概率论与数理统计习题答案NQ

概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

n?100??o1S??,???，n表小班人数

n?nn?（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。 表示为：

ABC或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都发生，

表示为：A+B+C

表示为：ABC

表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不发生，

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

(*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=

315??0? 4888.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

2∵ 从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴

P(A)?552A26?11 1309. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

4后四个数全不同的排法有A10

∴

P(A)?A101044?0.504

10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A ∵ 10人中任选3人为一组：选法有??10??种，且每种选法等可能。 ?3??2?5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1????

?5?1???1?2?P(A)??

12?10??3???∴

（2）求最大的号码为5的概率。

10??种，且每?3?4?种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2?种

??记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??

?4?1???1?2?P(B)??

20?10??3???11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432?C4?C3 取得4白3黑2红的取法有C10故

P(A)?C10?C4?C3C176432?252 243112.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A

∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??200个产品恰有90个次品，取法有???400??1100??90??110??????1500??200???1500??种，每种取法等可能。 ?200?400??1100????种 ?90??110?∴

P(A)?

（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有??种，200个产品含一个次品，取法有??∵

400??1100????种 ?1??199?1100???200?A?B0?B1且B0，B1互不相容。

??1100???200P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500???200????400??1100???1??199???????? ??1500????200?????????∴

13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对” ∵ 从10只中任取4只，取法有??10??种，每种取法等可能。 ?4??4?5?4要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有????2

?P(A)?C5?2C10444?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)

P(A1)?4?3?243?6 16对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C32?4?3种。

(从3个球中选2个球，选法有C32，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

C3?4?3432P(A2)??9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3

个球，选法有4种)

P(A3)?443?1 1616.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23种，每种装法等可能 对E：铆法有C50333?C44??C23〕×对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C33?C4710种

P(A)?[C3?C47?C44???C23]?10C50?C47????C233333333?1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，30”

27327327327位置上。这种铆法有A33?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A47种

P(A)?10?A3?A47A5030327?1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注

意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(A?B)P(AB)P(A?B)0.2?0.25 0.8??解二:P(AB)?P(A)P(B|A)????05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.50.7?57?P(B|A)?27　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?1P(B|A?B)P(BA)定义P(BA?BB)5???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.515由已知

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?P(A)P(B|A)定义P(AB)1143解：由P(A|B) ??由已知条件?????有??P(B)?P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111 ???46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?P(AB)P(B)21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?

S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则

P(B)?662?12,P(AB)?2， 662故P(A|B)?P(AB)6?P(B)162?21 ?6320.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C82P(A)?C102?2845?0.62

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

P(A)?A82A102?28 45

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?810?79?2845

（2）二只都是次品（记为事件B）

C22法一： P(B)?2C10?1 45法二： P(B)?A22A102?1 45法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211?? 10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

C8?C2C10211法一： P(C)??16 45法二： P(C)?(C8?C2)?A2A102112?16 45法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?288216??? 10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

A9?A2A10211法二：

P(D)??1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211 ????109109522.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?110?910?19?910?89?18?310如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313?????? 554543524.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵

B=A1B+A2B且A1，A2互斥

∴

P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

nN?1mN ???n?mN?M?1n?mN?M?1 =

[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) ?C5C229?511?C4C229?711?C5?C4C2911?611?5399

26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有

1P(A1|B)?P(A1B)P(B)?P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)??51?P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2202100?1512521???2100210000

[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为

P（1）若至少有一2次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2

（1）B={至少有一次及格} 所以B?{两次均不及格}?A1A2

∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P2)?32P?12P

2（2）P(A1A2)定义P(A1A2)

P(A2) （*）

由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?P2

PP??222

将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P22PP?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

到家时间 乘地铁到 家的概率 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有

P(A|C)?P(C|A)P(A)P(C)?0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）

25023051109（2）P(B2|B1)?P(B1B2)P(B1)?25049?251181723029?0.4857

（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4

L 1 3 5 2 R +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4 3 A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

(加法公式)

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？

解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有

1rnr()??1m?n2m?nmP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?m?1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2P(A|Br)???rm1rnP(Br)m?n?2()?m?n2m?n （条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机 ∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三种情况互斥 H3?B2B2B3

又 B1，B2，B2独立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

又因：

A=H1A+H2A+H3A

三种情况互斥

故由全概率公式，有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥

由全概率公式，有 ∴

P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

P(A1B)P(B)P(A2B)P(B)P(A3B)P(B)P(A1)P(B|A1)P(B)P(B)P(A3)P(B|A3)P(B)0.8?(0.98)0.8624??0.15?(0.9)0.86240.05?(0.1)0.8624333P(A1|B)??????0.8731?0.1268 ?0.0001

P(A2|B)?P(A3|B)?P(A2)P(B|A2)37.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的

是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，

P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=

1?α 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得

3P(D)??P(Bi?12i)P(D|Bi)

?p1a(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =

P(B1)P(D|B1)P(D)

=

2αP12αP1?(1?α)(P2?P3)

[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得

P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A1)P(B1)?P(A1)P(B2)?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B1)?P(A3)P(B1)

?32333422225??????????79797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥

P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(C)?P(D)P(C)?1635

（3）P(D|C)?(注意到CD?D)

[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为为

1,2141，设三人的行动相互独立，求 42,52,51。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别5（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?1,2P(D2)?P(D3)?1 42,5P(C3)?1 5（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =

1111??? 24432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与??P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和来电话无关??故P(D|C)?P(D21231313kkk????????52545420??? ?)??（3）H为“这3个电话打给同一个人”

P(H)?22222211117 ?????????555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为

2214 ???555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为

1，且各次情况相互独立 4于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=()3?

141 64

第二章 随机变量及其分布

1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?1?C2C532?1101?C33C52 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??2310?610

P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?1?C4C53也可列为下表 X： 3， 4，5 P：

136,, 1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

P(X?0)?C13C15133?22 352P(X?1)?C2?C13C15C2?C13C15321312 ?35P P(X?2)??1 35再列为下表 X： 0， 1， 2 P：

22121 ,,353535O 1 2 x 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：（1）P (X=k)=q

k－1

p k=1,2,??

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

P(Y?r?n)?Cr?n?1qpnnr?1p?Cr?n?1qp,nnrn?0,1,2,?,其中 q=1－p， k?r,r?1,?

?1rk?r或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ckr?,1p(1?p) （3）P (X=k) = (0.55)

?k－1

0.45

? k=1,2…

2k?1P (X取偶数)=?P(X?2k)?k?1?(0.55)k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

P(X?2)?C5pq225?2?C5?(0.1)?(0.9)?0.0729

223（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

P(X?3)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?0.00856

3324455（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

P(X?3)?C5(0.9)?C5?0.1?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)

?C5?(0.1)?(0.9)?0.99954

3320514223（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951

[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

=()n?1?231， n=1，2，?? 3（2）Y的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=

1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =

211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =

(3)P{X?Y}?2!1? 3!33?P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k} ???k}P{X?Y|Y?k}??P{Yk?23?全概率公式并注意到?? ?P{X?Y|Y?1}?0????P{Yk?2?k}P{X?k}注意到X,Y独立即

? P{X?Y|Y?k}?P{X?k}

111?121?8??????27333?33??3?3同上，P{X?Y}? ??P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k}

11121419 ??????333932781?k?1P{Y?k}P{X?k}?故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?3881

8.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。

记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)

1212 = (0.4)× (0.3)+ [C3?0.6?(0.4)]?[C3?0.7?(0.3)]

33

?[C32?(0.6)2?0.4]?[C32?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

123228=[C3?0.6?(0.4)]?(0.3)?[C3?(0.6)?0.4]?(0.3)? 22123 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6)

?(0.3)?(0.6)?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6)

22 ?[C3?(0.7)?0.3]?0.243

331239.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

解：（1）P (一次成功)=

1C84?1 70136973)()?7070100003（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(。此概率太小，按实际

推断原理，就认为他确有区分能力。

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率

（5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349

22819（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.10.9?C100.10.9?0.581

（3）P {Y=0}=0.9 ≈0.590 （4）P {0

({0

5

= P {0

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：

4?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算）

8!8P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

P{X?3}?P{X?4}?0.566530

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

?1?e?0.4x,FX(x)???0x?0 x?0求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

?0,x?1,?18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,，

??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0

P(2?X?5555 ?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln2224?1?,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x

??0,其它20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为

?2?（1）f(x)??????x?（2）f(x)??2?x??01?x02?1?x?1其它

0?x?11?x?2 其他求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时：

2F(x)?0dx????1πX??1?x2?11?21?xdx?x1?x?arcsinx?π?2?2??1

2?1112x1?x?arcsinx?ππ220dx?当1

1x故分布函数为：

?0?1112F(x)??x1?x?arcsinx?ππ2??1x??1?1?x?1 1?x解：（2）F(x)?P(X?x)?当x?0时,F(x)??x??f(t)dt

?x??0dt?0当0?x?1时,当1?x?2时,当2?x时,xF(x)?0dt?tdt???02?0?x2F(x)??0??0dt??10tdt??x1x(2?t)dt?2x??122

F(x)??0??0dt??10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1故分布函数为

?0?x2??2F(x)??2x?2x??12???1x?00?x?1

1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x

f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

?1000?f(x)??x2??0x?1000其它

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000x21?dx?1??1000(?)x?15001000???

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,214??151P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()?C5?()?()?33??3?1?1?5?2352)，3?1?11243?232243

23.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

?1?x5?FX(x)??5e,x?0

??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

P(X?10)????10fX1(x)dx?5?5??k????10e?x5dx??e?x5??10?e?2

因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5

P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?1?0.86775?2)?1?(1?5155)?1?(1?0.1353363)7.389

?1?0.4833?0.5167.24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率

?1? ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??02

0?K?5其他

要方程有根，就是要K满足(4K)－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴

P(K?2)????2f(x)dx?2

?521dx?5???50dx?3 525.[二十三] 设X～N（3.2）

（1）求P (22}，P (X>3) ∵ 若X～N（μ，σ），则P (α

P (2

?β?μ??α?μ???φ??

?σ??σ??5?3??2?3???φ??=φ(1)－φ(－0.5) ?2??2? =0.8413－0.3085=0.5328

P (－4

P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )

=1????

??2?3???2?3???????? 22?????? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??3?3??=1－0.5=0.5 ?2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又

P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=

1=0.5 2?C?3???0.5,查表可得2??C?3?0 ∴ C =3 22P (X≤C )=φ?26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05. 解:(1)P(X?105)??(105?110)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 12120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)1212665?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(查表得

x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212故最小的X?129.74.x?110?1.645.?x?110?19.74?129.74.12

27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)

=1－P (10.05－0.12

28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

∵ P (120＜X≤200)=???200?160??120?160??40??40????????????????0.80 σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) ∴ 上式变为?? 解出???40???40?????1??????0.80 σσ???????40?????0.9

σ???40??便得:σ?? 再查表，得

40?1.281σσ?40?31.25 1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2，

P：

1， 5 －1， 0，

1， 3

11 30111， ， ， 6515求Y=X 2的分布律

∵ Y=X 2：(－2)2

(－1)2

(0)2

(1)2

(3)2

P：

1 5

1 6

11 51511 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1

4

9

P：

1115 116?15 15 30 31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX

的分布密度 ∵ X的分布密度为：f(x)???10?x?1?0x为其他

Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在 且

α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1?1y1?y?e

??0y为其他（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数

Y又 X?h(Y)?e?2 反函数存在。

且

α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

?1?yy21∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1??2e?2e?2??032.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)?1e?x22,???x???

2π Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在

且

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

?(lny2ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1e?)2?10?y???

?2πy?0y为其他0?y???y为其他

（2）求Y=2X+1的概率密度。

在这里，Y=2X+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y），

2

则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X+1≤y) =P?????y?12?X?y?1?? 2??2

2

当y<1时：FY ( y)=0

?当y≥1时：Fy(y)?P????y?12y?1???2??y?12y?12?X???12πe?x22dx

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

y?1?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????1212?e?x22y?12??dx? ?? =e?y?142π(y?1)

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?????dx????y?y12πe?x22dx

?y?y12πe?x222eπ?y22

33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ 又 且

Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，

1X=h (Y ) =Y3，反函数存在，

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

12 ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y31?3)?y,???y???,但y?0 3?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 的概率密度。

?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0x?0x?02

y=x2 Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x? x?2 2

y y

y∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －1??0?e? =?2y?0?y O x y ?21ye?y,y?0y?0

法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)

?? ?0?0??ye?xdx?0?1?e?y,,y?0y?0

??1e?∴ Y～ fY (y) =?2y?0?y,,y?0.y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

?2x?f(x)??π2??00?x?πx为其他

求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =?当1

?0

?arcsiny2xπ20dx??π2xπ2π?arcsiny??dx? ? =

π21?y2

1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)2?22,???t???

又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

(95θ?32?98.6)42ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π910πe2???9 581(θ?37)1002 ?e,???θ???

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2）

2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2?

9999?9?9?9?????????故θ的概率密度为：

?333??????9??22?(?)?2?1592e?5?2????2?9??910?e?81(??37)1002,???????

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品,?

??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品,?

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=

或写成

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 1 0 45 6610 66101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221?? 1212360 25 365 361 5 361 3610945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 1211661 10 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X 0 1 2 3 Y

0 1 2 0 0 1 350 6 356 353 3512 353 352 352 350 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=

C2C2C71422?1 35P {X=1, Y=1 }=

C3C2C2C71412?6 35P {X=1, Y=2 }=

C3C2C2C72421?6 35P {X=2, Y=0 }=

C3C2C7242?3 35P {X=2, Y=1 }=

C3C2C24C711?12 35P {X=2, Y=2 }=

C3C2C73422?3 35P {X=3, Y=0 }=

C3C2C7341?2 35P {X=3, Y=1 }=

C3C2C741?2 35P {X=3, Y=2 }=0

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}

（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=??f(x,y)dxdy?G??G?Dof(x,y)dxdy再化为累次积分，其中

Do?0?x?2,?????(x,y)?

2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?1 8（2）P(X?1,Y?3)??10dx?3213(6?x?y)dy? 88（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?4218(6?x?y)dy?2732

?20dx?4?x012 (6?x?y)dy?836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）

X Y 0 1 边缘分布律为

X Pi2

0

56

0 25 365 361 5 361 362 x+y=4 1 o x 1

16

Y P2j

0

56

1

16

② 不放回抽样（第1题）

X Y 0 1

边缘分布为

X Pi2

0

56

0 45 6610 661 10 661 661

16

Y P2j

0

56

1

16

（2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 1 81 3 82 3 83 0 1 8

0 2

0 3

解： X的边缘分布律

X 0

1

Y的边缘分布律 Y

1

3

Pi2

18

38

38

18 P2j

68

28

7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

??4.8y(2?x)f(x,y)????00?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.

解：fX(x)???????x2?4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它

fY(y)??????12???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)f(x,y)dx??y??00?y?1其它

8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?e?y,0?x?y?f(x,y)??求边缘概率密度。

?0,其它.?y x=y 解:fX(x)??????????y?xedy?e,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)????????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye0,?y,y?0,y?0,o

x ?cx2y,x2?y?1?9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=??????????f(x,y)dxdy??10dy???yycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?32145212?12124??2xydy?x(1?x),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?y ???Y~fY(y)??????yy214dydx?02725y20?y?1其它y=x

o 2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=

25 365 36P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=

在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：

P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=

10945 ??1211665 361 36105 ?126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=

P {X=0}2P {Y=0} =

5525 ??66361092105 ????121111116P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

∴ X和Y不独立

16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的

?1y?e2,y?0概率密度为fY(y)??2

?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X的概率密度为fXY的概率密度为

?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立，

?0,y?0.???1,x?(0,1) (x)????0,其它y 2 y=xD o 1 x 于是（X，Y）的联合密度为

?1?y?e2f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0?0?x?1,y?0其它2

（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0

2 即：Y?X2 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}

1x2 P(Y?X)?2??Df(x,y)dxdy??0dx?120e?y2dy???dx?01x20de?y2?1??10e?x22dx

?1?2??12??00e?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)

?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.144519.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

?te?t,?f(t)????0t?0t?0

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为

?te?t,?f(t)????0t?0t?0

Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：

?xe?xye?yf(x,y)??0?x?0,y?0其它

∵ z≥0

∴ 当z<0时，fz (z) = 0

当z>0时，由和的概率公式知

fz(z)??????z0??fx(z?y)fy(y)dy?(z?y)(z?y)e?ye?ydy?z3

e?z6∴

?z3?ze,?fz(z)??6?0?z?0z?0

?z3?ze,?（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z)??6?0?z?0z?0

设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

?xe?x,?fξ(x)????0x?0x?0

z与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0，

∴当u<0，

fη(u) = 0

当u>0时

fη(u)????????u0f(u?y)fξ(y)dy13?(u?y)?y(u?y)e?yedy 6u?u?e1205所以η的概率密度为

?u5?ue?fη(u)??120?0?u?0u?0

22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

fT(t)?12π?20?(t?160)2?2022e

1180??f{X?180}?FX(180)?t?1602012?20u2?(t?160)2?2022dt令?u12??1??e?2du??(180?6020

)查表0.8413设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八] 设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0 0.01 0.01 0.01 1 0.01 0.02 0.03 0.02 2 0.03 0.04 0.05 0.04 3 0.05 0.05 0.05 0.06 4 0.07 0.06 0.05 0.06 5 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}

（2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式

P {X=2|Y=2}= = =

同理

P {Y=3|X=0}=

P{X?2,Y?2}P{Y?2}

0.05

0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.080.05?0.2 0.251 3（2）变量V=max{X, Y }

显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5

P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0

P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04

P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16

P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28

P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24

P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ ?? + P {X=5，Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U的取值为0，1，2，3

P {U=0}=P {X=0，Y=0}+??+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}

+ ?? + P {Y=0，X=5}=0.28

同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式

（2） （3）

V Pk U Pk

0 0

1

2

3

4

5

0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 0 0.28

1 0.30

2 0.25

3 0.17

（4）W=V+U显然W的取值为0，1，??8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0

P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}

∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能 上式中的P{V=0，U=1}=0，

又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2 故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2

P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}

=0.03+0.01+0.02=0.06

P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19

P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}

+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1} +P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24

P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}

+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2} +P{X=3，Y=3} =0.19

P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}

=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12

P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05 或列表为 W P

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05

[二十一] 设随机变量（X，Y）的概率密度为

?be?(x?y),?f(x,y)???,?00?x?1,0?y???其它

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。 解：（1）1?????1????????f(x,y)dydx???00be?(x?y)dydx?b[1?e?1]

∴ b? （2）fX(x)?11?e?1

?????f(x,y)dy

x?0或x?10?x?1?0??x ?????(x?y)edy?,?1?0be1?e??

fY(y)??????f(x,y)dxy?0 y?0

,?0???1?(x?y)?ybedx?e??0?（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {max(X,Y)?u)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u<0, FU (u) = 0

0?u?1,FU(u)?u????uuu??f(x,y)dxdy

??0u0be?(x?y)dxdy?(1?e?u)21?e?u?1

u?1,FU(u)???010be?(x?y)dxdy?1?e

第四章

2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－0.7361=0.2639.

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=?0.26390×0.73614

???×

?0??4?查二项分布表

=0.2936.

P (X=1)=?0.26391×0.73613=0.4210, P (X=2)= ?0.26392×0.73612=0.2264. ?1??×?2??×

?????4??4?P (X=3)=?×0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= ?×0.2639×0.7361=0.0049.从而 ?3???4???????4?3

?4?0

E (X)=np=4×0.2639=1.0556

3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。

∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

1?3?3?1?37?1? P(X?1)?3?????3????????4?4?4?4?64?4?223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴

1?2?2?1?19?1? P(X?2)?3?????3????????4?4?44464????1?1?1?1?7?1? P(X?3)?3?????3????????4?4?4?4?64?4?1?1? P(X?4)????464??E(X)?1?37197125?2??3??4?? 64646464163223223同理：

故

5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

1?x,0?x?1500?(1500)2???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)??????xf(x)dx

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