投资学习题

风险资产与无风险资产

1可选择的证券包括两种风险股票基金：A、B和短期国库券，所有数据如下： 期望收益% 标准差% 10 20 股票基金A 30 60 股票基金B 5 0 短期国库券 基金A和基金B的相关系数为-0.2。 （1） 画出基金A和基金B的可行集(5个点)。

（2） 找出最优风险投资组合P及其期望收益与标准差。

（3） 找出由短期国库券与投资组合P支持的资本配置线的斜率。

（4） 当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A、B和短期国库券中各投资

多少？

解：(1)

基金之间的协方差为cov(rA,rB)????A??B=(?0.2?20?60)??240

wa wb Sigma% E（r）% 0.0 1.0 30 60 0.2 0.8 26 47.36243 0.4 0.6 22 35.28172 0.8 0.2 14 17.97776 1.0 0.0 10 20 (2)最优风险组合的权重为 wa?0.6818，wb?1?0.6818=0.3182

期望收益和标准差

E(rp)?(0.6818?10)?(0.3182?30)?16.36%

?P?{(0.6818?20)?(0.3182?60)?2?0.6818?0.3182(?240)}?21.13% （3）资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为

S?E(rp)?rf22221/2??16.36%?5!.13%?0.5376

p（5） 在给定的风险厌恶系数A的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为

y?E(rp)?rf0.01A?2P?16.36?50.01*5*21.132?0.5089

这意味着A=5时的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入50.89%的财产，由于A、B两种股票在投资组合的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：

股票A：0.5089*68.18%=34.70% 股票B：0.5089*31.82%=16.19% 总额：50.89%

2假定一个风险证券投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布，E(r)?15%,??60%，相关系数??0.5

（1）含有25种股票的等权重投资组合期望收益和标准差是多少？

（2）构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？ （3）这一投资组合的系统风险为多少？

（4）如果国库券的收益率为10%，资本配置的斜率为多少？ 解：（1）E(rp)?15%,?（2）?22p?[?2/n???(n?1)/n]21/2?43.72%

/n???(n?1)/n?43%^2

即3600?1800n?1800?1849n,n?1800/49?36.73 所以至少要37只股票组合才能达到目标。

（3）当n变得非常大时，等权重有效投资组合的方差将消失，剩下的方差来自股票间的协方差：

?p????2?0.5?60%?42.23%

因此，投资组合的系统风险为43%，非系统风险为57%。

（4）如果无风险利率为10%，那么不论投资组合的规模多大，风险溢价为15%-10%=5%，充分分散的投资组合的标准差为42.43%，资本配置线的斜率为S=5/42.43=0.1178。

3（1）一个投资组合的预期收益率是14%，标准差是25%，无风险利率是4%。一个投资者的效用函数是U?E(r)?0.5A?2。A值为多少时，投资者会对风险投资组合和无风险资产感到无差异？

利用下表数据回答1，2，3问题 表 投资 预期收益率 标准差 A 0.12 0.29 B 0.15 0.35 C 0.24 0.38 D 0.29 0.44 U?E(r)?0.5A? 其中A=3.

2（2）根据上面的效用函数，你会选择哪一项投资？

（3）根据上面资料，如果你是一个风险中性的投资者，你会如何投资？ （4）如果对一个投资者来说，上述的公式中A=-2，那么这个人会选择哪一项投资？为什么？ （1）A=3.2 （2）投资C （3）D （4）D

因为风险爱好者风险厌恶系数是负的，为了获得更高的收益，他们更喜欢冒险。

优化投资组合

利用下面的数据，回答如下问题

短期国库券的收益现在是4.90%，你已经建立了一个最优风险资产投资组合，投资组合P，即你把23%的资金投资到共同基金A，把77%的资金投资到共同基金B。前者的收益率是8%，后者的收益率是19%。

（1） 投资组合P的预期收益率是多少？

（2） 假定你设计了一个投资组合C，其中34%的资金投资到无风险资产，其余的投资到

组合P中，那么这个新的投资组合的预期收益是多少？

（3） 如果投资组合P的标准差是21%，这个新组合的标准差是多少？确定在新的投资组

合中无风险资产、共同基金A和共同基金B的权重。

答：（1）E(rP)?0.23?8%?0.77?19%?16.47% （2）E(rC)?0.34?4.9%?(1?0.34)?16.47%?12.54% （3）?C?(1?0.34)?21%?13.86%

同基金A（0.23*66%=15.18%）和共同基金B（0.77*66%=50.82%）无风险资产34%

指数模型

3以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。 平均超额收益? 股票 资本化（元） 标准差% 率% A 3000 1.0 10 40 B 1940 0.2 2 30 C 1360 1.7 市场指数组合的标准差为25%，请问： （1） 市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？ （2） 股票A与股票B之间的协方差为多大？ （3） 股票B与指数之间的协方差为多大？

（4） 将股票B的方差分解为市场和公司特有两部分。 解：（1）总市场资本为3000+1940+1360=6300 市场指数投资组合的平均超额收益率为

3000/6300*10+1940/6300*2+1360/6300=17=9.05% （2）股票A与股票B的协方差等于

cov(rA,rB)??A?B?M?1.0*0.2*25"17 50 ?0.0125

2（3）股票B与指数之间的协方差为

cov(rB,rM)??M?B?M??B?M?0.2*25"2?0.0125

222（5） 股票B的方差?B?Var(?BrM?eB)??B?M??(eB) 系统风险：?B?M=0.2^2*25%^2=0.0025

B特有方差等于?(eB)??B??B?M?30%^2?0.0025??0.0875

4假设用指数模型估计的股票A和股票B的超额收益的结果如下： RA?1.0%?0.9RM?eA RA??2.0%?1.1RM?eB

222222?M?20%,?(eA)?30%,?(eB)?10% 计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。

222解：各种股票的方差为：??M??(e)

对于股票A，有：?22A2?0.90?0.2^2?0.3^2?0.1224，?A?35%

对于股票B，有：?B?1.10?0.2^2?0.1^2?0.0584，?B?24% 协方差为：?A?B?M?0.9*1.1*0.2^2?0.0396 对股票A和股票B分析估计的指数模型结果如下： RA?0.12?0.6RM?eA RB?0.04?1.4RM?eB

?M?0.26 ?(eA)?0.20 ?(eB)?0.10 （1） 股票A和股票B收益之间的协方差是多少？ （2） 每只股票的方差是多少？

（3） 将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中 （4） 每只股票和市场指数的协方差是多少？ （5） 两只股票的相关系数是多少？

2答：（1）cov(rA,rB)??A?B?M?0.6*1.4*0.26^2?0.2417

（2）?A?M??(eA)?0.6^2*0.26^2?0.20^2?0.064336 ?B?M??(eB)?1.4^2*0.26^2?0.10^2?0.142496

222222(3)系统性风险?A?M=0.6^2*0.26^2=0.0243，公司风险?(eA)=0.2^2=0.04 系统性风险?B?M=1.2^2*0.26^2=0.1325，公司风险?(eB)=0.1^2=0.01 (4)?A?M?0.6*0.26^2?0.0406 ?B?M?1.4*0.26^2?0.0946

22222222(5)?A?B?M/(?A?B)=0.5931

CAPM

2你预计无风险利率是6.1%，市场投资组合的预期收益是14.6%。

（1） 利用CAPM，根据下表所提供的数据，计算股票4的预期收益 （2） 画出证券市场线

（3） 在证券市场线上，找出每样资产对应的点

（4） 确定每样资产是被低估、被高估还是定价准确，计算其? 股票1 股票2 股票3 ? -0.1 0.67 1.95 CAPM的E(r) 6.29% 9.08% 27.24% 实际的E(r) 定价准确吗？ ? 答： 股票1 股票2 股票3 ? -0.1 0.67 1.95 5.25% 11.80% 22.68% CAPM的E(r) 6.29% 9.08% 27.24% 实际的E(r) 定价准确吗？ 被低估 被高估 被低估 2.23% -1.61% 8.63% ?错 ? （6.29-5.25）% （9.08-11.80）% （27.24-22.68）% 证券市场线是如何估计出来的？ 答：做回归，形式是：

ri?rf??0??1bi，如果CAPM是有效的，?0?0,?1?ri?rf

股票4 2.2 24.80% 股票4 2.2 24.80% 24.80% 合理定价 0.00% 0.00% 5（股票定价）：公司i在时期1将发行100股股票，公司在时期2的价值为随机变量V2。公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以至股票的持有者有资格获得完全的收益现金流。最后，给出有关测算数据如下：

1000$之概率p=1/2， V2=

800$之概率p=1/2，

cov(ri,rM)?0.045,var(rM)?0.30,rf?0.10,E(rM)?0.20.

试确定每股的合理价值。 解：应用证券市场线方程

E(ri)?rf?E(rM)?r?(rM)2cov(ri,rM)

=0.10?0.20?0.100.09?0.045?0.15

即普通股所需的收益率为15%，这意味着市场将以15%贴现E(V2)，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有

E(V2)?12?1000?12?800?900$

以15%贴现，V1=900/1.15$，因有100股，故每股价值为7.83$。

6（债券定价）：有一面值为100$的债券，约定到期收益率为8%，假设在债券有效期内有70%的可能收回本金及获取利息，30%的可能不能还本付息，但将支付50$的承保金。即可将债券在时期2的价值表示为随机变量。

?108$之概率P?0.70Q(2)??

50$之概率P?0.30?又设cov(Q,rM)?7，其他数据如上题，试确定债券在时期1的合理价值与市场所需的

期望收益率。

解：由资本资产定价公式P?的合理价值为

P?11?rf[E(Q)?cov(Q,rM)(E(rM)?rf)11?rf[E(Q)?cov(Q,rM)(E(rM)?rf)?2M]，债券在时期1

?2M]

?82.82?75.29$

=

90.60?[(0.20?0.10)/0.09]?71.10市场所需的期望收益率为E(r)?1.101.10E(Q)?P90.60?75.29P?90.60?7.78=

75.29=20.33%

7公司i在时期1的市场价值为900$。现有一项目，其在时期2的期望收益为E(Vi)=1000$。又E(rM)=15%，r=5%。公司现考虑一新的投资项目，其单位成本为60$。时期2的收益现金收益流为E(Fi)?130$，cov(Fi,rM)/?(rM)?250$，问管理者应怎样考虑这个新项目？

解：由资本资产定价公式P?1000?0.1011?r[E(Vi)?cov(Vi,rM)(E(rM)?r)2?2M]

cov(Vi,rM)得900?求解上式得

cov(Vi,rM)?2M1.05

?2M?550$

又cov(Vi?Fi,rM)?cov(Vi,rM)?cov(Fi,rM), 故

cov(Vi?Fi,rM)?(rM)2=550+250=800$

又E(Vi?Fi)?1000?130?1130$

假如投资新项目，那么公司在时期1的总收入（不考虑投资成本）是

P???11?rf[E(Vi?Fi)??cov(Vi?Fi,rM)(E(rM)?rf)??1000$

2M]

1130?800?0.101.0510501.05因为公司市场价值比原来上涨了100$，而投资成本为60$，故可以得到补偿，所以可以投资新项目。

套利定价

8在多因素证券市场线中，假设现在股票的期望收益率为10%，无风险利率为4%。对于一个充分分散的投资组合G，其?为1/3，期望收益率为5%，是否存在套利机会？若存在，套利的策略是什么？计算出这种策略在零净投资的条件下无风险收益的结果。

解：证券市场现表明这个投资组合的期望收益应该为4%+1/3（10-4）=6%。实际期望收益

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