8-1 二重积分的概念与性质

第八章

二重积分

复习定积分1.曲边梯形的面积

y

A f ( x )dxa

b

A lim f ( i ) xi 0 i 1

n

O a x1

xi 1 xi

2. 定积分思想：

i

分割、近似、求和、取极限.

第一节 二重积分的概念与性质一、引例

第八章

二、二重积分的定义与可积性三、二重积分的性质

8-1 二重积分的概念与性质

一、引例1.曲顶柱体的体积 (1) 曲顶柱体的定义:

z

z f ( x, y)

y

底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面o D

x

侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面4

(2)求曲顶柱体体积的意义： 由空间曲面所围成的任意

空间立体的体积都可以转化为曲顶体积的体积的代数和.z

y

ox5

(3)求曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示.

处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！z

y

iD o x13

步骤如下： 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， 用若干个小平顶柱体体积之和近似 曲顶柱体的体积，

z

z f ( x, y )

oDn

y( i , i )

vi f ( i , i ) i x曲顶柱体的体积

V lim f ( i , i ) i . 0i 1

i

为各小闭区域的直径的最大者.14

2.求平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . (常数) 设D 的面积为 , M 则 若 非常数 , 仍可用 “分割，近似，求和, o 取极限”解决.n

y

( i , i )

ix

mi ( i , i ) i

所有小块质量之和近似等于薄片总质量:

M lim ( i , i ) i . 0

其中： 为各小闭区域的直径的最大者.

i 1

两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同 “分割，近似，求和, 取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:

V lim f ( i , i ) i . 0i 1

n

平面薄片的质量:

M lim ( i , i )

i . 0i 1

n

(3) 极限值均取决与一个函数与其定义区域.16

二、二重积分的定义及可积性定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,

将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作 则称 f ( x , y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.

积分和

积分表达式

x , y 称为积分变量积分域

被积函数

面积元素17

1.对定义的说明：(1)

f ( x, y) d 表示一个确定的数值，它只与 f ( x, y)、DD

有关， 与D的分割法、 ( i , i ) 的取法、积分变量所使 用的字母无关， 即

f ( x, y)d f (u, v)d .D D

定义中和式的极限 (2)当 f ( x, y ) 在闭区域D上连续时，

必存在， 即二重积分必存在.(3)底为D,顶为z f ( x, y ) 的曲顶柱体的体积为：

v f ( x, y ) d m 平面薄片的质量为： DD

( f ( x , y ) 0)

( x, y)d

( ( x, y ) 0)18

2.二重积分的几何意义二重积分是柱体的体积. 当被积函数大于零时， 即 f ( x , y ) d D

v,

特殊地： 若在D上,DD

( f ( x , y ) 0) 则 f ( x, y ) 1,xz ox

z

z f ( x, y)

f ( x, y) d d D的面积当被积函数小于零时， 二重积分

oD

y ( i , i ) i( i , i )

是柱体的体积的负值.D

f ( x, y) d v , ( f ( x, y) 0)x 2 y 2 R2

D

y

i

例如

R 2 x 2 y 2 dxdy

?z f ( x, y)19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s47i.html