江苏省宿迁中学2013届高三上学期第二次调研测试数学试题

江苏省宿迁中学2013届高三第二次调研测试

数学试题

命题 贺恒月 审校 史秀云

（满分160分 时间120分钟）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1. 设集合U＝{1,2,3,4,5}，A={1,2}，B＝{2,3}，则(CUA)?B＝ ▲ 。 2. 若复数z满足z?(3?z)i（i是虚数单位），则复数z的虚部是 ▲ .

3. 4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的两张卡片上的数字之差的绝对值等于2的概率为 ▲ ． 4. 已知π≤?≤π，且sin??π?1，则cos?? ▲ ．

262??????5. 已知向量a?(?3,2),b?(?1,0)，且向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值是 ▲ .

6. 函数f(x)?x?2lnx单调递减区间是 ▲ 。

7. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x?R都有f(x)?f(x?4)，当

??x?(?2,0)时，f(x)?2x，则f(2012)?f(2013)＝ ▲ 。

198. 若数列?an?中，an?，其前n项的和是，则在平面直角坐标系中，直线

n(n?1)10(n?1)x?y?n?0在y轴上的截距为 ▲ 。

9. 下列四个命题中，真命题的序号是 ▲ 。

①?m?R,使f(x)?(m?1)xm222?4m?3是幂函数；

②“若am?bm，则a?b”的逆命题为真； ③?a?0,函数f(x)?lnx?lnx?a有零点；

④命题“?x?R,都有x?3x?2?0”的否定是“?x?R,使得x?3x?2?0”

222x2y210. 已知B为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左准线与x轴的交点，点A(0,b)，若满足

ab????????AP?2AB的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ▲ .

11. 已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲ ．

22212. 当且仅当a?r?b时，在圆x?y?r(r?0)上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离

为1，则a?b的值为 ▲ 。

13. 设实数a?1，若仅有一个常数c使得对于任意的x??a,3a?，都有y?[a,a2]满足方

程logax?logay?c，这时，实数a的取值的集合为 ▲ 。

14. 已知关于x的实系数一元二次不等式ax2?bx?c≥0 (a?b)的解集为R，则

M?a?3b?4c的最小值是 ▲ ．

b?a二．解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本题满分14分) 设函数f(x)?sin(2x??6)?cos2x?3sinx?cosx.

C51，f()?，求sinA.

223 (1). 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2). 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=

16．(本题满分14分)

如图，四边形ABCD是正方形，PB?平面ABCD，MA?平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求证：（1）平面AMD∥平面BPC； （2）平面PMD?平面PBD．

17. (本题满分14分)

D

C

A B

M P

己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售一千件的收入为R(x)万元，

12?10.8?x (0?x?10)??30且R(x)??。（注：年利润＝年销售收入一年总成本）

?108?1000 (x?10)?3x2?x（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

18. (本题满分16分)

设数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn?2?an，n=1,2,3,??. （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足b1?1，且bn?1?bn?an，求数列?bn?的通项公式； （3）设cn?n(3?bn)，求数列?cn?的前n项和Tn.

19. （本小题满分16分）

22 已知圆O：x?y?8交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x??4为

准线的椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P,Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；

（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G,H两点，且EG?3HE，试求此时弦PQ的长．

20．（本题满分16分） 已知函数f(x)?MGyPAQHOBx1?lnx. x（1）若函数f(x)在区间(a,a?1)上有极值，求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程f(x)?x?2x?k有实数解，求实数k的取值范围； （3）当n?N*，n?2时，求证：nf(n)?2?

2111??????. 23n?1数学Ⅱ（理科附加题）

???1????????11?221.已知矩阵A???，向量???2?．求向量?，使得A???． 21????

………………4分 ，

?11??11??11??32?2解：?A????A??21??21???43?21??????????? 设??= …………8分 ，则2?xA?????32??x??1???3x?2y??1????????43??y??2??4x?3y???2?y???????????? ，????1?． ………………10?3x?2y?1?x??1??,???????4x?3y?2y?2???2?分

?) (0≤??2π)中，求曲线??2sin?与?cos??1的交点Q的极坐标． 22.在极坐标系(?,解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系

22则曲线??2sin?可化为：x?(y?1)?1

曲线?cos??1化为x=1, ………………6分

?x2?(y?1)2?1 由?可得交点坐标（1，1），

x?1?所以交点Q的极坐标是(2,

23.用数学归纳法证明：

24．已知(1??4)………………10分

11119??????(n?1,且n?N?). n?1n?2n?33n101nx)展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),?an(x),an?1(x)． 2设F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)． （1）若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值；

（2）求证：对任意x1,x2?[0,2]，恒有|F(x1)?F(x2)|?2n?1(n?2)?1. 24．解：（1）依题意ak(x)?Cn(x)k?112k?1，k?1,2,3,?,n?1，

n1n(n?1)1120??，Cn?()2?， a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为Cn?1，Cn2228nn(n?1)所以2??1?，解得n?8； ???4分

28（2）F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)

01121n?11n1?Cn?2Cn(x)?3Cn(x)2??nCn(x)n?1?(n?1)Cn(x)n

2222012n?1n F(2)?Cn?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cn012n?1n设Sn?Cn， ?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cnnn?1210则Sn?(n?1)Cn ?nCn??3Cn?2Cn?Cnkn?k考虑到Cn，将以上两式相加得： ?Cn012n?1n2Sn?(n?2)(Cn?Cn?Cn??Cn?Cn)

所以Sn?(n?2)2n?1

又当x?[0,2]时，F'(x)?0恒成立，从而F(x)是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意x1,x2?[0,2]，|F(x1)?F(x2)|?F(2)?F(0)?(n?2)2n?1?1． ???10分

参考答案： 二．填空题：

3111 3. 4.-1 5.? 6. （0，2） 7. 237218. -9 9. ①③ 10. 2 11. a? 12.25 13. {3} 14. 25?5

31.{3} 2. 二．解答题：

15. (本题满分14分)

解：（1）f(x)?311?cos2x3sin2x?cos2x??sin2x 22221?1＝2sin(2x?)? 262 ＝3sin2x?cos2x? 所以函数f(x)的最大值是（2）f()=2sin(C?5，最小正周期为?。 215?)?=, 所以sin(C?)?1, 6226?又C为?ABC的内角 所以C?,

321B?3又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sin, 所以

33c2?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?

16．(本题满分14分)

211322?3 2????32326P

如图，四边形ABCD是正方形，PB?平面ABCD，MA?平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求证：（1）平面AMD∥平面BPC； （2）平面PMD?平面PBD．

A B

M

D 16．证明：（Ⅰ）∵PB?平面ABCD，MA?平面ABCD，

∴PB∥MA．…………………2分 ∵PB?平面BPC，MA ?MA∥平面BPC． ……………………4分 /平面BPC，∴同理DA∥平面BPC， …………………………………………………5分 ∵MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD＝A， ∴平面AMD∥平面BPC． …………………………………………………………7分 （Ⅱ）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．

1

∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF∥=2PB．

1又AM∥AM∥AEFM为平行四边形． ………………10分 =2PB，∴=EF．∴∴MF∥AE．

∵PB?平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PB?AE．∴MF?PB． ………………12分 因为ABCD为正方形，∴AC?BD．∴MF?BD． 又PB?PD?P，∴MF?平面PBD． ………………13分 又MF?平面PMD．∴平面PMD?平面PBD． …………………………………14分

C

x3?10 17．解：（1）当0?x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?8.1x?30

当x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?98?1000?2.7x 3x?x38.1x??100?x?10??30 ????????????5分 ?W???98?1000?2.7xx?10?3x?（2）①当0?x?10时，由

x2W??8.1??0得x?9.且当x?(0,9)时,W??0;当x?(9,10)时,W??0;

101?93?10?38.6 ??9分 ∴当x?9时，W取最大值，且Wmax?8.1?9?301000?1000?②当x?10时，W=98???2.7x??98?2?2.7x?38

3x?3x?1000100?2.7x,即x?时,Wmax?38. ???????????13分 当且仅当3x9综合①、②知x=9时，W取最大值.

所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.????14分

19. (本题满分16分)

设数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn?2?an，n=1,2,3,??. （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足b1?1，且bn?1?bn?an，求数列?bn?的通项公式； （3）设cn?n(3?bn)，求数列?cn?的前n项和Tn. 18.解：(1)当n=1时，S1?2?a1，所以a1?1

当n≥2时， Sn?1?2?an?1，且Sn?2?an

1所以an?(2?an)?(2?an?1) 得：an?an?1

2则数列?an?是以1为首项，

1为公比的等比数列， 21n?1 所以：数列?an?的通项公式是 an?()。

21n?11n?1 (2) 由 bn?1?bn?an且an?() 所以：bn?1?bn?()，

221011121n?2则：b2?b1?()，b3?b2?()，b4?b3?()?? ?bn?bn?1?()，

22221011121n?2以上n-1个等式叠加得：bn?b1?()?()?()???()

22221n?11?()n?1??11??2?2?1????＝2－n?2，又b1?1 则：bn?b1?12???2???1?2

所以：bn?3? (3) 略

12n?2

x2y219. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为2?2?1?a?b?0?，则：

ab?a?22?x2y2?2?a?22??1。……4分 ，从而：?，故b?2,所以椭圆的标准方程为?a84??c?2??4?cm?m2?（Ⅱ）设M(?4,m)，则圆K方程为?x?2???y????4

2?4?22与圆O:x2?y2?8联立消去x2,y2得PQ的方程为4x?my?8?0， 过定点E??2,0?。 …………8分

22??x1?2y1?8（Ⅲ）解法一：设G?x1,y1?,H?x2,y2?，则?2,???① 2??x2?2y2?8?????????x1??8?3x2?EG?3HE，??x1?2,y1??3??2?x2,?y2?，即：?

y??3y?128?x????23代入①解得：?（舍去正值）， ?kPQ?1，所以PQ:x?y?2?0，

2?y??2?3?从而圆心O?0,0?到直线PQ的距离d?分

1?2，从而，PQ?2R2?d2?26……1621?x?(1?lnx)1?lnxlnx20. 解：（1）?f(x)?，?f?(x)?x ??22xxx?当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,??)时，f?(x)?0；

?函数f(x)在区间（0，1）上为增函数；在区间(1,??)为减函数 -----------------------3分 ?当x?1时，函数f(x)取得极大值，而函数f(x)在区间(a,a?1)有极值.

?a?1，解得0?a?1. --------------------5分 ??a?1?1?（2）由（1）得f(x)的极大值为f(1)?1，令g(x)?x2?2x?k，所以当x?1时，函数g(x)取得最小值g(1)?k?1，又因为方程f(x)?x2?2x?k有实数解，那么k?1?1，即k?2，所以实数k的取值范围是：k?2. ----------10分

1?lnx?2x?x2， x1?lnxlnx

?2x?x2，所以h?(x)??2?2?2x，当x?1时，h?(x)?0 令h(x)?xx2（另解：?f(x)?x?2x?k，?k?当x?(0,1)时，h?(x)?0；当x?(1,??)时，h?(x)?0

?当x?1时，函数h(x)取得极大值为h(1)?2 ?当方程f(x)?x2?2x?k有实数解时，k?2.）

,)减函数，而1?（3）?函数f(x)在区间(1??为

1?1(n?N*,n?2)，n1?f(1?)?f(1)?1

n111?1?ln(1?)?1?，即ln(n?1)?lnn?

nnn111?lnn?ln2?ln1?ln3?ln2?????lnn?ln(n?1)?1???????----------12分

23n?1111即1?lnn?2???????，

23n?1111n?f(n)?1?lnn，?nf(n)?2???????而结论成立.

23n?1-----------------16分

数学Ⅱ（理科附加题）

???1????????11?2???21.已知矩阵A??，向量．求向量，使得A???． ?2??21?????11??11??11??32?2?A???A?，??21??21???43? ………………4分 21????????

?????x??32??x??1??3x?2y??1?2 设????，则A?????=???y??2??4x?3y???2? …………8分 y43????????????????1??3x?2y?1?x??1,?? ??，?????． ………………10

?4x?3y?2?y?2?2?分

??

?) (0≤??2π)中，求曲线??2sin?与?cos??1的交点Q的极坐标． 22.在极坐标系(?,解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 则曲线??2sin?可化为：x2?(y?1)2?1

曲线?cos??1化为x=1, ………………6分

?x2?(y?1)2?1 由?可得交点坐标（1，1），

x?1?所以交点Q的极坐标是(2,

23.用数学归纳法证明：解：略

24．已知(1??4)………………10分

11119??????(n?1,且n?N?). n?1n?2n?33n101nx)展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),?an(x),an?1(x)． 2设F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)． （1）若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值；

（2）求证：对任意x1,x2?[0,2]，恒有|F(x1)?F(x2)|?2n?1(n?2)?1. 24．解：（1）依题意ak(x)?Cn(x)k?112k?1，k?1,2,3,?,n?1，

n1n(n?1)1120??，Cn?()2?， a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为Cn?1，Cn2228nn(n?1)所以2??1?，解得n?8； ???4分

28（2）F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)

01121n?11n1?Cn?2Cn(x)?3Cn(x)2??nCn(x)n?1?(n?1)Cn(x)n 2222012n?1n F(2)?Cn?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cn

012n?1n设Sn?Cn， ?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cnnn?1210则Sn?(n?1)Cn ?nCn??3Cn?2Cn?Cnkn?k考虑到Cn，将以上两式相加得： ?Cn012n?1n2Sn?(n?2)(Cn?Cn?Cn??Cn?Cn)

所以Sn?(n?2)2n?1

又当x?[0,2]时，F'(x)?0恒成立，从而F(x)是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意x1,x2?[0,2]，|F(x1)?F(x2)|?F(2)?F(0)?(n?2)2n?1?1．??10分

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