空间几何中的向量方法

更新时间：2023-10-30 04:27:01 阅读量：综合文库文档下载

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第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1．若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；（3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R；（4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3；（5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)；（6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0；（7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、方程法

利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。

????????例1 已知AB?(2,2,1),AC?(4,5,3),求平面ABC的法向量。

??????????????????n?AB=0?2x?2y?z?0解：设n?(x,y,z)，则由n?AB,n?AC,得????? ?即?4x?5y?3z=0??n?AC=0?1??x?1?n?(,?1,1) 不妨设z?1，得?，取22??y=-12.矢量积公式

?????y1a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2),a?b???y2y1y2z1x,?1z2x2z1x1,z2x2y1y2??,其中行列式???z1?y1z2?y2z1,法向量取与向量a?b共线的即可。 z2???a?(2,2,1)用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写??

??b?(4,5,3)??蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2?3?1?5?1就是向量a?b的

x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算?[2?3?4?1]??2，作??为a?b的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算2?5?4?2?2作

???为z坐标，所以a?b?(1,?2,2)，可以取n?(1,?2,2)，它与前面方程法求得的

?1n?(,?1,1)是共线向量。

2优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。

例2 已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2)，试求平面ABC的一个法向量.

，0，?1)、C(3，?2，，0)试求平面?的一个法练习：已知平面?经过三点A(1,2,3)、B(2向量.

第二讲：立体几何的向量方法-------平行与垂直

一、平行

????设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,?的法向量分别为u,v，则

（1）线线平行：l//m?______________?____________; （2）线面平行：l//??______________?____________; （3）面面平行：?//??______________?____________;

例1：四棱锥P?ABCD，底面ABCD是正方形，PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC 的中点，求证：PA//平面EDB.