7.3 直线、平面垂直的判定与性质-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

1 §7.3 直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线a 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(2)范围：???

?0，π2. 3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

概念方法微思考

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一思考辨析

2

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)

(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)

(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)

题组二教材改编

2．(多选)下列命题中正确的有()

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案ABC

解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．

答案(1)外(2)垂

解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

3

4

(2)如图2，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于点H ，D ，G .

∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ?平面P AB ，

∴PC ⊥平面P AB ，又AB ?平面P AB ，∴PC ⊥AB ，

∵AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ，PO ，PC ?平面PGC ，

∴AB ⊥平面PGC ，又CG ?平面PGC ，

∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高．

同理可证BD ，AH 分别为△ABC 边AC ，BC 上的高，

即O 为△ABC 的垂心．

题组三 易错自纠 4．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由l ⊥α且m ∥α能推出m ⊥l ，充分性成立；

若l ⊥α且m ⊥l ，则m ∥α或者m ?α，必要性不成立，

因此“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分不必要条件，故选A.

5.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O ，M ，N 分别是线段BD ，DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM 与AC ，MN 的位置关系是( )

A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直

答案A

解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，

则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，

ON＝1＋4＝5，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()

A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC

答案AB

5

解析易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.

直线与平面垂直的判定与性质

例1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．

(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.

又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，

所以BE⊥平面EB1C1.

(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，

故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.

如图，作EF⊥BB1，垂足为F，

6

7 则EF ⊥平面BB 1C 1C ，

且EF ＝AB ＝3.

所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13

×3×6×3＝18. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：(1)EF ∥平面ABC ；

(2)AD ⊥AC .

证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，

则AB ∥EF .

又因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，

所以EF ∥平面ABC .

(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，

平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ?平面BCD ，BC ⊥BD ，

所以BC ⊥平面ABD .

因为AD ?平面ABD ，所以BC ⊥AD .

又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，

8 所以AD ⊥平面ABC .

又因为AC ?平面ABC ，所以AD ⊥AC .

平面与平面垂直的判定与性质

例2 (2019·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，F A ⊥平面ABCD ，ED ∥F A ，且AB ＝F A ＝2ED ＝2.

(1)求证：平面F AC ⊥平面EFC ；

(2)求多面体ABCDEF 的体积．

(1)证明 连结BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ，连结OP ，EP ，

∵O ，P 分别为AC ，FC 的中点，

∴OP ∥F A ，且OP ＝12F A ，

∴OP ∥ED 且OP ＝ED ，

∴四边形OPED 为平行四边形，

∴OD ∥EP ，即BD ∥EP ，

∵F A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴F A ⊥BD ，

∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，

∵F A ∩AC ＝A ，F A ，AC ?平面F AC ，

9 ∴BD ⊥平面F AC ，即EP ⊥平面F AC ，

又EP ?平面EFC ，∴平面F AC ⊥平面EFC .

(2)解 V F －ABC ＝13S △ABC ·F A ＝13×34×4×2＝233

， ∵F A ⊥平面ABCD ，F A ?平面ADEF ，

∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，作CG ⊥AD 于点G ，

又平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，∴CG ⊥平面ADEF ，

∴C 到平面ADEF 的距离CG ＝32CD ＝3， ∴V C －ADEF ＝13×(1＋2)×22×3＝3， ∴V ABCDEF ＝V F －ABC ＋V C －ADEF ＝

533. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义．

②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ?α?α⊥β)．

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

跟踪训练2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .

(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23

DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．

10 (1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC .

又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ?平面ACD ，

所以AB ⊥平面ACD .

又AB ?平面ABC ，

所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.

又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.

如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，

则QE ∥DC 且QE ＝13DC .

由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ，

所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.

因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.

垂直关系的综合应用

例3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．

(1)证明：△PBC 是直角三角形；

11 (2)若P A ＝AB ＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．

(1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．∴BC ⊥AC ，

∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ，

又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ?平面P AC ，

∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，

∴△BPC 是直角三角形．

(2)解 如图，过A 作AH ⊥PC 于H ，

∵BC ⊥平面P AC ，

∴BC ⊥AH ，

又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ?平面PBC ，

∴AH ⊥平面PBC ，

∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成的角，

∵P A ⊥平面ABC ，

∴∠PCA 即是PC 与平面ABC 所成的角，

∵tan ∠PCA ＝P A AC ＝2，

又P A ＝2，∴AC ＝2，

∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2

＋AC 2＝23

3，

12 ∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33

， 即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为

33. 思维升华 (1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．

(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．

跟踪训练3 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是( )

①A ′C ⊥BD ；

②∠BA ′C ＝90°；

③CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°；

④四面体A ′－BCD 的体积为13

. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案 B

解析 ∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ，

∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，

取BD 的中点O ，连结OA ′(图略)，

∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD .

又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，A ′O ?平面A ′BD ，

∴A ′O ⊥平面BCD .BD ⊥CD ，∴OC

不垂直于BD .

13 假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，

∴OC ⊥BD ，矛盾，故①错误；

∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，且平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，

∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′B ?平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B .

∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，

∴A ′B ⊥A ′D ，又CD ∩A ′D ＝D ，CD ，A ′D ?平面A ′CD ，

∴A ′B ⊥平面A ′CD ，又A ′C ?平面A ′CD ，

∴A ′B ⊥A ′C ，故②正确；

∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，故③错误； V A ′－BCD ＝V C －A ′BD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，故④错误．

故选B.

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )

A ．m ∥l

B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

答案 C

解析 因为α∩β＝l ，所以l ?β，又n ⊥β，所以n ⊥l .

2．(2019·天津模拟)已知直线l ，m 与平面α，β，l ?α，m ?β，则下列命题中正确的是(

) A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥β

C ．若l ⊥β，则必有α⊥β

D ．若α⊥β，则必有m ⊥α

答案 C

解析 对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误；

14 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；

对于选项C ，因为l ?α，l ⊥β，所以α⊥β.所以选项C 正确；

对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误．

3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94

，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )

A.5π12

B.π3

C.π4

D.π6

答案 B

解析 如图，取正三角形ABC 的中心O ，连结OP ，则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角．

因为底面边长为3，

所以AD ＝3×32＝3

2，AO ＝2

3AD ＝2

3×3

2＝1. 三棱柱的体积为3

4×(3)2AA 1＝94，

解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3，

所以tan ∠P AO ＝OP OA ＝3，

因为直线与平面所成角的范围是????0，π

2，

所以∠P AO ＝π

3.

4.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是(

)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

答案C

解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()

A．2个B．3个C．4个D．5个

答案C

解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，

所以PD⊥DC，PD⊥BC，

又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，

因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，

所以四面体P－DBC是一个鳖臑，

因为DE?平面PCD，所以BC⊥DE，

因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，

15

因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，

可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，

同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑，

故选C.

6．(2020·苏州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为()

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段

D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段

答案A

解析如图，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，

因为AP⊥BD1，所以AP?平面ACB1，

又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，

∴故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.

7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是()

16

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．平面ACC1A1⊥CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

答案ABC

解析对于A，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；

对于B，连结AC，

∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；

对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，

又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，

则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；

对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．

故选ABC.

8．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()

A．平面D1A1P⊥平面A1AP

17

18 B ．∠APD 1的取值范围是???

?0，π2 C ．三棱锥B 1－D 1PC 的体积为定值

D ．DC 1⊥D 1P

答案 ACD

解析 在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1?平面D 1A 1P ，

所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；

在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2

，故B 错误； 在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，

所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，

所以三棱锥B 1－D 1PC 的体积为定值，故C 正确；

在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ?平面BCD 1A 1，

所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，又D 1P ?平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．

9．(2019·北京)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.

答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)

解析 若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，显然①③?②正确；若l ⊥m ，m ∥α，则l ∥α，l 与α相交但不垂直都可以，故①②?③不正确；若l ⊥α，m ∥α，则l 垂直于α内所有直线，在α内必存在与m 平行的直线，所以可推出l ⊥m ，故②③?①正确．

10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)

答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)

解析∵P A⊥底面ABCD，∴BD⊥P A，连结AC，

则BD⊥AC，且P A∩AC＝A，

∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD 交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若AF⊥EF，求证：平面P AD⊥平面ABCD.

证明(1)因为四边形ABCD是矩形，

所以AB∥CD.

又AB?平面PDC，CD?平面PDC，

所以AB∥平面PDC，

又因为AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，

所以AB∥EF.

(2)因为四边形ABCD是矩形，

所以AB⊥AD.

19

20 因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB ∥EF ，

所以AB ⊥AF .

由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以点F 异于点D ，

所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ?平面P AD ，

所以AB ⊥平面P AD ，

又AB ?平面ABCD ，

所以平面P AD ⊥平面ABCD .

12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点M

是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14

PB .

(1)证明：MN ∥平面PDC ；

(2)求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值．

(1)证明 因为AB ＝BC ，AD ＝CD ，

所以BD 垂直平分线段AC .

又∠ADC ＝120°，所以MD ＝12AD ＝12，AM ＝32

. 所以AC ＝ 3.

又AB ＝BC ＝3，所以△ABC 是等边三角形，

所以BM ＝32，所以BM MD

＝3， 又因为PN ＝14PB ，所以BM MD ＝BN NP

＝3， 所以MN

∥PD .

21 又MN ?平面PDC ，PD ?平面PDC ，

所以MN ∥平面PDC .

(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

所以BD ⊥P A ，

又BD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ?平面P AC ，

所以BD ⊥平面P AC .

由(1)知MN ∥PD ，

所以直线MN 与平面P AC 所成的角即直线PD 与平面P AC 所成的角，故∠DPM 即为所求的角．

在Rt △P AD 中，PD ＝2，

所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝122＝14

， 所以直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值为14

.

13．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在这个空间图形中必有( )

A ．AG ⊥平面EFH

B ．AH ⊥平面EFH

C ．HF ⊥平面AEF

D ．HG ⊥平面AEF 答案 B

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