2008年全国新课标数学高考试卷+答案

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：

那么ω=（ ） A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/3

z2?2z?（ ） 2、已知复数z?1?i，则

z?1A. 2i B. －2i C. 2 D. －2

3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18

B. 3/4

C.

3/2 D. 7/8

S4 ?（ ）

a217 2输开始 4、设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则

A. 2 B. 4 C.

15 2 D.

入5、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > x

B. x > c

C. c > b

D. b > c

x=a 是 x=b b>x 否 否 6、已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）

1A.（0，）

a1C. （0，

2 B. （0，）

a1 D. （0，

是 x=c 1） a32） a3输出x 3?sin7007、=（ ）

2?cos2100结束 A.

rr8、平面向量a，b共线的充要条件是（ ）

rrrrA. a，b方向相同 B. a，b两向量中至少有一个为零向量

1 2 B.

2 2 C. 2 D.

3 2rrC. ???R， b??a

rrrD. 存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0

9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种 10、由直线x?

B. 30种

C. 40种

D. 60种

11，x=2，曲线y?及x轴所围图形的面积为（ ） 2x15171A. B. C. ln2 D. 2ln2

424距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ） A. （

11、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点

1，－1） 4 B. （

1，1） 4 C. （1，2） D. （1，－2）

12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）

A. 22 B. 23 C. 4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

D. 25

rrrr13、已知向量a?(0,?1,1)，b?(4,1,0)，|?a?b|?29且??0，则?= ____________

x2y2??1的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的14、过双曲线

916直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________

15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 816、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

甲品种： 乙品种：

271 308 284

273 310 292

280 314 295

285 319 304

285 323 306

287 325 307 329

292 325 312 331

294 328 313 333

295 331 315 336

301 334 315 337

303 337 316 343

303 352 318 356

307 318

320 322 322 324 327 由以上数据设计了如下茎叶图：

甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 4 28 5 4 2 2 5 29 8 7 3 3 1 4 6 7 30 9 4 0 2 3 5 5 6 8 8 31 8 5 5 3 0 2 2 4 7 9 32 7 4 1 1 3 6 7 33 3 34 2 6 35 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分12分）

已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。 （1） 求{an}的通项an；

（2） 求{an}前n项和Sn的最大值。

18、（本小题满分12分）

如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。 （1） 求DP与CC1所成角的大小；

（2） 求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

D1

A1

P D

AC1B1CB

19、（本小题满分12分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场

分析，X1和X2的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2

X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 （1） 在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获

得的利润，求方差DY1、DY2；

（2） 将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A

项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）

x2y220、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的左、右焦

ab点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：y2?4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|?5。 3（1） 求C1的方程；

uuuruuuruuuur（2） 平面上的点uuruuurN满足MN?MF1?MF2，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，

若OA·OB=0，求直线l的方程。

21、（本小题满分12分）设函数f(x)?ax?处的切线方程为y?3。

（1） 求y?f(x)的解析式；

（2） 证明：曲线y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3） 证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的

面积为定值，并求出此定值。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。

1曲线y?f(x)在点(2,f(2))(a,b?Z)，

x?b

（1）证明：OM·OP = OA2；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交

直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

??x?x?cos??已知曲线C1：?，曲线C：2(?为参数)???y?sin??y???2t?22(t为参数)。 2t2BANOPMK（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'。写出

C1'，C2'的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？

说明你的理由。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?8|?|x?4|。 （1） 作出函数y?f(x)的图像；

（2） 解不等式|x?8|?|x?4|?2。

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题 1．B 2．B 7．C 8．D 二、填空题 13．3

3．D 9．A

4．C 10．D

5．A 11．A

6．B 12．C

14．

32 1515．

4? 316．

1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

三、解答题 17．解：

?a1?d?1（Ⅰ）设?an?的公差为d，由已知条件，?，解出a1?3，d??2．

a?4d??5?1所以an?a1?(n?1)d??2n?5． （Ⅱ）Sn?na1?n(n?1)d??n2?4n?4?(n?2)2． 2所以n?2时，Sn取到最大值4． 18．解：

如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyzz ． uuuruuur则DA?(10，，0)，CC??(0，01)，．

连结BD，B?D?．

在平面BB?D?D中，延长DP交B?D?于H．

D? A? D A x H P C? B? C B uuur设DH?(m，m，1)(m?0)， uuuruuur由已知?DH，DA??60o，

y uuuruuuruuuruuuruuuruuur由DAgDH?DADHcos?DA，DH?

可得2m?2m2?1．

uuur?22?21?解得m?，所以DH???2，2，?． 2??22?0??0?1?1uuuruuur222（Ⅰ）因为cos?DH，， CC????21?2uuuruuur所以?DH，CC???45o．

即DP与CC?所成的角为45．

?uuur（Ⅱ）平面AA?D?D的一个法向量是DC?(010)，，．

22?0??1?1?0uuuruuur12因为cos?DH，DC??2?，

21?2uuuruuur所以?DH，DC??60o．

可得DP与平面AA?D?D所成的角为30．

?19．解：

（Ⅰ）由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

Y1 5 0.8 10 0.2 Y2 2 0.2 8 0.5 12 0.3 P EY1?5?0.8?10?0.2?6，

P DY1?(5?6)2?0.8?(10?6)2?0.2?4， EY2?2?0.2?8?0.5?12?0.3?8，

DY2?(2?8)2?0.2?(8?8)2?0.5?(12?8)2?0.3?12．

（Ⅱ）f(x)?D??x??100?x?Y1??D?Y2? ?100??100??x??100?x???DY?1???DY2 ?100??100?422??x?3(100?x) 2??1004?(4x2?600x?3?1002)， 2100600?75时，f(x)?3为最小值． 当x?2?4?20．解：

（Ⅰ）由C2：y2?4x知F2(1，0)． 设M(x1，y1)，M在C2上，因为MF2?得x1?2255，所以x1?1?， 33226，y1?． 33M在C1上，且椭圆C1的半焦距c?1，于是

8?4??1，?222 消去b并整理得 ?9a3b?b2?a2?1.?9a4?37a2?4?0，

解得a?2（a?1不合题意，舍去）． 3x2y2??1． 故椭圆C1的方程为43uuuruuuuruuur（Ⅱ）由MF1?MF2?MN知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，

因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，

26故l的斜率k?3?6．

23设l的方程为y?6(x?m)．

22??3x?4y?12，由? 消去y并化简得 ??y?6(x?m)，9x2?16mx?8m2?4?0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

16m8m2?4x1?x2?，x1x2?．

99uuruuur因为OA?OB，所以x1x2?y1y2?0． x1x2?y1y2?x1x2?6(x1?m)(x2?m)

?7x1x2?6m(x1?x2)?6m2

8m2?416m?7g?6mg?6m2

991?(14m2?28)?0． 9所以m??2．

此时??(16m)2?4?9(8m2?4)?0，

故所求直线l的方程为y?6x?23，或y?6x?23． 21．解： （Ⅰ）f?(x)?a?1，

(x?b)21?9?2a??3，a?，???a?1，2?b??4于是? 解得? 或?

1?b??1，?b??8.?a??0，?(2?b)2?3??因a，b?Z，故f(x)?x?1． x?11都是奇函数． x（Ⅱ）证明：已知函数y1?x，y2?所以函数g(x)?x?而f(x)?x?1?1也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． x1?1． x?1，平移，即得到函数f(x)的图像，故函数f(x)的图可知，函数g(x)的图像按向量a?(11)，为中心的中心对称图形． 像是以点(11)

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点?x0，x0???1??． x0?1?由f?(x0)?1?1知，过此点的切线方程为

(x0?1)22x0?x0?1?1?y???1?(x?x0)． 2?x0?1(x?1)0??令x?1得y??x?1?x0?1，切线与直线x?1交点为?1，0?．

x?1x0?1?0?令y?x得y?2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1，2x0?1)．

，． 直线x?1与直线y?x的交点为(11)从而所围三角形的面积为

1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2．

2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2．

22．解：

（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA?AM． 又因为AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，

OA2?OMgOP．

（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN?OK．

OK，又OB?OA， 同（Ⅰ），有OB?ONgOM?ONgOK，即所以OPg又∠NOP?∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90． 23．解：

（Ⅰ）C1是圆，C2是直线．

?2ONOM?． OPOKC1的普通方程为x2?y2?1，圆心C1(0，0)，半径r?1． C2的普通方程为x?y?2?0．

因为圆心C1到直线x?y?2?0的距离为1， 所以C2与C1只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

??x?cos?，?x???C1?：?（?为参数）； C2?：?1y?sin???y??2??2t?2，2（t为参数）． 2t412， x?22化为普通方程为：C1?：x2?4y2?1，C2?：y?联立消元得2x?22x?1?0， 其判别式??(22)2?4?2?1?0，

2所以压缩后的直线C2?与椭圆C1?仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同． 24．解：

?4， x≤4，?（Ⅰ）f(x)???2x?12， 4?x≤8，

??4 x?8.?图像如下：

y 4 2 1 -2 -1 O1 2 3 4 -2 8 x -4 （Ⅱ）不等式x?8?x?4?2，即f(x)?2， 由?2x?12?2得x?5．

5)．由函数f(x)图像可知，原不等式的解集为(?∞，

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