2012年海淀区二模数学试题及参考答案(理科)

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2012年海淀区高三二模数学（理科） 2012. 5

一、选择题:共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若sin cos <0，则角 是 （A）第一或第二象限角 （B）第二或第三象限角 （C）第三或第四象限角 （D）第二或第四象限角

2．已知命题p： x0 R，2（A） x0 R，2（C） x0 R，2

x0

x0

1，则 p是

（B） x0 R，2（D） x0 R，2

x0x0

1 1

1 1

x0

x 1 t

3．直线 （t为参数）的倾斜角的大小为

y 1 t

（A）

4

（B）

4

（C）

2

（D）

3 4

ìïïïx-ïï

4．若整数x,y满足ïíx+

ïïïïy£ïïî

（A）1

y 1,

y 1, 则2x+y的最大值是 3,2

（B）5

（C）2

（D）3

5．已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，

uuuruuur

那么PF1+PF2的最小值是

（A）0

6．

为了得到函数y=log2

（B）1

（C）2

（D

）y=log2x的图象上所有的点的 1

（A）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

21

（B）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

2

（C）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

7．某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形 都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

20 3（C）6

（A）

4 3（D）4

（B）

主视图

俯视图

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8．点P(x,y)是曲线C:y=

1

(x>0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交 x

于A,B两点，点O是坐标原点．给出三个命题： ① PA=PB；

②

OAB的周长有最小值4+；

③ 曲线C上存在两点M,N，使得 OMN为等腰直角三角形． 其中真命题的个数是 （A）1

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则DPAB的面积大于等于10．已知(x 1)10 a1 a2x a3x2 L a11x10．若数列a1,a2,a3,L,ak(1＃k

递增数列，则k的最大值是 ．

11．在DABC中，若?A

（B）2

（C）3

（D）0

1

的概率是_________． 4

11,k Z)是一个单调

120 ，c=5，D

ABC的面积为，则a ．

12．如图，eO的直径AB与弦CD交于点P，

CP=

7

, PD=5, AP=1，则ÐDCB＝______． 5

AB

13．

某同学为研究函数f(x)=

＃x

1)的性质，

DCF

构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是 边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)． 请你参考这些信息，推知函数f(x)的图象的对称轴是 ； 函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是 ．

A

BE

14．曲线C是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离之和为3的动点P的轨迹．

则曲线C与y轴交点的坐标是 ；又已知点B(a,1)（a为常数），那么PB+PA的 最小值d(a)＝ ．

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三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+6，且a1,a4,a13成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{

16．（本小题满分14分）

如图所示，PA^平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，?CBA点E为线段PB的中点，点M在»AB上，且OM∥AC． （Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC； （Ⅱ）求证：平面PAC^平面PCB；

（Ⅲ）设二面角M BP C的大小为 ，求cos 的值． 17．（本小题满分13分）

1

的前n项和公式． Sn

30 ，PA=AB=2，

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择： （1）投资A项目一年后获得的利润

且X1的数学期望E(X1) 12；

（2）投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售

情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别 为p(0 p 1)和1 p．经专家测算评估B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如

（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求X2的分布列；

（Ⅲ）若E(X1) E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．

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18．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的右焦点为F

(1,0)，且点( 1,在椭圆C上．

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点．试问x轴上是否存在定点Q，

uuruuur7使得QA QB 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

16

19．（本小题满分14分）

已知函数f(x) aln(x a) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若 1 a 2(ln2 1)，求证：函数f(x)只有一个零点x0，且a 1 x0 a 2； （Ⅲ）当a

12

x x(a 0)． 2

4

时，记函数f(x)的零点为x0，若对任意x1,x2 [0,x0]且x2 x1 1, 5

都有f(x2) f(x1) m成立，求实数m的最大值．

（本题可参考数据：ln2 0.7,ln

20．（本小题满分13分）

*

将一个正整数n表示为a1+a2+L+ap(p N)的形式，其中aiÎN*，i=1,2,L,p，

99

0.8,ln 0.59） 45

且a1 a2 L ap，记所有这样的表示法的种数为f(n)（如4 4，4 1 3，4 2 2，

4 1 1 2，4 1 1 1 1，故f(4) 5）．

（Ⅰ）写出f(3)，f(5)的值，并说明理由；

（Ⅱ）对任意正整数n，比较f(n 1)与[f(n) f(n 2)]的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数n 6时，求证：f(n) 4n 13．

1

2

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海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（理科）参考答案

2012．05

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二.填空题：本大题共

6小题，每小题5分，共30分. 9、

1

； 10、６； 11 ； 12、45°； 2

ìï a?1.4或a 1,ïï1

13、x=，2 ； 14、(0,±；ïía+4, -1.4<a?1,

ï2ï2-a, -1<a<1.ïïïî

注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d¹0. 因为S3=a4+6，所以3a1+

3创2d

=a1+3d+6. ① …………………3分 2

因为a1,a4,a13成等比数列，所以a1(a1+12d)=(a1+3d)2. ② ………5分

由①，②可得：a1=3,d=2. ……………………………………6分 所以an=2n+1. ……………………………………7分 （Ⅱ）由an=2n+1可知：Sn=

所以

(3+2n+1) n

=n2+2n.………………9分

2

11111==(-). ……………………………………11分 Snn(n+2)2nn+2

所以

11111+++ ++S1S2S3Sn-1Sn

=

11111111111(-+-+-+ +-+-) 2132435n-1n+1nn+2

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111113n2+5n

. =(+--)=

212n+1n+24(n+1)(n+2)

3n2+5n1

所以数列{的前n项和为. …………13分

Sn4(n+1)(n+2)

16、（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以 OE∥PA.…………1分 因为 PAÌ平面PAC，OEË平面PAC，所以 OE∥平面PAC. ………………2分

因为 OM∥AC，因为 ACÌ平面PAC，OMË平面PAC，

所以 OM∥平面PAC. ……………………………………3分

因为 OEÌ平面MOE，OMÌ平面MOE，OE OM=O，

所以 平面MOE∥平面PAC. ………………………………………5分 （Ⅱ）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，

所以 ?ACB90 ，即BC AC.

因为 PA^平面ABC，BCÌ平面ABC， 所以 PA BC. ………………………7分

因为 ACÌ平面PAC，PAÌ平面PAC，PA AC=A， 所以 BC^平面PAC.

因为 BCÌ平面PBC， 所以 平面PAC^平面PCB.………9分 （Ⅲ）解：如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，

CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C xyz．

因为 ?CBA

30 ，PA=AB=2，所以

CB=2cos30?AC=1.延长MO交CB于点D.

因为 OM∥AC，所以

MD^CB, MD=1+

131. =,CD=CB=

2223

所以 P(1,0,2)，C

(0,0,0)，B

，M(,

2 ìïm?CPï设平面PCB的法向量m=(x,y,z).因为 í ïïîm?CB

.所以 CP=(1,0,2)，CB=. 2

ì(x,y,z)?(1,0,2)0,ìx+2z=0,ïïï所以

í即ï íïï0.ïî

(x,y,z)?0,ïî=0.

0,

令z=1，则x=-2,y=0.所以 m=(-2,0,1). ………………………12分

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同理可求平面PMB的一个法向量

n . …………………………13分 所以 cosm,n 17、（本小题满分13分）

m n11

.所以 cos =. ………………………14分

5m n5

a 0.4 b 1,

解：（Ⅰ）由题意得： 解得：a=0.5,b=0.1. ………………3分

11a 12 0.4 17b 12.

（Ⅱ）X2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.

P X2 4.12 (1 p) 1 (1 p) p(1 p)，

P X2 11.76 p 1 (1 p) (1 p)(1 p) p2 (1 p)2，

P X2 20.40 p(1 p).

所以X2的分布列为:

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：E X

2

22

4.12p(1 p) 11.76 p (1 p) 20.40p(1 p)

p2 p 11.76

2

. ……………………………………11分

因为E(X1)< E(X

2)，所以12<-p+p+11.76

.

所以0.4<p<0.6.当选择投资B项目时，p的取值范围是 18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知：c=1. 根据椭圆的定义得：2a=

0.4,0.6 .…………13分

a=.……………………3分

x2

y2 1. ………………………4

分

所以 b=2-1

=1. 所以 椭圆C的标准方程为2

2

7

（Ⅱ）假设在x轴上存在点Q(m,0)，使得QA QB 恒成立.

16

当直线l的斜率为0时，AB(.

则 m,0)?(

m,0)=-

75. 解得 m= . …………………6分 164

当直线l的斜率不存在时，AB(1,.

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557

，所以m?. ,-?

44216

57

下面证明m=时，QA QB 恒成立. ……………8分

416

7

显然 直线l的斜率为0时，QA QB .

16

由于(1+

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

5?(142

ìïx2ï+y2=1,ï 由í2可得：(t2+2)y2+2ty-1=0. 显然 >0. ïïïîx=ty+1

ì2tïïy+y=-,12ï2ït+2

ï…………10分 因为 x1=ty1+1，x2=ty2+1， í

ï1ïy1y2=-2.ïït+2ïî

所以 (x1-2

5

,y1)?(x2451111,y2)=(ty1-)(ty2-)+y1y2=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+ 444416

112t1-2t2-2+t217+t2+ =-(t+1)2. =+=-t+24t+2162(t2+2)1616

57

综上所述：在x轴上存在点Q(,0)，使得QA QB 恒成立.…………13分

416

19、（本小题满分14分）

a x2 (a 1)x

x 1 （Ⅰ）解：f(x)的定义域为(a, ).f'(x) .……………1分 x ax a

令f'(x) 0，x 0或x a+1.

当 1 a 0时，a+1 0，函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：

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所以，函数f(x)的单调递增区间是(0,a+1)，单调递减区间是(a,0)和(a+1,+ ).………3分

x2

当a=-1时，f'(x) 0. 所以，函数f(x)的单调递减区间是(-1,+ ).…………4分

x 1

当a 1时，a+1 0，函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：

所以，函数f(x)的单调递增区间是(a+1,0)，单调递减区间是(a,a+1)和(0,+ ).……5分 （Ⅱ）证明：当 1 a 2(ln2 1) 0时，由（Ⅰ）知，f(x)的极小值为f(0)，极大值为f(a 1).

)a因为f(0

11

l na( ，)f(a 1) (a 1)2 (a 1) (1 a2) 0，且f(x)在

22

(a+1,+ )上是减函数，

所以f(x)至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为f(a 2) aln2

121

a a a[a 2(ln2 1)] 0， 22

所以 函数f(x)只有一个零点x0，且a 1 x0 a 2.…………9分 （Ⅲ）解：因为 1

4

2(ln2 1)， 5

所以 对任意x1,x2 [0,x0]且x2 x1 1,

)可知：x1 [0,a 1)，x2 (a 1,x0]，且x2 1.…10分 由(Ⅱ

因为 函数f(x)在[0,a+1)上是增函数，在(a+1,+ )上是减函数， 所以 f(x1) f(0)，f(x2) f(1). ………………11分 所以 f(x1)-f(x2)?f(0)

f(1).当a

4

时， 5

f(0) f(1) aln(

a1491

) =ln >0. a 12542

所以 f(x1)-f(x2)?f(0)

f(1)>0. ……………………………………13分

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491ln . 542

491

所以 使得f(x2) f(x1) m恒成立的m的最大值为ln .……………14分

542

所以 f(x2) f(x1)的最小值为f(0) f(1)

20、（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f(3) 3．

因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以f(5) 7．……3分

（Ⅱ）结论是f(n 1)

1

[f(n) f(n 2)]. 2

证明如下：由结论知，只需证f(n 1) f(n) f(n 2) f(n 1).

因为n 1 2，把n 1的一个表示法中a1=1的a1去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的

一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n 1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数，所以f(n 1) f(n)表示的是n 1的表示法中a1¹1的表示法数，f(n 2) f(n 1)是

n+2的表示法中a1¹1的表示法数．

同样，把一个a1¹1的n 1的表示法中的ap加上1， 就可得到一个a1¹1的n+2的表示法，这样就构造了从a1¹1的n 1的表示法到a1¹1的n 2的表示法的一个对应.

所以有f(n 1) f(n) f(n 2) f(n 1).……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：

当正整数m³6时，f(m)-f(m-1)?f(m1)-f(m-2)吵 又f(6) 11,f(5) 7, 所以 f(m)-f(m-1) 4. *

对于*式，分别取m为6,7, ,n，将所得等式相加得

f(6)-f(5).

f(n) f(5) 4(n 5).即f(n) 4n 13．……13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s3mj.html