考研数学二历年真题2001
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数学二历年考研试题(2001~2012)
1
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)曲线2
21
x x y x +=
-的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),
n n n a n S a a a a >==++++ ,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设2
sin d ,(1,2,3),k x
k I e
x x k π=
=?
则有
( )
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y )为可微函数,且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,
x y x y x y
??>成立的一个充分条件是
( )
(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12
y x x y π
==±
=围成,则5
(1)d d D
x y x y -=??
( )
(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π
(7) 设1100c ??
?
= ? ???α,2201c ?? ?= ? ???α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -?? ?= ? ?
??α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组
数学二历年考研试题(2001~2012)
2
线性相关的为 ( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(8) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且11
000
1000
2P AP -?? ?
= ? ???
.若()123,,P =ααα,()1223,,Q =+αααα则1
Q
AQ -= ( )
(A) 1
000
2000
1?? ? ? ??
? (B) 10001000
2?? ? ? ??
? (C) 2
0001000
2?? ? ? ??
? (D)2
0002000
1??
? ? ??
?
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数,则
2
2
x d y dx
== .
(10) 222221
1
1
lim 12n n n n n n →∞?
?
+++= ?+++?? . (11) 设1ln ,z f x y ??=+ ???
其中函数()f u 可微,则2z z x y x y ??+=?? .
(12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y ==的解为y = .
(13) 曲线()2
0y x x x =+<
上曲率为
2
的点的坐标是 .
(14) 设A 为3阶矩阵,=3A ,*A 为A 伴随矩阵,若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则
*
BA = .
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数()11sin x f x x
x
+=
-
,记()0
lim x a f x →=,
数学二历年考研试题(2001~2012)
3 (I)求a 的值;
(II)若0x →时,()f x a -与k x 是同阶无穷小,求常数k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数()222,x y
f x y xe +-=的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分d D
xy σ??,其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式; (II) 求曲线220
()()d x y f x f t t =-?的拐点. (20)(本题满分10分) 证明2
1ln cos 112x x
x x x ++≥+-,(11)x -<<.
(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数,在区间1
,12?? ???
内有且仅有一个实根; (II)记(I)中的实根为n x ,证明lim n n x →∞
存在,并求此极限. (22)(本题满分11 分)
设100010001001a a A a a ??
? ?=
? ???,11
00β?? ?
- ?
= ? ???
(I) 计算行列式A ; (II) 当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
已知1010111001A a a ??
?
?
=
?- ?-??
,二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2,
数学二历年考研试题(2001~2012)
4
(I) 求实数a 的值;
(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符
合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上。 (1)已知当0→x 时,函数x x x f 3sin sin 3)(-=与k cx 是等价无穷小,则( )
(A )4,1==c k (B )4,1-==c k (C )4,3==c k (D )4,3-==c k
(2)设函数)(x f 在0=x 处可导,且0)0(=f ,则=-→3
3
2
)
(2)(lim x
x f x f x x ( )
(A ))0(2f '- (B ))0(f '- (C ))0(f ' (D )0 (3)函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (4)微分方程)0(2
>+=-''-λλλλx
x
e
e
y y 的特解形式为( )
(A ))(x
x
e
e
a λλ-+ (B ))(x
x
e
e
ax λλ-+
(C ))(x
x
be ae
x λλ-+ (D ))(2
x
x
be ae x λλ-+
(5)设函数)(x f ,)(x g 均有二阶连续导数,满足0)0(>f ,0)0(
数)()(y g x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是( ) (A )0)0(<''f ,0)0(>''g (B )0)0(<''f ,0)0(<''g (C )0)0(>''f ,0)0(>''g (D )0)0(>''f ,0)0(<''g
(6)设?
=
4
sin ln π
xdx I ,?
=
4
cot ln πxdx J ,?
=
4
cos ln π
xdx K ,则I ,J ,K 的大小关系为( )
数学二历年考研试题(2001~2012)
5
(A )K J I << (B )J K I << (C )K I J << (D )I J K <<
(7)设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩
阵。记?????
?
?=10
0011
0011P ,???
?
?
?
?=01
0100
0012P ,则A =( ) (A )21P P (B )211P P - (C )12P P (D )112-P P
(8)设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵。若T
)0,1,0,1( 是方程组0=Ax 的一
个基础解系,则0*=x A 的基础解系可为( )
(A )31,αα (B )21,αα (C )321,,ααα (D )432,,ααα 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。请将答案写在答题纸...
指定位置上。 (9)=???
?
??+→x
x
x 1
02
21lim 。 (10)微分方程x e y y x cos '-=+满足条件0)0(=y 的解为=y 。 (11)曲线?
=
x
tdt y 0
tan )4
0(π
≤
≤x 的弧长=s 。
(12)设函数???=-,
0,)(kx e x f λ ,0,
0≤>x x 0>λ,则?+∞∞-=dx x xf )( 。
(13)设平面区域D 由直线x y =,圆y y x 22
2
=+及y 轴所围成,则二重积分
??=D
xyd σ
。
(14)二次型3231212
322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=,则f 的正惯性指数
为 。
三、解答题:15~23小题,共94分。请将解答写在答题纸...
指定位置上,解答应字说明、 证明过程或演算步骤。
数学二历年考研试题(2001~2012)
6 (15)(本题满分10分)
已知函数αx dt t x F x ?+=
02)1ln()(,设0)(lim )(lim 0==+
→+∞→x F x F x x ,试求α的取值范围。 (16)(本题满分11分)
设函数)(x y y =由参数方程??????
?+-=++=3131,313133t t y t t x 确定,求)(x y y =的极值和曲线)(x y y =的
凹凸区间及拐点。
(17)(本题满分9分)
设函数))(,(x yg xy f z =,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数)(x g 可导且在1=x 处取
得极值1)1(=g ,求
1,12==???y x y x z 。
(18)(本题满分10分)
设函数)(x y 具有二阶导数,且曲线)(:x y y l =与直线x y =相切于原点,记α为曲线l 在点
),(y x 处切线的倾角,若dx dy
dx d =α
,求)(x y 的表达式。
(19)(本题满分10分)
(I )证明:对任意的正整数n ,都有
n n n 111ln 11
1 =-+++
=n n n a n ,证明数列{}n a 收敛。
(20)(本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由)21(222≥
=+y y y x 与)21(122≤=+y y
x 连接而成。
数学二历年考研试题(2001~2012)
7 (I )求容器的容积;
(II )若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?
(长度单位:m ,重力加速度为2s m g ,水的密度为3310m kg )
(21)(本题满分11分)
已知函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,且0),1(=y f ,0)1,(=x f ,??=D
a dxdy y x f ),(,其中{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D ,计算二重积分??''=
D xy dxdy y x f xy I ),(。
(22)(本题满分11分) 设向量组T )1,0,1(1=α,T )1,1,0(2=α,T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β,
T )3,2,1(2=β,T a ),4,3(3=β线性表示。
(I )求a 的值;
(II )将321,,βββ用321,,ααα线性表示。
(23)(本题满分11分)
设A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且A ????
? ??-=????? ??-10110110110
1。 (I )求A 的所有的特征值与特征向量;
(II )求矩阵A 。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
(1) 的无穷间断点的个数为函数222111)(x x x
x x f +--=
A0 B1 C2 D3
2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解,若常数μλ,使21y y μλ+是该
数学二历年考研试题(2001~2012)
8
方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则 A 21,21==μλ B 2
1,2
1-
=-=μλ
C 3
1,32=
=
μλ D 3
2,3
2==
μλ
(1) =≠==a a x a y x y 相切,则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De 4.设,m n 为正整数,
则反常积分0?
的收敛性
A 仅与m 取值有关
B 仅与n 取值有关
C 与,m n 取值都有关
D 与,m n 取值都无关
5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x
=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x
y
x
y
??+??=
A x
B z
C x -
D z -
6.(4)2
2
1
1
lim
()()
n
n
x i j n
n i n
j →∞
==++∑∑=
A 1
2
1(1)(1)
x
dx dy x y ++??
B 10
1(1)(1)
x dx dy x y ++??
C 110
1(1)(1)
dx dy x y ++??
D 112
1(1)(1)
dx dy
x y ++??
7.设向量组线性表示,,
,:,可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:,下列命题正确的是: A 若向量组I 线性无关,则s r ≤ B 若向量组I 线性相关,则r>s C 若向量组II 线性无关,则s r ≤ D 若向量组II 线性相关,则r>s
(A) 设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1
1
1
0??
?
? ? ??
?
数学二历年考研试题(2001~2012)
9
B 11
1
0??
?
? ?
- ?
?
?
C 11
1
0?? ?-
? ?- ??
? D 11
1
0-?? ?- ? ?- ??
?
二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________
10.曲线1
22
3
+=
x x
y 的渐近线方程为_______________
11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在
12.___________
0的弧长为时,对数螺线
当θ
πθe r =≤≤
13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加,则当l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为___________
14.设A ,B 为3阶矩阵,且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则
三解答题 15.的单调区间与极值。
求函数?
--=
2
2
1
2)()(x
t
dt e
t x x f
16.(1)比较1
ln [ln(1)]n
t t dt +?与10
ln (1,2,)n
t t dt n =? 的大小,说明理由.
(2)记10
ln [ln(1)](1,2,),n
n u t t dt n =
+=?
求极限lim .
n x u →∞
17.
设函数y=f(x)由参数方程
。
求函数,已知
,
阶导数,且具有所确定,其中)(,)
1(436)1(2
5)1(2)()1(),
(,
22
2
2t t dx
y d t t t y t t x ψψψψψ+=
='??
?=->=+=
18.一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b 的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油
面高度为b
23时,计算油的质量。
(长度单位为m ,质量单位为kg ,油的密度为
3
/m
kg ρ)
数学二历年考研试题(2001~2012)
10
19.
,,.
05
12
4),(2
2
2
2
22
=???+=+==??+???+??=η
ξηξu by x ay x b a y
u y x u x
u y x f u 下简化
的值,使等式在变换确定且满足等式
具有二阶连续偏导数,
设函数
20.
}.
4
0,sec 0),(D ,2cos 1sin 2
2πθθθθθθ≤
≤≤≤=-=
??
r r drd r r I D
{其中计算二重积分
21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=31
,证明:存在
.
)()(),1,21
(),21,0(2
2ηξηξηξ+='+'∈∈f f 使得
22.
的通解。
求方程组、)求(个不同的解。
存在已知线性方程组
设b Ax a b Ax a b A ==???
?
? ??=?????
?
?-=)2(.
12.11,1
101
11
λλλλ23.设
????
? ?
?--=0431
410
a
a A ,正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵,若Q 的第一列为T )1,2,1(6
1,求a 、Q.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)函数()3
sin x x
f x nx
-=
的可去间断点的个数,则( )
()A 1.
()B 2. ()C 3.
()D 无穷多个.
数学二历年考研试题(2001~2012)
11 (2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( ) ()A 1
1,6a b ==-. ()B 1
1,6a b ==. ()C 1
1,6a b =-=-. ()D 1
1,6a b =-=.
(3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )
()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.
(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,y x y dx f x y dy dy f x y dx -+=????( )
()A ()2411
,x dx f x y dy -??. ()B ()241,x x dx f x y dy -??. ()C ()2411,y dy f x y dx -??. ()D .()221,y dy f x y dx ??
(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()
1,2内( )
()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.
()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.
(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:
则函数()()0x
F x f t dt =?的图形为( )
数学二历年考研试题(2001~2012)
12
()A .
()B .
()C .
()D .
(7)设A 、B 均为2阶矩阵,**A B ,分别为A 、B 的伴随矩阵。若A =2B =3,
,则分块矩阵0
0A B
??
???
的伴随矩阵为( ) ()A .**
0320B A ??
???
()B .**
02B 3A 0??
??? ()C .**
03A 2B
0??
???
()D .**
02A 3B
0??
???
(8)设A P ,均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且T
100P AP=0
1000
2?? ?
? ??
?
,若 P=Q =+ααααααα1231223(,,),(,,),则Q AQ T
为( )
数学二历年考研试题(2001~2012)
13
()A .2101
10002?? ? ? ???
()B .1
101
20002?? ?
? ???
()C .2000
1000
2?? ? ? ??
?
()D .1000
2000
2?? ? ? ??
?
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -?
???=-?
?在(0,0)处的切线方程为 (10)已知+1k x
e
dx ∞=-∞
?
,则k =
(11)n 1
lim
e sin 0
x
nxdx -→∞=?
(12)设()y y x =是由方程xy 1y
e x +=+确定的隐函数,则2
x=0
d y =dx
2
(13)函数2x y x =在区间(]01,
上的最小值为 (14)设αβ,为3维列向量,T β为β的转置,若矩阵T
αβ相似于2
000
0000
0?? ?
? ??
?
,则T =βα
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求极限()[]
4
1cos ln(1tan )lim sin x x x x x
→--+
(16)(本题满分10
分)计算不定积分ln(1dx +
? (0)x >
数学二历年考研试题(2001~2012)
14 (17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-,其中f 具有2阶连续偏导数,求dz 与2z x y ???
(18)(本题满分10分) 设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=,当曲线()y y x = 过原点时,其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。
(19)(本题满分10分)求二重积分()D
x y dxdy -??,
其中()()(){}
22,112,D x y x y y x =-+-≤≥
(20)(本题满分12分)
设()y y x =是区间-ππ(,)
内过(的光滑曲线,当-0x π<<时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式
(21)(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可
导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=。
(22)(本题满分11分)设1
111
11042A --?? ?=- ? ?--??,1112ξ-?? ?= ? ?-??
(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关。
数学二历年考研试题(2001~2012)
15
(23)(本题满分11分)设二次型()()2
2
2
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为( )
()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3
(2)曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数,则定积分0
()a
t
af x dx ?( )
()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形A C D 面积.
()D 三角形A C D 面积.
(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x
y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是
( )
()A ''''''
440y y y y +--= ()B ''''''
440y y y y +++=
()
C '''
''
'
440y y y y --+=
()
D ''''''
440y y y y -+-=
(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是( )
()A 若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛.
()D 若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛
.
数学二历年考研试题(2001~2012)
16 (6)设函数f
连续,若22(,)uv D F u v =
??,其中区域uv D 为图中阴影部分,则F u ?=? ()A 2()vf u ()B 2()v
f u u
()C ()vf u
()D ()v
f u u (7)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30A =,则( )
()
A E A -不可逆,E A +不可逆. ()
B E A -不可逆,E A +可逆. ()
C E A -可逆,E A +可逆. ()
D
E A -可逆,E A +不可逆.
(8)设1221A ??=
???,则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2
112-?? ?-??
. ()B 2112-?? ?-??. ()C 2112??
???. ()D 1221-?? ?-??
. 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 已知函数()f x 连续,且201cos[()]
lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-,则(0)____f =.
(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.
(11)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .
(12)曲线2
3(5)y x x =-的拐点坐标为______.
(13)设x
y y z x ??= ???,则(1,2)____z x ?=?.
(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-,则___λ=.
三、解答题:15-23题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.
解答应写出文字说明、证明过程
数学二历年考研试题(2001~2012)
17 或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim
x x x x x
→-????.
(16)(本题满分10分)
设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =???=+???确定,其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --?-=???=?的解.求
22y x ??.
(17)(本题满分9分)求积分
10?.
(18)(本题满分11分) 求二重积分m ax(,1),D
xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤
(19)(本题满分11分)
设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数,且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞,直线0,x x t ==,曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数()f x 的表达式.
(20)(本题满分11分)
(1) 证明积分中值定理:若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b η∈,使得()()()b
a f x dx f
b a η=-? (2)若函数()x ?具有二阶导数,且满足32(2)(1),(2)()x dx ????>>?,证明至少存在一点(1,3),()0ξ?ξ''∈<使得
(21)(本题满分11分)
数学二历年考研试题(2001~2012)
18 求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.
(22)(本题满分12分)
设矩阵2221212n n
a
a a A a a ??? ?
?=
? ??? ,现矩阵A 满足方程A X B =,其中()1,,T n X x x = ,()1,0,,0B = ,
(1)求证()1n
A n a =+; (2)a 为何值,方程组有唯一解,并求1x ;
(3)a 为何值,方程组有无穷多解,并求通解.
(23)(本题满分10分)
设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量,向量3α满足323A ααα=+,
(1)证明123,,ααα线性无关;
(2)令()123,,P ααα=,求1P AP -.
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)当0x +→
时,与
(A
)1- (B
)ln
(C
1- (D
)1cos - [ ]
(2)函数1(e e)tan ()e e x x x
f x x +=??- ???在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]
数学二历年考研试题(2001~2012)
19
(A )0 (B )1 (C )2
π
-
(D )
2
π
(3)如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设0
()()d x F x f t t =?
,则下列结论正
确的是:
(A )3(3)(2)4
F F =-
- (B) 5(3)(2)4
F F =
(C )3(3)(2)4F F =
(D )5(3)(2)4
F F =-
- [ ]
(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是: (A )若0
()lim x f x x →存在,则(0)0f = (B )若0
()()
lim x f x f x x
→+-存在,则(0)0f = . (C )若0()lim
x f x x
→存在,则(0)0f '= (D )若0
()()
lim
x f x f x x
→--存在,则(0)0f '=.
[ ] (5)曲线()1ln 1e
x
y x
=
++的渐近线的条数为
(A )0. (B )1. (C )2. (D )3. [ ]
(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()n u f n =,则下列结论正确的是:
(A) 若12u u > ,则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ,则{}n u 必发散
(C) 若12u u < ,则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ,则{}n u 必发散. [ ] (7)二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] (A )
()
[](,)0,0lim
(,)(0,0)0x y f x y f →-=.
数学二历年考研试题(2001~2012)
20
(B )0
(,0)(0,0)
(0,)(0,0)
lim
0,lim
0x y f x f f y f x
y
→→--==且.
(C )
(
(,)0,0lim
0x y →=.
(D )0
0lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=??
??
且.
(8)设函数(,)f x y 连续,则二次积分1
sin 2
d (,)d x
x f x y y π
π??
等于
(A )10arcsin d (,)d y
y f x y x π
π+??
(B )1
0arcsin d (,)d y
y f x y x π
π-??
(C )1arcsin 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
+?? (D )1arcsin 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
-??
(9)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是
线性相关,则
(A) 122331,,αααααα---
(B) 122331,,αααααα+++
(C) 1223312,2,2αααααα---.
(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] (10)设矩阵2
111001
21,01011
200
0A B --????
? ?
=--= ? ? ? ?--???
?
,则A 与B (A) 合同且相似 (B )合同,但不相似.
(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (11) 3
arctan sin lim
x x x
x
→-= __________.
(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t
?=+?=+?上对应于4t π
=的点处的法线斜率为_________.
(13)设函数123
y x =
+,则()
(0)n y
=________.
(14) 二阶常系数非齐次微分方程2432e
x
y y y '''-+=的通解为y =________.
(15) 设(,)f u v 是二元可微函数,,y x z f x y ??=
?
?
?
,则z z
x y x y ??-=?? __________.
数学二历年考研试题(2001~2012)
21
(16)设矩阵01000
010
00010
0A ?? ?
?= ? ???
,则3A 的秩为 . 三、解答题:17~24小题,共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π??
????
上单调、可导的函数,且满足
()1
cos sin ()d d sin cos f x x t t f
t t t
t t t
--=
+?
?
,其中1
f
-是f 的反函数,求()f x .
(18)(本题满分11分) 设D
是位于曲线2(1,0)x a
y a x -=
>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. (Ⅰ
)求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ;(Ⅱ)当a 为何值时,()V a 最小?并求此最小值.
(19)(本题满分10分)求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.
(20)(本题满分11分)已知函数()f u 具有二阶导数,且(0)1f '=,函数()y y x =由方程
1
e
1y y x --=所确定,设()ln sin z f y x =-,求
2
2
d d ,
d d x x z z x
x
==.
(21) (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.
(22) (本题满分11分)
设二元函数2
,||||1(,)1||||2
x x y f x y x y ?
+≤?
=<+≤,计算二重积分
D
(,)d f x y σ??
,其中(){},||||2D x y x y =+≤.
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