概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表

示，Ω表示必然事件，

?表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事

件B发生，则称A被包含于B，记为A?B;

（2）相等关系：若A?B且B? A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容：如果A∩B=

?，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容

7、事件运算

（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩ B或AB。

（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 A－B。用交并补可以

表示为A?B?AB。

（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即 “A不发生”，记为A。

对立事件的性质：A?B??,A?B??。

8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA

（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、 A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB

∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：A?B?A?B A?B?A?B

9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ

称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：

（1）Ω∈ξ;

(2)若A∈ξ，则对立事件A∈ξ； （3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并

?Ann?1??ξ 。

10、两个常用的事件域：

（1）离散样本空间?（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；

2

（2）连续样本空间?（如R、R等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步

扩展而成的事件域。

第二节 概率的定义及其确定方法

1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足： （1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1

（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有

????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1，

即P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)??，则称P（A）

为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间

2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）

它的基本思想是：

（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；

（2） 在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称 fn(A)=

n（A）， 为事件A出现的频率； n（3） 频率的稳定值就是概率；

（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法：

它的基本思想是：

（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为

P（A）?A所包含的基本事件数k=。 n基本事件总数4、确定概率的几何方法：

它的基本思想是：

（1） 如果一个随机现象的样本空间?充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）

大小可用Sn表示；

（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；

（3） 若事件A为?中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为

P（A）=

SA. S?5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能

性大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节 概率的性质：

1、 P(Φ)＝0

2、 有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有

????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1，

3、 对立事件的概率：对任一事件A，有P(A)?1?P(A)

4、 减法公式（特定场合）：若A?B,则P(A－B)＝P(A)－P(B)

5、 单调性：若A?B，则P（A）? P（B） 6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB) 7、 加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

对任意n个事件A1，A2，···，An，有

P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?a?P(AiAj)?1?i?j?k?a?P(AAA)???(?1)ijkn?1P(A1A2?An)

8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有P（A?B）?P(A)?P(B). 9、 事件序列的极限：

（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列F1?F2???Fn??，称为可列并

??Fn?1?n为极限{Fn}的极限事件，记为

n??limFn??Fn。

n?1（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列E1?E2???En??，称为可列交

?En?1?n为极限{En}的极限事件，记为limEn?n???En?1?n。

若limP(En)?P(limEn),则称概率P是上连续的

n??n??10、 概率的连续性：若P为事件域ξ 上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的 11、 若P是ξ上满足P（Ω）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P

具有有限可加性和下连续性。

第四节 条件概率

1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=下，事件A发生的条件概率。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式：

（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A1A2…An-1)>0，则有

P(AB)为事件B发生条件P(B)P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。

3、全概率公式：设事件B1,B2,?,Bn互不相容，且

n?Bi?1jni如果P(Bi)?0(i?1,2,?,n)，??，

则对任一事件A有P(A)?··，n。 ?P(B)P(A|B)，i=1,2,·

ii?1P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn) 。

4、贝叶斯共公式：设事件B1，B2，…，Bn互不相容，且

n?Bi?1i??，如果P（A）>0，

P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则

P（Bi|A）?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，（i?1，2，…，n），通常叫Bi的先验概率。（i?1，2，…，n），通常称为Bi的后验概率。 P(Bi/A)，

第五节 独立性

1、两个事件的独立性：如果满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的，

简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依。

若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有

P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A)

2、若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。

3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，···，An，如果对任意的1?

I

P(AiAj)?P(Ai)P(Aj)??P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)? ??????P(AiAjAkAn)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(An)则称此n个事件A1，A2，···，An相互独立。

4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。

5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果（事件）都是相互

独立的事件，则称这两个试验相互独立。

6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n

次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A与A，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。

第二章 随机变量及其分布

第一节 随机变量及其分布

1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。

（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量

（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-∞，b可为

+∞。 2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数F(x)?P{X?x}为X的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质：

（1） 单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1

?F(x0)，（2） 右连续性：F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有lim?F（x）x?x0即F(x0+0)=F(x0)；

（3） 有界性:对任意的x，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=limF(x)=0，

x?-?F(+∞)=limF（x）=1

x???可以证明：具有上述三条性质的函数F（x）一定是某一个随机变量的分布函数。

如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间

(??,x]内的概率

3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量X的可能取值为xn(n=1,2,…)则

称X取xi的概率为Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：

Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。

分布列具有两条基本性质：

（1） 非负性;p（xi）?0，i?1,2，?， （2）正则性:

离散随机变量X的分布函数F(x)????p（x）?1。

ii?1xi?x，它是有限级或可列有限级阶梯函数。?p（x）i离散随机变量X取值于区间（a，b ]上的概率为P(a

4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量X的分布函数是F(x)，若存在非负可积

x函数p（x），对任意实数x，有F（x）?-??p（t）dt，则称X为连续型随机变量。

p（x）称为X的概率密度函数，简称密度函数。

密度函数p（x）具有下面2个基本性质： （1） 非负性:p（x）?0;

??（2） 正则性：

-??p(x)dx?1。

5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以

是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。 6、设随机变量X的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率： （1）P(X≤a)= F(a)； （2）P(X

（3）P(X>a)=1-P(X≤a) =1-F(a)；

(4) P(X=a)= P(X≤a)- P(X

(6) P(|X|

1、 数学期望：设随机变量X的分布列p（xi）或用密度函数p（x）表示，若

??|xi|p（xi）???，当X为离散随机变量?i， ???xp（x）dx???，当X为连续随机变量???-???xip（xi），当X为离散随机变量?i则称E(X)=??? 为X的数学期望，简称期

??xp（x）dx，当X为连续随机变量?-?望或均值，且称X的数学期望存在。否则数学期望不存在。

数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。 2、 数学期望的性质：假设数学期望存在， （1） X

的

某

一

函

数

g

（

X

）

的

数

学

期

望

为

??g（xi）p（xi），在离散场合? E[g（X）]???i?g（x）p（x）dx，在离散场合???-?（2） 若C为常数，则E(C)=C

（3） 对任意常数C，有E(CX)=CE(X) （4） 对任意的两个函数g1（x）和g2（x），E[g1（x）±g2（x）] = E[g1（x）]±E[g2（x）] （5） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CX)??CE(X)

iiiii?1i?1nn（6） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 第三节 随机变量的方差与标准差

2

1、 方差：随机变量X对其期望E（X）的偏差平方的数学期望（设其存在）Var（X）=E[X-E(X)]

称为X的方差，方差的正平方根σ（X）=σX=Var（X）称为X的标准差。 方差是由分布决定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布

就越集中。标准差与方差的功能相似，只是量纲不同。 2、 方差的性质：假设方差存在，

22

（1） Var（X）=E(X)-[E(X)] （2） 若c是常数，则Var（c）=0

2

（3） Var（aX+b）= aVar（X）

（4） 若随机变量X的方差存在，则Var（X）=0的充要条件是X几乎处处为某个常数

a，即P（X=a）=1

（5） 若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )

3、 切比雪夫不等式:设X的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε>0,有

P(|X?E(X)|??)?Var（X）?2,或P(|X?E(X)|??)?1?Var(X)?2。切比雪夫不等

式给出随机变量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)| ≥ε}）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。

4、 随机变量的标准化：对任意随机变量X，如果X的数学期望和方差存在，则称

X*?

X?E(X)Var（X） 为X的标准化随机变量，此时有E(X)=0，Var（X）=1。

**

第四节 常用离散分布

1、 二项分布：

kP(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?k设随机变量X的概率分布列为， ，其中

q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二

项分布。记为X~B(n,p)。

（1） 背景： n重贝努里试验中成功的次数X服从参数为n，p的二项分布。记为

X~B(n,p)，其中p为一次伯努利试验中成功发生的概率。

（2） n=1时的二项分布B（1，p）称为二点分布，或0-1分布，（0-1）分布是二项分布的

特例。当X～B（1，p）时，X可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。

（3） 二项分布B（1，p）的数学期望和方差分别是：E(X)=np，Var（X）=np（1-p）。 （4） 若X~B(n,p)，则Y=n-X～B（n，1-p），其中Y=n-X是n重伯努利试验中失败的

次数。

2、 泊松分布：

（1） 设随机变量X的概率分布列为P(X?k)??kk!则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X～P(?)，其中参数??0。

（2） 背景：单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件

是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布P(?)，其中?为该稀有事件发生的强度。

（3） 泊松分布P(?)的数学期望和方差分别是：E(X)= ?,Var（X）=?。 （4） 二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验

中发生的概率为pn（与试验次数n有关），如果当n?+∞时，有npn??，则

···，e??，k=0,1,2，

?n?k?k-?n-klim??p（e。 n1—pn）?n????k?k!??3、 超几何分布

?M??N?M???k????n-k??????，k=0,1，

（1） 若X的概率分布列为P(X?k)?···，r。则称X服从

?N???n????超几何分布，记为X～h（n，N,M）,其中r=min{M，n}，且M≤N，n≤N。n，N,M均为正整数。

（2） 背景：设有N个产品，其中有M个不合格品。若从中不放回的随机抽取n个，

则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布h（n，N,M）。 （3） 超几何分布h（n，N,M）的数学期望和方差分别是:E（X）=n=

M,Var（X）NnM(N?M)(N?n)。 2N(N?1)（4） 超几何分布的二项近似：当n<

?M??N?M???k????n-k???n????????p（kn-k（n，M/N）近似，即，其中p=M/N。 1-p）??Nk??????n????（5） 实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数

的分布；在返回抽样时，常用二项分布b（n，p）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。 4、 几何分布：

（1） 若X的概率分布列为P（X=k）=（1-p）p，k=1,2，···，则称为X服从几何分

布，记为X～Ge（p），其中0

（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A首次出现时的试验次数X服从几何分

布Ge（p），其中p为每次试验中事件A发生的概率。 （3） 几何分布Ge（p）的数学期望和方差分别是;E(X)=

k-1

11?p,Var(X)=2。 pp（4） 几何分布的无记忆性：若X～Ge（p），则对任意正整数m与n有

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。 5、 负二项分布：

（1） 若X的概率分布列为P(X?k)????k-1?rk-r?，k=r，r+1，···。则称X服p（1-p）??r-1?（2） （3） （4） （5）

从负二项分布或巴斯卡分布，记为X～Nb（r，p），其中r为正整数，0

2

负二项分布Nb（r，p）的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p。 负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若X～Nb（r，p），则X=X1+X2+···+Xr，其中X1，X2，···，Xr是相互独立、服从几何分布Ge（p）的随机变量。

6、 常用离散分布表 k分布列pk 0-1分布B(1,p) pk=p（1-p），k=0,1 pk=二项分布B(n,p) kP(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?kk1-k期望 方差 p p(1?p) np np(1?p) =0,1，···，n pk=泊松分布P(?) 几何分布G(p) k!=0,1，··· k-1pk= P（X=k）=（1-p）p，k=1,2，···， pk=P(X?k)??ke??k? ? 1 p1?p p2超几何分布H(n,M,N) ?M??N?M???k????n-k?????? P(X?k)??N???n????k=0,1，···，r。r=min{M，n} pk=nM NnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?负二项分布 Nb（r，p） ?k-1?rk-r P(X?k)??1-p）?r-1??p（??k=r，r+1，···。 r/p r(1-p)/p 2

第五节 常用连续分布

1、 正态分布

(1) 若X的密度函数和分布函数分别为

2（x-?）-2?22（t-?）-2?2p（x）?12π?e，-∞

?2π?1x-?edt,-∞

称X服从正态分布，记作X～N（μ，σ），其中参数-∞<μ<+∞，σ>0。

（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3） 关于参数μ：

? μ是正态分布的数学期望，即E（X）=μ，称μ为正态分布的位置参数。 ? μ是正态分布的对称中心，在μ的左侧和p（x）下的面积为0.5；在μ的右

侧和p（x）下的面积为0.5；所以μ也是正态分布的中位数

2

? 若X～N（μ，σ），则X在离μ越近取值的可能性越大，离μ越远取值的可

能性越小

关于参数σ：

? σ是正态分布的方差，即Var（X）=σ；

? σ是正态分布的标准差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正态分布越分

散；σ又称为正态分布的尺度参数

2

? 若X～N（μ，σ），则其密度函数p（x）在μ±σ处有两个拐点

（4） 标准正态分布：称μ=0，σ=1时的正态分布N（0,1）；

记U为标准正态变量，φ(u)和Φ(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。φ(u)和Φ(u)满足：

? φ(-u)= φ(u)

? Φ(-u)=1- Φ(u)。对u>0, Φ(u)的值有表可查

（5） 标准化变换：若X～N（μ，σ），则U=（X-μ）/σ～N（0,1），其中U=（X-μ）/σ

称为X的标准化变换 （6） 若X～（Nμ，σ），则对任意实数a与b，有P（X≤b）=??2

2

2

2

?b-???a-??（a

??????P（a

（7） 正态分布的3σ原则：设X～N（μ，σ），则P（|X-μ|

，k?1?0.6826?，k?2 Φ(-k)=?0.9545?0.9973，k?3?2、 均匀分布

?1?,a?x?b，（1） 若X的密度函数和分布函数分别为p(x)??b?a

?0,其他，?0,x?a,??x?aF(x)?,a?x?b, 则称X服从区间（a，b）上的均匀分布，记作X～U

?b?a1,x?b,?（a，b）。

（2） 背景：向区间（a，b）随机投点，落点坐标X一定服从均匀分布U（a，b）。“随

即投点”指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。

a?b(b?a)2（3） 均匀分布U（a，b）的数学期望和方差分别是E（X）=，Var（X）=。

212（4） 称区间（0,1）上的均匀分布U（0,1）为标准均匀分布，它是导出其他分布随

机数的桥梁 3、 指数分布

（1）

??e??x,x?0,若X的密度函数和分布函数分别为p(x)??

?0,x?0,?1?e??x,x?0,则称为X服从指数分布，记作X～Exp（λ），其中参F(x)???0,x?0,（2）

数λ>0。

背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X（寿命）服从指数分布。 指数分布Exp（λ）的数学期望和方差分别是E(X)=

（3） （4）

1?,Var(X)=

1。 2?指数分布的无记忆性：若X～Exp（λ），则对任意s>0,t>0,有P（X>s+t|X>s）=P(X>t)。

4、 伽玛分布

（1） 伽玛函数：称?（?）=

具有如下性质：

???0x??1e?xdx为伽玛函数，其中参数?>0。伽玛函数

① ?（1）=1； ② ?（1/2）=

?；

③ ?（?+1）=??（?）； ④ ?（n+1）=n?（n）=n！（n为自然数）。

?????1??x?xe,x?0,（2） 伽玛分布：若X的密度函数为p(x)???(?)即称X服从伽玛分

?0,x?0,?布，记作X～Ga（?，λ），其中?>0为形状参数，λ>0为尺度参数。

（3） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇

到第k次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间X（寿命）服从形状参数为k的伽玛分布Ga（k，λ）。 （4） 伽玛分布Ga（?，λ）的数学期望和方差分别为E（X）=

??，Var（X）=2。 ??（5） 伽玛分布的两个特例:

① ?=1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga（1，λ）= Exp（λ）。

22

② 称?=n/2，λ=1/2时的伽玛分布为自由度为n的χ（卡方）分布，记为χ

xn??1?122ex,x?0,??nn2

（n），其密度函数为p(x)??22?() ，χ（n）分布的期

2??0,x?0,?望和方差分别是E(X)=n，Var（X）=2n。

（6） 若形状参数为整数k，则伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和，

即若X～Ga（k，λ），则X=X1+X2+···+Xk是相互独立且都服从指数分布Exp（λ），的随机变量。 5、 贝塔分布

(1) 贝塔函数:称B（a，b）=

?10xa?1(1?x)b?1dx为贝塔函数，其中参数a>0,b>0。贝塔

?(a)?(b)。

?(a?b)函数具有如下性质：①B（a，b）= B（b，a）；②B（a，b）=

??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1?(2) 贝塔分布：若X的密度函数为p(x)???(a)?(b)， 则称X

?0,其他，?服从贝塔分布，记作X～Be（a，b），其中a>0,b>0都是形状参数。

(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间

（0，1）上取值的随机变量，贝塔分布Be（a，b）可供描述这些随机变量之用。 (4) 贝塔分布Be（a，b）的数学期望和方差分别是E(X)?a，a?bVar(X)?ab 2(a?b)(a?b?1)(5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即Be（1,1）=U（0,1）。 6、常见连续分布表 密度函数p（x） 期望 ，方差 2（x-?）-2?2正态分布N(?,?) 2p（x）?12π?e? ?2 -∞0 e e2???2(e?1) ?21柯西分布Cau(μ, λ) 2?2???(x??)∞ ,-∞0 m???,??1?????1??2??2?1??2???1???1?????? m???mm??????

第六节 随机变量函数的分布

1、 设连续随机变量X的密度函数为PX（x），Y=g（X）。

（1） 若y=g(x)严格单调，其反函数h（y）有连续导函数，则Y=g（X）的密度函数为

?PX?h?y??h'?y?,a?y?b,PY(y)??，

0,其他，?其中a=min{g(-∞), g(+∞)},b=max{g(-∞), g(+∞)}。

（2） 若y=g(x)在不重叠的区间I1,I2，···上逐段严格单调，其反函数h1（y），h2

（y），···有连续导函数，则Y=g（X）的密度函数为

PY(y)??PX(hi(y))h'i(y)。

i2、 正态变量的线性变换仍为正态变量：若X 正态分布N(?,?2)，则当a≠0时，有Y=aX+b～N(aμ+b,aσ)。

3、 对数正态分布

2

2

?1?(lnx??)2??exp???,x?0, 则称X服从对2（1） 若X的密度函数为PX(x)??2??x2????0,x?0,?数正态分布，记为X～LN(μ，σ)，其中-∞<μ<+∞，σ>0。

（2） 若X～LN(μ，σ)，则E(X)=

22

2

e???22,Var（X）=

2

e2???2(e?1)

?2（3） 若X～LN(μ，σ)，则 Y=ln X～N(μ，σ)

4、 若X～Ga（?，λ），则当k>0时，有Y= kX～Ga（?，λ/k）。

-1

5、 若X的分布函数FX(x)为严格单调增的连续函数，其反函数FX(x)存在，则Y= FX(X)服

从（0,1）上的均匀分布U（0,1）。 第七节 分布的其他特征数 1、 k阶矩

（1） 称μk=E(X)为X的k阶原点矩。一阶原点矩就是数学期望

k

（2） 称?k=E(X-E(X))为X的k阶中心矩。二阶中心距就是方差 （3） 前k阶中心矩可用原点表示，如

k

?1=0；?2=μ2-μ12；?3=μ3-3μ2μ1+2μ13；?4=μ4-4μ3μ1+6μ2μ12-3μ14。

2、 变异系数：称比值C?(X)?Var(X)为X的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。

E?X?3、 分位数：设连续随机变量X的分布函数为F（x），密度函数为p(x)。对任意p∈（0.1），

（1） 称满足条件F(xp)??xp??p(x)dx?p的xp为此分布的p分位数，又称下侧p分

??位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p；

（2） 称满足条件1-F(x)?'p?x'pp(x)dx?p的x'p为此分布的上侧p分位数。

'（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：x'p=x1?p,xp=x1?p。

（4） 中位数：称p=0.5时的p分位数x0.5为此分布的中位数。即x0.5满足

F(x0.5)??x0.5??p(x)dx?0.5；

（5） 若随机变量X的密度函数p（x）是偶函数，则此分布的p分位数xp满足：

xp=x1?p。

（6） 记标准正态分布的p分位数up。因为标准正态分布函数是偶函数，所以

up=-u1?p。

（7） 一般正态分布N(?,?2)的p分位数xp满足：xp=μ+σ×up。

（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p分位数xp总是p的增

函数。

4、 偏度系数

（1）称比值

2、 变异系数：称比值C?(X)?Var(X)为X的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。

E?X?3、 分位数：设连续随机变量X的分布函数为F（x），密度函数为p(x)。对任意p∈（0.1），

（1） 称满足条件F(xp)??xp??p(x)dx?p的xp为此分布的p分位数，又称下侧p分

??位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p；

（2） 称满足条件1-F(x)?'p?x'pp(x)dx?p的x'p为此分布的上侧p分位数。

'（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：x'p=x1?p,xp=x1?p。

（4） 中位数：称p=0.5时的p分位数x0.5为此分布的中位数。即x0.5满足

F(x0.5)??x0.5??p(x)dx?0.5；

（5） 若随机变量X的密度函数p（x）是偶函数，则此分布的p分位数xp满足：

xp=x1?p。

（6） 记标准正态分布的p分位数up。因为标准正态分布函数是偶函数，所以

up=-u1?p。

（7） 一般正态分布N(?,?2)的p分位数xp满足：xp=μ+σ×up。

（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p分位数xp总是p的增

函数。

4、 偏度系数

（1）称比值

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