对勾函数讲解与例题解析
更新时间:2023-06-01 19:10:01 阅读量: 实用文档 文档下载
对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
一、对勾函数f(x)=ax+
错误!未找到引用源。 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。(接下来写作
f(x)=ax+b/x)。
当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。
当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同号)
当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)
对勾函数的图像(ab异号)
一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到:
当x>0时,错误!未找到引用源。。
当x<0时,错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标:
(三) 对勾函数的定义域、值域
由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性
(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到: X
(六) 对勾函数的奇偶性 :对勾函数在定义域内是奇函数,
二、均值不等式(基本不等式) 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是a^2-2ab+b^2≥0,有a^2+b^2≥2ab,两边同时加上2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开根号,就得到了均值定理的公式:a+b≥2sqrt(ab)。把ax+b/x套用这个公式,得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab),这里有个规定:当且仅当ax=b/x时取到最小值,解出x=sqrt(b/a),对应的f(x)=2sqrt(ab)。我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样:(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。
三、关于求函数y x x 0 最小值的解法
1. 均值不等式 1x
x 0,
y x
2. 法 11。 当x 1的时候,ymin 2 2,当且仅当x ,即x 1的时候不等式取到“=”xx
y x 1 x2 yx 1 0 x
2若y的最小值存在,则 y 4 0必需存在,即y 2或y 2(舍)
找到使y 2时,存在相应的x即可。通过观察当x 1的时候,ymin 2
3. 单调性定义
x1x2 1 1 设0 x1 x2 f x f x x x 1 1 x x x x 1 12121212 x1x2 x1x2 x1x2
当对于任意的x1,x2,只有x1,x2 0,1 时,f x1 f x2 0, 此时f x 单调递增;
当对于任意的x1,x2,只有x1,x2 1, 时,f x1 f x2 0, 此时f x 单调递减。
当x 1取到最小值,ymin f 1 2
4. 复合函数的单调性
1 1 y x x 2 x x 2
t x 1
x在 0, 单调递增,y t 2在 ,0 单调递减;在 0, 单调递增 2
又 x 0,1 t ,0 x 1, t 0, 原函数在 0,1 上单调递减;在 1, 上单调递增 即当x 1取到最小值,ymin f 1 2
四、例题解析:
例1、已知函数 ,
五、重点(窍门)
其实对勾函数的一般形式是:
f(x)=ax+b/x(a>0)
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
值域为(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞)
当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a
当x<0,有x=-根号a,有最大值是:-2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),它的单调性讨论如下:
设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论
⑴当x1<x2<-根号a时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数在(-∞,-根号a)上是增函数
⑵当-根号a<x1<x2<0时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(-根号a,0)上是减函数
⑶当0<x1<x2<根号a时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(0,根号a)上是减函数
⑷当根号a<x1<x2时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数在(根号a,+∞)上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。
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