列上的所有元素换为大数A ③ 第10行、第10列上的元素换为大数A ④第10行、第10列上的所有元素换为大数A 10、图示的四根杆组成的平面刚架结构,用杆单元进行有限元分析,单元和节点的划分如图示,则总体刚度矩阵的大小为( ) ① 8x8阶矩②10x10阶矩阵 ③ 12x12阶矩阵 ④ 16x16阶矩阵 11、 在弹性力学平面刚架问题中,已知相邻节点总码的最大差值为5,则半宽值为( ) ① 10 ② 18 ③ 15 ④ 12 12、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵() ① [K]I=[K]III, [K]II=[K]IV, 但[K]I≠[K]II ② [K]I=[K]II, [K]III=[K]IV, 但[K]I≠[K]III ③ [K]I≠[K]II≠[K]III≠[K]IV ④ [K]I=[K]II=[K]III=[K]IV 阶段测试题 一、选择题 1. 在优化设计压缩螺旋弹簧时,如果安装空间很紧,则此时可选弹簧的( )作为优化目标。 A、外径或长度最大 B、外径或长度最小 C、压力最大 D、压力最小 2.下列无约束优化方法中不属于梯度算法的是( ) A.最速下降法 B.牛顿法 C.变尺度法 D.坐标轮换法 3.在下列无约束优化方法中,( )需要计算Hessian(海色)矩阵。 A、powell法 B、梯度法 C、牛顿法 D、共轭梯度法 4. 利用0.618法在搜索区间[a,b]内确定两点a1=0.382,b1=0.618,由此可以知道区间[a,b]的值是( ) 二.计算题 1、 使用K-T条件判断X=[-1 1]T点是否为目标函数 f(X)=x12+x22+4x1-4x2+10,受约束于 g1(X)=x1-x2+2≥0 g2(X)=-x12-x22-2x1+2x2≥0 时的最优点。 2.用阻尼牛顿法求目标函数F(x)=x21+4x22的极小点,已知初始点 X(0)=[2,2]T,给定ε=0.01。(10分) 3. 设某无约束优化问题的目标函数为 f(x)= x 1 2 +9x 2 2 ,已知初始迭代点 X 0 =[2,2] T ,第 1 次迭代所取的方向 S 0 =[-4,-36] T ,步长 α 0 =0.05616 ,第 2 次迭代所取的方向 S 1 =[-3.55069,-0.39451] T ,步长 α 1 =0.45556 ,试计算: (1) 第1次和第2次迭代计算所获得的迭代点X 1和X 2; (2) 在点X 0、X 1、X 2处的目标函数值 f 0、f 1、f 2; (3) 用梯度准则判别完成了第2次迭代后能否终止迭代,精度要求 ε =0.01。 5.求函数F(X)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+f(x3-x1)2的Hessian矩阵,并判别其性质。 6、从直径D=100mm的圆木中锯出矩形梁,选择矩形梁的矩形截面的长为x1,高为x2,以使其抗弯强度为最大,试建立其优化数学模型。 2x1x2(截面系数W?】 61、对于约束优化问题 2min f(X)?x12?2x2s.t. g(X)??x1?x2?1?0 (1)试用外点罚函数法求其最优解; (2)写出内点罚函数法求解约束优化问题的惩罚函数。 2、用内点罚函数法求解: minf(X)?10x s.t g(X)?5?x?0问随着rk的改变惩罚函数的最小值X*( rk )是沿着怎样一条轨迹趋向于f(X)的约束最优点,写出该轨迹的表达式。 3、对于约束优化问题 22min f(X)?x12?2x2?2x12x22?g1(X)?x12?x2?x1x2?2?0 ?s.t. ?g2(X)??x1?0?g(X)??x?02?3用复合形法求解,已知初始复合形的顶点X1??3?0.25??0?2,,X?????0.5??1??1??0.48?4X???,X???,求迭代一次后的复合形顶点。 00.55????4、一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P, 。板长12cm,宽4cm,厚1cm。 。使用有限元法求解板的内应力,并和精确解比较。 已知: 1、在一平面桁架中,已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件,则应划去总体刚度矩阵中的( ) ①第3行和第3列 ②第6行和第6列 ③第3行和第6列 ④第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元,两节点局部码为1,2,总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵[K]的( ) ①第3行第2列上 ②第4行第1列上 ③第9行第6列上 ④第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元,12个节点,则其总体刚度矩阵[K]是( ) ①9阶方阵 ②12阶方阵 ③36阶方阵 ④9×12阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将() ① E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ2) ② E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ) ③ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ2) ④ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ) 5、描述位移与应变关系的方程称( ) ①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程 6、在以平面刚架中,支承节点4的水平方向位移为已知,若用置大数法引入支承条件,则应将总体刚度矩阵中的( ) ① 第4行和第4列上的元素换为大数A ② 第4行和第4列上的所有元素换为大数A ③ 第10行、第10列上的元素换为大数A ④第10行、第10列上的所有元素换为大数A 7、图示的四根杆组成的平面刚架结构,用杆单元进行有限元分析,单元和节点的划分如图示,则总体刚度矩阵的大小为( ) ① 8x8阶矩阵 ②10x10阶矩阵 ③ 12x12阶矩阵 ④ 16x16阶矩阵 8、 在弹性力学平面刚架问题中,已知相邻节点总码的最大差值为5,则半宽值为( ) ① 10 ② 18 ③ 15 ④ 12 9、刚架杆单元与平面三角形单元( ) ①单元刚度矩阵阶数不同 ② 局部坐标系的维数不同 ③ 无任何不同 ④ 节点载荷和位移分量数不同 0、对一根只受轴向载荷 的杆单元,K12为负号的物理意义可理解为( ) ①当节点2沿轴向产生位移时,在节点1引起的载荷与其方向相反 ②当节点2沿轴向产生位移时,在节点1引起的载荷与其方向相同 ③当节点2沿轴向产生位移时,节点1向反向产生位移 ④当节点2沿轴向产生位移时,节点1向同向产生位移 11.刚架杆单元与平面三角形单元[ ] A 单元刚度矩阵阶数不同 B 局部坐标系的维数不同 C 无任何不同 D 节点载荷和位移分量数不同 12. 单元的位移模式指的是( )。 A.近似地描述单元内任一点的位移 B.精确地描述单元内任一点的位移 C.近似地描述弹性体内任一点的位移 D.精确地描述弹性体内任一点的位移 13、如图所示由两个等截面杆件(1)与(2)所组成的结构。试求(1)、写出三个节点1,2,3的节点轴向力F1、F2、F3与节点轴向位移u1、u2、u3之间的整体刚度矩阵[K]。(可直接利用局部坐标系下杆单元刚度矩阵)。(2)、在节点3处施加固定约束,在节点1处施加沿轴向向右的载荷P,求各节点轴向位移。
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