第6讲 级数理论

第六章 级数理论

§1 数项级数

I 基本概念

一 数项级数及其敛散性

定义1 给定一个数列?un?，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式

u1?u2???un?? （1）

称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为

?un?1n?n，其中un称为数项（1）的通项．

k数项级数（1）的前n项之和，记为Sn??uk?1，称之为（1）的前n项部分和，简称为

部分和．

定义2 若级数（1）的部分和数列?Sn?收敛于S（即limSn?S），则称级数（1）收敛，

n??并称S为（1）的和，记为S??un?1?n．若?Sn?是发散数列，则称级数（1）发散．

二 收敛级数的基本性质

1 收敛级数的柯西收敛准则

?级数（1）收敛的充要条件是：???0，?N?0，?n?N，?p?Z，有

un?1?un?2???un?p??．

2 级数收敛的必要条件：若级数

?an?1?n收敛，则liman?0．

n??3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．

4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．

5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．

6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．

7 线性运算性质 若级数

?un?1?n与

?vn?1?n都收敛，c,d是常数，则

??cun?1??n?dvn?收敛，且

??cun?1?n?dvn??c?un?d?vn．

n?1n?1?

1

三 正项级数收敛性判别法

1 正项级数

?un?1n?n收敛的充要条件是部分和数列?Sn?有界．

2 比较判别法 设

?un?1?n与

??vn?1n?是两个正项级数，若存在正整数N，当n?N时，都有un?vn，则

（1）若（2）若

?v收敛，则发散，则

?un?1n?1??u?n收敛； 发散．

n?vn?1n?1?n3 比较原则的极限形式 设

?un和?vn是两个正项级数，且limn?1n?1??un?l，则

n??vn具有相同的敛散性； 收敛； 发散．

（1）当0?l???时，

??un?1n?n和

?vn?1?n（2）当l?0时，若

?vn?1收敛，则

?un?1?n（3）当l???时，若

???vn?1??n发散，则

?un?1?n4 设

?an和?bn是两个正项级数，且?N?0，?n?N，有

n?1n?1an?1bn?1，则 ?anbn（1）若（2）若

?bn?1?n?1?n收敛，则发散，则

?an?1?n?1n收敛； 发散．

?an?bn5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设

?un?1?n是正项级数，若?N0?0及常数q?0，有

?an?1（1）当n?N0时，?q?1，则级数?un收敛；

ann?1?an?1（2）当n?N0时，?1，则?un发散．

ann?16 比式判别法极限形式 设

?un为正项级数，且limn?1?un?1?q，则

n??un（1）当q?1时，

?un?1?n收敛；

2

（2）当q?1若q???时，（3）当q?1时失效．

?un?1?n发散；

当比式极限不存在时，我们有 设

?un?1?n为正项级数．

un?1?q?1，则级数收敛；

n??unu（2）若limn?1?q?1，则级数发散．

n??un（1）若lim7 根式判别法（柯西判别法） 设

?un?1?n为正项级数，且存在某正整数N0及正常数l，

（1）若对一切n?N0，成立不等式nun?l?1，则级数

??un?1n?n收敛；

（2）若对一切n?N0，成立不等式nun?1，则级数8 根式判别法极限形式 设

?un?1发散．

?un?1?n为正项级数，且limnun?l，则

n??（1）当l?1时级数收敛； （2）当l?1时级数发散． 9 柯西积分判别法

设f为?1,???上非负递减函数，那么正项级数敛或同时发散．

10 拉贝判别法 设

?f?n?与反常积分?n?1???1f?x?dx同时收

?un?1?n为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，

??un?1?（1）若对一切n?N0，成立不等式n??1?u???r?1，则级数?un收敛；

n?1n????un?1?（2）若对一切n?N0，成立不等式n??1?u???1，则级数?un发散．

n?1n??注 拉贝判别法中（1）n??1???un?1?un?1r??r?1?1?可转化为，r?1收敛； un?un?n 3

（2）n??1???un?1un?1?r?可转化为，r?1发散． ?1??r?unnun?11 拉贝判别法极限形式 若limn??1?n????un?1???r，则有 ?un?（1）当r?1时，（2）当r?1时，

?u?un?1n?1??n收敛； 发散．

n

四 一般项级数

1 莱布尼兹判别法 若交错级数

???1?n?1?n?1un，un?0，满足下列两个条件：

（1）数列?un?单减； （2）limun?0，

n??则

?un?1?n收敛．

注 若交错级数

???1?n?1?n?1 un满足莱布尼兹判别法，则其余项Rn?x?满足Rn?x??un?1．

2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数发散，则称

?un?1?n，若

?un?1??n收敛，则称

?un?1?n绝对收敛；若

?un?1?n收敛，而

?un?1?n?un?1??n是条件收敛的． 绝对收敛，则

显然，若

?un?1n?un?1n一定收敛，反之不真．

绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若相同的和数．

此说明：绝对收敛级数满足交换律．

对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann）． （2）级数的乘积 若

?un?1?n绝对收敛，其和为S，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有

?un?1?n和

?vn?1?n都绝对收敛，其和分别为A和B，则其乘积

4

?u??vnn?1n?1??n按任意方式排

列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB（柯西定理）．

乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．

3 一般级数收敛判别法

一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．

（1）狄利克雷判别法 若数列?an?单减收敛于零，

?bn?1?n的部分和数列有界，则级数

?abn?1??nn收敛．

注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel判别法亦可由狄利克雷判别法推证． （2）阿贝尔判别法：若数列?an?单调有界，

?bn?1?n收敛，则级数

?abn?1nn收敛．

五、常用于比较判别法的已知级数

（1）几何级数（2）p?级数

?nq?，q?1收敛，q?1发散； ?1，p?1时收敛，p?1发散； ?pn?1nn?1?（3）

1，p?1时收敛，p?1发散． ?pn?2n?lnn?II 例题选解

一 级数敛散性判别

例1 讨论下列级数的敛散性．

1，x?0； ?nn?11?x?x（2）?sin，x?R．

nn?1（1）

n解（1）0?x?1，x?0，

?1?1?0，发散； n1?xx?1时，

11??0，发散； n21?xn??111?1?x?1时，，收敛，故收敛． ?????nnn1?x?x?n?1xn?11?x（2）当x?0时收敛，当x?0时，发散．

5

例2 已知（1）判定

?an?1?2n收敛．

n???1?n?1?ann?12的敛散性；

（2）证明：

?n?2n?annlnnan收敛．（武汉大学）

??1?21?1122??a?2??an?2，?an与?2均收敛，从而原解（1）??1??n2?12?n?1?nn?1级数收敛（绝对收敛）．

（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）??[1?ln(11（东北师大） n?1n?n)]；（2）?[e?(1?1111!?2!???n!)]；

（东北师大） （3）

??3nsin2n?14n； ?（4）???1?cos??p?，（p?0）

n?1?n??）?an（5n!n（a?0,a?e）；

n?1n?n?1（6）?2???1?3n；

n?1?11（7）?(an?a?n?2)(a?0)；

n?1?（8）

?1n；

n?1?401?x4dx??（9）

??1?1?1??； n?2?n?1nn??（10）??n?1?lnnn?n； n?2?ln?（11）?lnnp（p?0）；

n?3n?（12）?1p（p?0）；（p?1为大连理工） n?1?n?1?ln?n?1?

6

n?1n（13）

1!?2!???n!； ??2n?!n?1?????1?n?（14）?ln?1?（p?0）； p?n?n?1???2n?1?!!?1；

（15）?nn?1?2n?!!（16）

1； ?lnn??lnnn?1?n??plnn?（17）??1?； ?（p?0）

n?n?2??xn（18）?（x?0）； 2n??????1?x1?x?1?xn?1?pn?1（19）?n?1?n?ln（p?0）；

n?1n?2???2n?100?（20）???1???；

?3n?10?n?1n???1?（21）?； nn???1?n?2?cosnx（22）?（0?x??）； pnn?1n?n（23）2?2?2?2?2?2?2?2?2?2??； （24）（25）

?n?1????1??n?；

n1；（大连理工1998） ?pqn?2n?lnn??lnlnn?（26）（27）

?nn?1??n?1n；（中科院2002）

?(?1)narctannn（北京大学1999）．

解（1）由于

nn1111nSn??[?ln(1?)]???ln(n?1)???lnn?ln?c(n??)，

kkkkn?1k?1k?1k?1n其中c为欧拉常数，所以级数收敛．

（2）由于

7

11111????)???? 1!2!n!(n?1)!(n?2)!1111?(????) n!n?1(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)(n?3)111122?(????)??2， n!n?1(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)(n?1)!n0?e?(1?由比较原则知其收敛．

2（3）3nsinn4?3????2? 收敛； ?4?p2pn??1????（4）?1?cos?~??n?2?n??an?1??n?1?!（5）

?n?1?n?1n?0?p?n11发散，p?收敛；

22an?n!a?n??0?a?e收敛，a?e发散； ?a????nen?n?1?n?1???2??112????（6）n收敛；或??1??3n33nn?11???1??2?n??n3n?13n?1?n?1，收敛；或

2???1?3nn?1?1，收敛；（此乃正项级数） n?131n?1n12n?12n(a?a?2)(a?a)2ax?a?x22?lim?lim()?(2lna)（7）lim?收敛； xn??n??x?0?1212()()2n2nx注：利用a的Maclaurin展开式估计分子的阶．

112（8）0?an?n?n?2? 收敛；

41?x4dxxdxn?0?0（9）

111111n?32??????收敛； n?nnnn?1nn?nnn?n??或

11?1?1?11?1?? ?1???o?????1?????n?1n?n?n?nn?n??111?1????32?o?32?

nnn?n??1111?1????32?o?32?（n??）??an收敛； ?an?n?1nnn?n?n?1lnnlnnnlnn?ln?n?1?n?1?n?1???n?1??elnnlnn?lnn?nlnn?ln?n?1??0，从而上式极限为零，而

（10）n，

n?收敛；

8

lnn1?（n?3）?发散； npnlnn1lnnlnn?? 当p?1时，，当充分大时， ?1? nnpn1??p?1?2n?p?1?2n?p?1?2lnn1??收敛． npn1??p?1?21p??x?pxp?1?lnx1?plnx?lnx???0（x?3）或当p?1时，?p??x，即单减．由柯2pp?1xxx??（11）当0?p?1时，西积分判别法知原级数收敛．

（12）un?11??fx?单减，故可用柯西积分判别法，令，pp????x?1lnx?1?n?1??ln?n?1????1x?1，易知当p?1时，?（13）

f?x?dx发散，0?p?1时亦发散，而p?1时收敛．

1!?2!???n!n?n!1（n?3）?收敛； ??2?2n?!?2n?!2?n?1?2（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：

n???1?n???1?n1???1?n??1???1?11?1?ln?1?p??p??p??o?2p??p??2p?o?2p?，

2?n?n?n2nn?n??n??11当p?1绝对收敛，?p?1条件收敛，0?p?发散．

22????1?n???1?n???1?n??~1?p?注 能否利用ln?1?（此法仅用于正项级数）． ??ln?p?p???收敛？nnnn?1?????2n?1?!!?1a?2n?2?!!n?1?2n?1?n??1?1??1?1?

（15）n?1?????2n?1?!!?12n?2n?1?an2n?2n?1?????2n?!!n?1?32132?1???1??o?? n?12?n?1?2n?1?n?1?2由拉贝判别法知其收敛．

（16）lnn???，则当n较大时，lnn?e，（17）根式判别法失效．先估计它的阶，

nln?1??plnn?un??1???e?n??n?plnn??n?111???收敛； lnn22lnnn?lnn?e??，ln?1???plnn?p， ?~?lnn（n??）

n?n从而可以估计un~n

?p，于是可讨论

un?npun的极限，为此 pn9

n???plnnplnn?????pplimlnnun?limln?n?1??lim?plnn?nln?1???? ?n??n??n??nn??????????1?11p1????lim?1??pln?ln?1?ln?? n??nnnn????n1?lim?ln?1?pxlnx??pxlnx? x?0x?p2xln2x?xlnx?lim?0 x?01?pxlnxp故limnun?1，un~n?p，所以当p?1时收敛，当p?1时发散．

????n??（18）当x?0时级数显然收敛； 当0?x?1时，un?xn，故收敛；

?1?当x?1时，un???，收敛；

?2?xn11当x?1时，un?，收敛． ??2nn?1n?1?1?x??1?x???1?x?1?xxp1111（19）n?1?n?~??(n??)， pppp22nn?1?n2nn?1?2??2?2? ln?ln?1?~(n??)， ?~n?1n?1n?1n???11所以，an~p?1?1?p2(n??)，由此易得：p?0时收敛，p?0时发散．

2nn??????注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．

2n?1002?2n?100?（20）n??1????1，绝对收敛． ??3n?103n?103??nn（21）un???1??x2?2x????x?1?2?x?1??????1?n???1?nnn???1?1??x?1??x???1?n?1， n???1??n?1n?1n?1nn?1?x2x?x?1?2?0（x?1）

?1n由莱布尼兹判别法，???1?收敛，而?发散，故原级数发散．

n?1n?1n?1n?2（22）当p?0，发散，p?1，绝对收敛，当0?p?1时，由狄利克雷判别法知其收敛．事

n 10

1??sin?n??x12??实上，cosx?cos2x?cos3x???cosnx??，x??0,??，有界．

x2sin2???（23）法一：a1?2?2cos?2sin?2sin2，

442????a2?2?2?2?1?cos??2sin3，

4?2??????a3?2?2?2?2?2?1?cos??2?2cos3?2sin4，

4?22???

an?2sin??

?2n?1，

???????于是原级数可表为2?sin2?sin3???sinn?1????2?sinn，收敛．

222?2?n?2法二：记A1?2，A2?2?2，A3?2?2?2，??则An?2，于是

2?2?An?1an?12?2?x2?2?x1lim?lim?lim?lim??1，收敛． n??an??x?2x?22?x22?An?12?xn（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数

1n???1??2?n?1???n?11??? 2n2?1?n?1??1?注意到通项中共有2n?1项，其中前n项之和和后n?1项之和分别夹在

11与之间， n?1n1nn11n1?2?2?2???2?2? nn?nn?n?1nn?n?1nn1nn11n?11???????? 22222n?1?n?1?n?2nn?nn?2nn?nn因此

21112 ?2?2????2n?1nnn?1?n?1??1由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．

（25）当p?1时，则当q?1时收敛，q?1时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分

?

??2dx的敛散性．由无穷积分立得 qxlnx?lnlnx?11

???2Adxdx ?limqq?2A???xlnx?lnlnx?xlnx?lnlnx??limlnlnlnxA???,q?12??A???A??收敛,q?1 11?q?lnlnx?，lim?A???1?q??,q?1?2?当p?1时发散，p?1时收敛，事实上，

?lnn??1（n充分大） 11当p?1时，??pqnlnn?lnlnn?qnlnnn?lnn??lnlnlnn?1111???当p?1时，pqp?1p?1?p?1?2． 1?q??n?lnn??lnlnlnn?nlnnn?lnn?2?lnn?2ln?lnn?1?p（26）由 及

?n?1发散知级数发散．

（27）由于?arctann?单调有界，

?(?1)nn收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．

思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）（2）（3）

1（复旦大学1997） (n2?n?1?n2?n?1)；?nn?1?lnn；（复旦大学1998） ?32n?1n??n2sinn?1???2n；（复旦大学1999）

（4）

n2?ln(n?2)（5）?(a?0)；武汉理工大学2004） nn?1(a?1n)?11?（6）?(?sin)．（南京理工2004）

nnn?1n?1?(3n?5)sinn?2；（复旦大学1999）

提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；

（3）仿上例（3），收敛；

（4）当n为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．

（5）由级数收敛的必要条件知当a?1时发散；当a?1由比式判别法知其收敛； （6）利用sinx的Taylor公式讨论． 例4 讨论级数

1的敛散性． ?pnn?112

?

分析：p?1，柯西准则，发散；

p?1，柯西积分判别法，收敛； p?1，比较判别法，发散．

例5 证明 （1）若级数

?a收敛，则?2nn?1??an收敛；（淮北煤师院2004） n?1n?（2）若limnan?a?0，则

n?an?1n发散，而

?an?1?2n收敛；（南开大学2001）

?an1（3）若?an是收敛的正项级数，则当p?时，级数?p收敛（中科院2002）．

2n?1n?1na1?21?分析：（1）n??an?2?；

n2?n???an2（2）nan?收敛； ?a?0，?an发散，而?an1n?1n?1n?（3）同（1）．或：由Cauchy不等式

?k?1nakkp???1????ak???2p?； ?k?1??k?1k?n12n12知其部分和有界，从而收敛．

例6（兰州大学2000）设un?0是单调递减数列，试证明：

（1）若limun?c?0，则

n???(1?n?1?un?1)收敛； un（2）若limun?0，则

n???(1?n?1?un?1)发散． un证（1）由单调有界定理知un?c?0，再由极限的柯西收敛准则知：???0,?N?0，当n?N,?p?Z，有

?un?un?p?c?，

又un单调递减，所以，当n?N,?p?Z时，有

?(1?un?pun?un?pun?1u)?(1?n?2)???(1?)???， unun?1un?p?1un由级数的柯西收敛准则知其收敛．

（2）由于

(1?un?pun?un?pun?1uu)?(1?n?2)???(1?)??n?1， unun?1un?p?1un?pun?p令p??得上式右端的极限为??，由柯西准则知

13

?(1?n?1?un?1)发散． un例7（华东师大1997）设级数情形分别证明：级数

证 当

?an?1?nn收敛．试就?an为正项级数和一般项级数两种

?an?1?nn?n也收敛．

?an为正项级数时，

limn??annann?n?1，

由比较判别法知

??an?1?nn?n 收敛．

?? 当

?ann为一般项级数时，?ann?n??ann1?n?1n?1n?11，由阿贝尔判别法知n?它是收敛的．

思考题2（华东师大1998）已知发散级数．

??11n提示：用反证法．假设?an(1?)收敛，则?an??an(1?)()，由阿贝尔判

nnn?1n?1n?1n?1?1为发散的一般项级数，试证明aa(1?)也是??nnnn?1n?1?别法知

?an?1?n收敛，矛盾．

例8（北京工业大学2000）设和正项数列?an?单调减少，且级数

?(?1)n?1?nan发散．令

un?试问级数

111，n?1,2,?. ??1?a11?a21?an?un?1?n是否收敛，并说明理由．

?证 级数

n???un?1n收敛．这是因为：由级数

?(?1)n?1?nan发散和正项数列?an?单调减少知

liman?a?0，且由单调有界定理知an?a，于是

un?由比较原则知

11111n????()， 1?a11?a21?an(1?a)n1?a?un?1?n收敛．

例9（北方交通大学1999）已知an?0,an?an?1,n?1,2,?.讨论级数

111?????? a1a1a2a1a2?an的敛散性．

14

解 由单调性假设知存在极限liman?a?0，则limna1a2?an?a，由柯西根式判

n??n??别法知，当a?1时收敛，当a?1时发散，当a?1时，

例10（中国矿大北研部）设an?0，Sn?a1?a2???an，级数

?an?1?n??．试证：

an发散；（武汉大学） ?n?1Sn?a（2）?n收敛．（东北师大） 2n?1Sn（1）

证 （1）an?0，Sn?，于是

?akakk?Sn?n?1． ??1??SSSk?n?1kn?pn?pn?pn?p而

?an??，故limSn?p???，从而当p充分大时，SnSn?pn?1p????1?， 2ak1?．由?2k?n?1Skn?p柯西收敛准则知其发散．

nn?1akak111?212?（2）?2?，部分和有界，????????????a1k?2SkSk?1a1k?2?Sk?1Sk?S1Sna1k?1Skn故收敛．

例11（华中科技大学） 若liman?1?0，lim?an?1?an?2??0，?，

n??n??lim?an?1?an?2???an?p??0，?，试问?an是否一定收敛？为什么？

n???n?1解 不一定．如级数

1，有 ?nn?1111p0???????0(n??)；

n?1n?2n?pn?1?但

1发散． ?nn?1??2nsin1?n?an?例12（上海交大） 若 lim?n??1，则级数?an是否收敛？试证之． n???n?1???解 由于

ann?2nsin1n?1（n??），而0?n1n1?2nsinn?n?2?sinn?1n?1?n??3?24（n充分大），由

比较判别法知

?nn?1??2nsin收敛，再由比较判别法知

?an?1?n收敛．

例13 设an?0且单减，试证

?an?1?n与

?2n?1?na2n同时敛散．

15

证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由

?an?1?n?a1??a2?a3???a4?a5?a6?a7???a8???a15???

?a1?2a2?2a22?2a23????2na2n

23n?0?和

?an?1?n?a1?a2??a3?a4???a5???a8???a9???a16???

11?n?a1?a2?2a4?4a8?8a16???a1??2a2n

22n?0知两级数具有相同的敛散性．

例14 若正项级数（1）（2）

?an?1?n收敛，且ean．证明 ?an?ean?bn（n?1,2,?）

?bn?1??n收敛；（华东师大）

bn收敛．（北京理工大学2003） ?ann?1n??证 解出bn得：bn?limlne?an?an?0，而?an收敛，故当n充分大时，bn?n?1??bn，an从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得an?0(n??)．又因为

23??1213anan?lne?an?ln?1?an?????an??~2an?3!an???o?an?， 2!3!????bnb即 lim?0，由级数?an收敛得?n收敛．

an??ann?1n?1n?an?例15 研究级数编号．

1的敛散性，这里xn是方程x?tanx的正根，并且按递增的顺序?2n?1xn1????1，n?1，收敛． ??n?1??,?n??，2?22?2?xn?n?1??解 解方程得：xn??例16 设u1?1，u2?2，un?un?1?un?2（n?3）．问解 由于

?un?1??1n收敛吗？

un23un?2un?1un?2un?1un?2?un?1?????0（n?3）； un?133un?13un?13un?1?1unun2?1所以 ?（由un的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． ??1un?13un 16

例17 设an?0，证明级数 解 由于

an 收敛． ?1?a1??1?a2???1?an?n?1??0?Sn?a3ana1a2 ??????1?a1??1?a2???1?an?1?a1?1?a1??1?a2??1?a1??1?a2??1?a3?a3a?a2?a1a21?1???1?????? ?1?a1??1?a2??1?a1??1?a2??1?a1??1?a2??1?a3?an1 ?1?????1?a1??1?a2??1?a3??1?a1??1?a2???1?an?an?1??1

?1?a1??1?a2???1?an?1?3?1?1?11?1?111????1?????1??????是2?5?23?7?234?即部分和有界，所以收敛．

例18（上海师大）证明：级数：1??1?收敛的．

解 这是交错级数，且

an? ?1?11?2n?11??11?????1????????

2n?1?2n??2n?1??2n?1??2n?1??2??11??1?111?1?1?????1?????????????an?1， ?2n?1??2n?1??2n??2n?1?2nn?1?1?11?1?c?lnn??n??0． an??1??????2n?1?2n??2n?1?由莱布尼兹判别法知

?an?1?n收敛．

nnan?a和?b都发散，问下列级数收敛性如何？

（1）?min(a,b)； （2）?max(a,b)．

解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取a?b?n，则?min(a,b)发散；若取?1?(?1)，b?1?(?1)，则min(a,b)?0，?min(a,b)收敛．

例19（合肥工大2001）已知正项级数

nnnn?1nnnnnn?1nnnnn（2）一定发散，这是因为max(an,bn)?an． 思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数

?un和

?vn都收敛，且成立

un?wn?vn,n?1.

则

?wn收敛．

?n?111?,x2n??dx,n?1,2,?. 证明?(?1)n?1xnnxnn?1 提示：利用柯西收敛准则．

思考题4（上海交大2004）设x2n?1收敛．

17

提示：x2n?1?11?x2n??x2n?1，应用Leibniz判别法即可．

nn?1例20（华东师大2000）设证 记级数

?an?1?n收敛，limnan?0．证明：

n???n(an?1?n ?an?1)??an．

n?1??n(an?1?n?an?1)的前n项和为Sn，则

Sn?(a1?a2)?2(a2?a3)???n(an?an?1)?a1?a2???an?nan?1，

n?(n?1)an?1]?0，所以 而limnan?1?lim[n??n??n?1?n(an?1??n?an?1)??an．

n?1?思考题5（合肥工大2000）设数列?an?单调，且级数

?an?1?n收敛于A．证明：级数

?n(an?1n?an?1)收敛，并求其和．

思考题6（北京工业大学2001）设数列?nan?收敛，a0?0，级数证明：级数

?n(an?1?n?an?1)收敛，

?an?1?n收敛．

思考题7（安徽大学2003）若级数（1）liman?0；

n???an?1?n满足：

（2）

??(an?1n?2n?1?a2n)收敛，

证明：

?an?1收敛．

思考题8（华东师大2003）若级数（1）liman?0；

n???an?1?n满足：

（2）

?(an?1??2n?1?a2n)收敛，

证明：

?an?1n收敛．

例21（吉林大学）证明级数

1?发散到正无穷．

13?12?15?17?14?19?111?16??

18

证 记an?14n?3?14n?2?14n?1,n?1,2,?.则

an?而

24n?13n?(1?31， )3nn???1n发散到正无穷，所以，limS3n???．又因为S3n?2?S3n?1?S3n，故limSn???．

n??n??注（1）若要证明级数发散，则只需证明limS3n???即可．

（2）在证明?Sn?收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． 思考题9（武汉大学1999）级数

1?是否收敛？为什么？

提示：考察S2n．

例22 证明：级数

111111?2??2?????? 223452n(2n?1)?an?1?n收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列?pk?和正整数

数任意子序列?nk?，都有

lim(ank?1?ank?1???ank?pk)?0.

k??证 必要性．设级数

?an?1?n收敛，则由柯西收敛准则得：???0,?N?0,当n?N时，

?p?Z?，都有

an?1?an?2???an?p??，

从而当k?N时，nk?N，于是对于任意的正整数序列?pk?，有

ank?1?ank?1???ank?pk??，

即 lim(ank?1?ank?1???ank?pk)?0.

k?? 充分性．反证法．若

?an?1?n发散，则??0?0,?N?0,?n?N,?p?Z?，使得

an?1?an?2???an?p??0，

特别地，分别取

N1?1,?n1?1,?p1?Z?, 使得 an1?1?an1?2???an1?p1??0，

N2?max?2,n1?,?n2?N2,?p2?Z?，使得 an2?1?an2?2???an2?p2??0，

如此下去，得一正整数子序列?nk?和正整数序列?pk?，恒有

ank?1?ank?1???ank?pk??0，

这与已知条件矛盾．

19

二 绝对收敛与条件收敛

例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）

?n?1?n?1???1?n?1（南京师大2002，p?1为武汉大学1995）

；

np?1nn（2）

?(?1)?x； sin（内蒙古大学）

n(?1)n（3）?2． (x?0)（复旦大学1997）xn?1(n?3n?2)解（1）当p?0时，un不趋于0，发散； 当p?1时，原级数绝对收敛；

?1n?11当0?p?1时，???1?收敛，单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 1pnn?1nn??1?n?1n故原级数条件收敛．

1p?nn?p?1（n??）；

（2）当x?0时绝对收敛，当x?0时，不妨设x?0，则?N?0，当n?N时，有

0?x??2，且sinx关于n单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n又因为

(?1)nsinxn而

xn?1(n??)，

x发散，故原级数条件收敛． ?nn?1???1（3）当x?0时，数列?2单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又x?(n?3n?2)??222因为 n?n?3n?2?4n，所以

1(?1)n1， ??x2x2x2x4n(n?3n?2)n11从而，当x?时，绝对收敛，当x?时，条件收敛．

22?lnlnn思考题10（武汉大学2005）判别级数?sinn是否绝对收敛或条件收敛．

n?2lnn 20

思考题11（南京大学2001）设xn?1?（1）证明：级数

?k?xn,k?1,x1?0,n?1． 1?xn?(xn?0n?1?n?1?xn)绝对收敛；

（2）求级数提示：

?(xn?1?xn)之和．

例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设f?x?在x?0的某邻域

?f?x??1??0．证明：级数?f??绝对收敛． 内有二阶连续导数，且limx?0xn?1?n?f?x??0得f?0??0，f??0??0，f?x?在x?0某邻域内的二阶泰勒展式为 证 由limx?0x11f?x??f?0??f??0?x?f????x?x2?f????x?x2，0???1

22由f???x?连续知，?M?0，有f???x??M，从而有

?1?M1f????2 ?n?2n故

?n?1??1?f??绝对收敛． ?n?思考题12 证明： （1）（华南理工大学2005）设f(x)是偶函数，在x?0的某个领域中有连续的二阶导数，

1f(0)?1,f??(0)?2. 则级数?(f(n)?1)绝对收敛．

n?1?（2）（浙江大学2004）设函数f(x)在区间(?1,1)内具有直到三阶的连续导数，且

?f?(x)1?0. 则?nf(n)绝对收敛． f(0)?0，limxx?0n?2?1??1?n是

例25 设an?0（n?1,2,?）单调，且级数?收敛，讨论级数?n?1ann?1a1???an?n条件收敛还是绝对收敛．

解 由于an?0且单调，故

1?0?an? an 21

???1?2n?2n?2n?2,??a1?a2???a2nnanan ?2n?1???1???2n?1??2n?1?2,?a1?a2???a2n?1?n?1?anan?由已知条件，

2收敛，故原级数绝对收敛． ?an?1n?例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数则级数

?bn?1?n收敛，且级数

??an?1?n?an?1?绝对收敛，

?abn?1?nn收敛．

证 设Sn?b1?b2???bn，则bn?Sn?Sn?1，于是由

??bn?1?n收敛知：?M?0，

Sn?M，n?1,2,?．由??an?an?1?收敛知：???0，?N1?0，?n,m?N1，有

n?1an?an?1?an?1?an???am?am?1??，

又?Sn?收敛，对上述??0，?N2?0，?n?N2，m?N2，有Sn?Sm??，取

?N1,N2??1，于是，当n,m?N时， N?maxanbn?an?1bn?1???ambm

?M?an?1?an?an?2?an?1???am?am?1??M?am?an??anSm?Sn?1

?3M?．

由柯西收敛准则知级数

另证

?an?Sn?Sn?1??an?1?Sn?1?Sn????am?Sm?Sm?1?

?abn?1?nn收敛．

?bn?1?n?收敛????0，?N?0，?n?N，?p?Z，有

n?pk?n?1?bk??．

记Si?k?n?1?bn?ik，i?1,2,?,p，则Si??，i?1,2,?,p．由

??an?1?n?an?1?绝对收敛得其部

分和有界，即?M?0，有

Sm?由阿贝尔定理得

n?p??an?1mn?an?1?M，m?1,2,?．

k?n?1?abkk?S1an?1?an?2?S2an?2?an?3???Sp?1an?p?1?an?p?Span?p

22

?M??Span?p

又an?p?a0?a1?a0???an?p?an?p?1?a0?M，从而

n?pk?n?1?abkk???2M?a0?．

??由柯西收敛准则知其收敛．

例27（华东师大2001）证明：若级数也绝对收敛．

证 记Sn?a1???an，则由

?an?1nn绝对收敛，则级数

?an?1n(a1?a2???an)?an?1?绝对收敛知

?an?1?n收敛，所以?Sn?有界，即

?M?0，有Sn?M,n?1,2,?.于是有

an(a1?a2???an)?Man，

由

?an?1?n绝对收敛知级数

?an?1?n(a1?a2???an)也绝对收敛．

思考题14（华中科技2004）设x0?0,xn??ak?1nk(n?1),xn?b(n??)，求级数

?an(xn?xn?1)之和．

提示：an?xn?xn?1．

例28 证明：若对任意收敛于0的数列?xn?，级数收敛．

分析 问题等价于：若级数数

?an?1?nxn都收敛，则级数?an绝对

n?1??an发散，则至少存在一个收敛于0的数列?xn?，使得级

?axnn发散，于是问题转化为：从

??an???出发，构造出满足条件的数列?xn?．联

想例10中（1）的结论立明．

1，?N?0，

n??2n?1SS11?n?N，由limSn???得 limn?0?，从而当m充分大（m?n）时，有n?，

n??m??S2Sm2m证 假设

?an发散，记其前n项和为Sn，则limSn???．取?0?于是

an?1an?2aS?Sn1????m?m???0， Sn??1Sn?2SmSm2??an1,n?1，则limxn?0，且?anxn发散，由柯西收敛准则知级数 ? 发散，取xn?n??SSn?1n?1nn这与题目的条件矛盾，故命题成立．

23

思考题15（中国人民大学2000）若正项级数使得级数

?an?1?n发散，则存在收敛于0的正数序列?bn?，

?abn?1?nn发散．

例29 研究级数

sinn的收敛性．记其前n项和为Sn，将其分成两项 ?nn?1??， Sn?Sn?Sn?Snn项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限lim?存在，并求

n??Sn?其中S,S其值．

?n?n分别表示前

证 由Dirichlet判别法知其收敛．又因为

?sinnsin2n1?11?cos2n， ???????nnn2n2n?1n?1n?1n?1?右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet判别法），从而 由于

sinn非绝对收敛． ?nn?1?????Sn?Sn?(Sn?Sn)Sn1nsinkS???????(n??)，

222k?1k?n所以，

????SnSn?Sn?SnSnlim??lim?lim(?1)??1． ??n??Sn??n??SnSnn注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．

三 构造级数

例30 试构造一级数

??an?1?n，使它满足：

?1?收敛； （2）aa?o??． ?nn?n?n?1??11解 ?2，?满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：

nnn?1n?1?1111a?1??2?2?2?? ?n22345n?111?1?即当n是整数平方时，an?，否则an?2，显然an?o??，同时

nn?n?nnn111Sn??ak??2??2?2?2???

k?1k?1kk?1kk2?nk（1）

24

故此级数收敛．

例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数

a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n?? （an?0）

部分和为S2n??ak?1n2k?1??a2k，可见只要构造一个级数?an，使得an?0，同时使

k?1n?1n??ak?1?2k?1和

?ak?1?2k一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：

1111111??2??2??????． 22345?2n?1?2n例32（南开大学1999）已知级数理由．

解 未必收敛．如级数

??an?1?n收敛，问级数

?an?1?2n和

?an?1?3n是否必收敛？说明

?n?1?(?1)nn?收敛，但

?an?1?2n发散．令

222223331111??????? ?3kkkk?k?k??k?kk?k?????n?1k项?an?1?1?3113?13?31?13?1333?1333??

则级数

?an?1?n收敛，但

?an?1?3n发散，因为它的部分和子列

Snk?1?

1111????1?3???3???． 2k2k四 级数与极限问题

例33 设正项级数证 记S?而

?an?1?n收敛，试证：limn???kak?1nkn?0．

?an?1?n，Sn??ak?1nk，则Sn?S（n??），且

?kak?1nk?nSn??Sk，从

k?1n?1limk?1n???kan?kS?S2???Sn?1???lim?Sn?1??S?S?0． x??n??例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设a1?a2???0，且级数

?an?1?n发散，则

25

lim解 由于

a2?a4???a2n?1．

n??a?a???a132n?1a2?a4???a2na1?a3???a2n?1??1；

a1?a3???a2n?1a1?a3???a2n?1a2?a4???a2na???a2n?1a1?a2n?1a1；（1） ?3?1??1?a1?a3???a2n?1a1???a2n?1a1???a2n?1a1???a2n?1而 a1?a3???a2n?1?a2?a4???a2n，由此及

?an?1?n发散可得

a1?a3???a2n?1?S1(a1?a2?a3???a2n)?2n??(n??)， 22从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．

例35（煤师院2004）设级数

n???an?1?n收敛，an?0，且an单减．试证limnan?0．

n??分析：limnan?0????0，?N?0，?n?N，有nan??． 证 由

?an?1?n收敛知，???0，?N?0，?n?m?N，有

0?am?1?am?2?am?3???an?? n由an单减知，当n?2m时，?n?m，于是有

2nan?2?1?2nan?2?n?m?an??am?1?am?2???an??2?2?．

故limnan?0．

n??例36（北师大）证明：极限 lim[n??1?ln(lnn)]存在有限． ?k?2klnkn证 令f(x)?1，则f在[2,??)上非负单减，所以 xlnxnn?122ln(lnn)?ln(ln2)??f(x)dx??nf(x)dx??1， klnkk?2n从而得

1?ln(lnn)??ln(ln2)?0，即数列有下界．又 ?k?2klnkn?1n?1111an?1?an???f(x)dx???dx?0，

(n?1)ln(n?1)n(n?1)ln(n?1)n(n?1)ln(n?1)例37 试证：若正项级数

即数列单减，从而极限存在且有限．

?an?1?n收敛，且数列?an?an?1?单减，则

lim(n??1an?1?1)???. an 26

证 由

?an?1?n收敛知：liman?0，从而 lim(an?an?1)?0，又?an?an?1?单减，所

n??n??以an?an?1?0，即an?an?1．要证lim(n??1an?1aalimnn?1?0. n??a?ann?1?1)???，只需证： an事实上，

222??anan?1anak?ak122?1 0???(ak?ak?1)???an?an?1an?an?1an?an?1k?nk?nak?ak?1??(ak?ak?1)?Rn?1?Rn?0(n??)，

其中Rn为级数

??an?1k?n?n的余和．

例38 求极限lim(111????)(p?1)．

n??pn?1pn?1p2n?1解 考察几何级数?n，由p?1知其收敛，由柯西收敛准则得：???0,?N?0,当

pn?1n,m?N时，有

111??????， pn?1pn?2pn?m特别地，取m?n，则有

111??????， pn?1pn?1p2n即 lim(n??

111????)?0． n?1n?12nppp五 级数与非正常积分之间的关系

定理 设f(x)?0，a?A0?A1?A2???An??,An???(n??)，则

???af(x)dx 与级数

??n?1?AnAn?1f(x)dx 具有相同的敛散性，且在收敛时，二者大小相等．

?证 利用柯西收敛准则立明．

??[x]1f(s)?sdx，其例39（西北师范大学）设函数f(s)??s(s?1)．证明：s?1?1xn?1n中[x]为x的整数部分．

证 由于

s?

??1??n?1s?n[x]?sdx?dx?n(?x???nxs?1xs?1n?1n?1n?1n)??(n?1?nn?)， ssn(n?1)27

上式右端为正项级数，记其部分和为Sn，则由s?1知

kk122nn?1?)?(1?)?(?)???(?)， sssssss(k?1)223n(n?1)k?1k?111n?11?1?s?s???s??(n??) ?ss23n(n?1)k?1k??[x]dx． 所以，f(s)?s?1xs?1Sn??(例40（北京航空航天大学）

nx?[x]?1xs?1dx收敛； ??x?[x]11?1（2）求证：当s?1时，无穷积分 ?dx???．

1s?1sn?1nsxs?1（1）求证：当s?0时，无穷积分

??证（1）由于

0?当s?0时，无穷积分?????x?[x]1?， xs?1xs?1??11xs?11dx收敛，由比较判别法知?x?[x]dx收敛． s?1x（2）由上例结果得

??1??[x]x?[x]11?1． s?1xs?1dx??1xsdx??1xs?1dx?s?1?s?n?1n??dx例41（复旦大学）讨论?的敛散性，其中????1． ??01?xsinx证 由于sinx的周期为?，取An?n?，则

?令x?n??t，则有

??dx1?xsinxdx1?xsinx?200?????n?0??(n?1)?n?dx1?xsinxdx??，

???0??????n?0?01?(n??t)sint??

??dtdt． ???????????1?(n??t)sint1?(n??t)sintn?0n?02下证右端两个级数都收敛．事实上，记第一个级数的通项为un，则由不等式

2?sinx?x,x?[0,]

?2可得

?un??20dt， ???1?nbt这是因为

28

(n??t)?sin?t?(n?)?(于是

2t?)??n?b?t?,b??2?????．

1un???bn由????1得

??d(bnt)12??01?(bn??t)?bn??????0dx1??dx1， ?()?????0b1?x1?xn?un?0?n收敛．同理可证第二个级数也收敛（作变换化为前一个级数的形式），

从而积分收敛．

六 级数的求和问题

由于数项级数求和经常转化为幂级数求和，因此，本小节含盖了幂级数求和问题． 1 直接法（定义）

例42（华中科技大学2004）设x0?0,xn?n?ak?1k,n?1,xn?b(n??)．求级数

?an?1?n(xn?xn?1)之和．

解 由题设得：an?xn?xn?1,n?1．从而由级数定义得

?an?1?n222(xn?xn?1)?lim?(xn?xn?1)(xn?xn?1)?lim?(xn?xn?1)?b．

k??n?1k??n?1kk2 利用已知级数

将所求级数转化为等比级数或其它初等函数的泰勒级数求之．

例43 设?an?是一等差数列，公差为d，?bn?为等比数列，公比为q（q?1），则

ana1?q?1??d， ??2bb0?q?1?n?1n?其中an?a0?nd，bn?b0q，n?1,2,?.．

nnaka0?kda0?kd证 记Sn??，则， ??qS??nkk?1k?1bkk?1b0qk?1b0qa0?dn?1da0?nda0?dda1?q?1??d1， qSn?Sn????????knb0b0b0q?1b0?q?1?b0qk?1b0q?aa?q?1??d所以 S??n?1． 2b0?q?1?n?1bnnn例44 计算解 记Sn??ne??nx（x?0）． ，则

?kek?1n?1n?kx 29

?1?e?S???ke?xnk?1n?kx?ke??k?1?x

??e?x?e?2x???e?nx?ne??n?1?x e?x?e??n?1?xn1???（n??），

1?e?xe?n?1?xex?1所以，

?nen?1??nx?ex?ex?1?2．

注 利用例1所得公式直接计算结果一样．

3 连锁消去法

将通项拆分为两项或若干项的代数和求之． 例45 设0?x?1，求解 由1?x2nk?1?1?xn?0k?x2n2n?1k．

?(1?x2)(1?x2)得

k1??1???? ??2k?12k2k?11?x?k?01?xk?0?1?x1??11?1?1?1?????????????2n22222n?11?x1?x1?x???1?x?1?x?1?x11??，

2n?11?x1?x所以，

x2n?? ?x． ?2n?11?xn?01?x?1例46 ?arctan2．

2kk?1?提示：注意到arctanx?arctany?arctan?x2nx?y，则得 1?xy111arctan?arctan?arctan． 22k?12k?12k注 若通项公式的分母可拆分为等差数列乘积的级数，一般也可用此方法求和． 4 方程式法

建立部分和的方程，然后求之．

例47 计算qcos??qcos2????qcosn???，q?1．

解 由q?1知级数和存在，记为S．记Sn?qcos??qcos2????qcosn?，则两边乘以2qcos?得

n2n2n2qcos??Sn??2qk?1cos?cosk?

k?1 30

??qk?1?cos?k?1???cos?k?1???

n?q令n??，解之得

k?1n?1cos?n?1???Sn?qcos??q2?q2Sn?qn?2cosn? qcos??q2． S?1?q2?2qcos?注 本题用复数方法解之更为简洁． 5 利用子序列的极限 原理：对于收敛级数知道某子列Spn??an?1n，an?0．因此，若S2n?S，则S2n?1?S．从而，只要

???n?1收敛，an?0，则

?an?1?n必收敛，且极限值相同．

例48 计算

1?1?11?11?11?11?1????1???????????????

2?3?45?62?78?93?解 其通项趋于零，为此只需求出S3n的极限，事实上，

1?1?11?11?S3n?1????1?????????

2?3?3n?23n?1?3nn?11?11??1??????1??????ln3（n??）

23n?2n?故原级数和为ln3．

注 仿上例方法，将级数

111(?1)n?11????????

n234重排，使先依次出现p个正项，再依次为q个负项，如此交替，则所得新级数的和为

1pln2?lnq.

26 利用和函数的分析性（逐项可积、逐项可微） 例49 求下列级数的和． （1）1?2x?3x???nx（2）

2n?1??；

n． ???n?1!n?1?解 一般地先求其收敛域，在其收敛域内利用已知幂级数的各种性质． （1）其收敛域为??1,1?，设在??1,1?内其和函数为S?x?，即

31

S?x???nxn?1，x???1,1?．

n?1?则?x???1,1?，逐项积分得

?两边微分得

x0S?t?dt???ntdt??xn?n?1n?10n?1?x?x， 1?xS?x???1，x???1,1?．

?1?x?2（2）构造幂级数所求．

由逐项可微分得

nxn?1，则其收敛域为R，令其和函数为S?x?，则S?1?即为?n?1?n?1?!nn?1S??x???x??xn?xex，

n?1n!n?1?n?1?!两端从0到t积分得

?S?t??S?0???xexdx?tet?et?1．

0t又S?0??0，由此得S?1??1，即

n?1． ???n?1!n?1n?注 多数情况下，需作适当的初等变换，将其转化为本例中情形． 思考题15 计算1?2x?2?3x???n?n?1?x??的和，并由此计算思考题16 求下列幂级数的和： （1）求幂级数

?n?n?1?． ?n?12n?1?（北京大学1996）（答案：?nxn?1的和；

n?1?1） 2(1?x)（2）

（山东大学）（答案：?n(n?2)xn?1；

n?13?x） 3(1?x)11?x1x4n?1?arctanx） （3）?；（山东大学）（答案：ln41?x24n?1n?0?n?12n?12n（4）?(?1)（北京航空航天大学2001）（提示：拆分为两个级数求之，x；

nn?12x221?x)?答案：ln(）

1?x2?x?1n（5）?n(x?1)；（北京航空航天大学2000）（答案：） 2(x?2)n?1? 32

（6）

（西北大学）（答案：?n2xn?1；

n?1?1?x） 3(1?x)1(x?2)2(x?2)2n)） （7）?(?1)；（北京科技大学2001）（答案：?ln(1?n?133n?3n?1?2n?12n（8）?（仿（6），利用指数函数幂级数展开式） x（厦门大学2003）

n!n?0?n（9）

?(?1)n?1?n?1??n(n2?n?1)xn（华南理工2005）

n提示：（10）

?(?1)2n?1(n?n?1)x??x?n(n?1)(?x)2nn?1?n?1??(?x)n.

n?1??n?xn（浙江师大2005）

思考题17 求下列级数的和：

32n；（北京大学1996）（答案：） ?n23n?1?nn（2）?n?2；（北京大学1999）（答案：6）

n?13?n2?n?1（3）?；（大连理工2004） n2n?1?1n思考题18（华中科技大学1997）讨论级数?sin?的敛散性，并求其和函数．

n?1n（1）

提示：讨论?的取值．

xn例50（武汉大学）给定级数?，

n?1n?0?（1）求它的和函数S(x)； （2）证明广义积分

??S(x)dx收敛，并求其值．

01xn?1解（1）考察级数?，收敛域为[?1,1)，在(?1,1)内，由幂级数性质得

n?0n?1???xn?1xn?11， (?)???()???xn?1?xn?0n?1n?0n?1n?1所以，?x??(?1,1)，有

x1xn?1??dt??ln(1?x)， ?01?tn?1n?0?从而，S(x)??ln(1?x),x?0,S(0)?1． x33

（2）由于 limS(x)?1，0不是它的瑕点，1是它的瑕点，且

x?0?x?1?lim(1?x)12ln(1?x)?0， x所以广义积分

?S(x)dx收敛，于是由逐项可积性得

0?xn1?2． dx??2??0S(x)dx???0n?16n?0n?1n1?11注 对于幂级数

?axnn，若其收敛域为(a,b)，但

??a0bnxndx存在，则仍有

?b0(?anxn)dx???anxndx．

0?bxn思考题19（武汉大学1999）给定幂级数?，

n?2n(n?1)（1）确定它的收敛半径与收敛区间； （2）求出它的和函数．

1ln(1?x)1?2dx． 思考题20（厦门大学2000）利用?2?计算积分?0x6nn?1?11?xdx1?2思考题21（华南理工大学2004）证明：?ln?2??. 201?xx4(2n?1)n?1?例51（华中师大）求级数

?n2n?1??2x3n?1的收敛区间与和函数．

3解 令t?x，则当x?0时，有

?n2n?1n??2x3n?1?13n2?tn?1??2tn，

?3而 limn22?1，所以右端级数收敛区间为(?1,1)，由x?1得原级数的收敛区间为

n??(?1,1)．

记S(x)??n2n?1x0??2x3n?1，则由逐项可积性得：?x?(?1,1)，有

?x?S(t)dt???n2n?10?2??t3n?122dt?3?xn?1?3n22x3， ?31?x3?22x2所以，S(x)?,x?(?1,1)． 32(1?x)7 微分方程法

34

x3x5x7????． 例52 求级数x?1?31?3?51?3?5?7解 由比式判别法知其收敛域为???,??，记其和函数为S?x?，则由逐项微分得

x4x6S??x??1?x?????1?x?S?x?

1?31?3?52即S??x??x?S?x??1．解此微分方程，并注意到S?0??0得S?x??ex22??e0x?t22dt．

35

§2 函数项级数

I 基本概念

一 函数列及其一致收敛性

1 定义

定义1 设?fn?x??是一列定义在同一数集E上的函数，若x0?E，数列?fn?x0??收敛，则称函数列?fn?x??在点x0收敛，x0称为?fn?x??的收敛点，否则称函数列?fn?x??在点x0发散．若?fn?x??在D?E上每点都收敛，则称?fn?x??在D上收敛，全体收敛点所成之集称为收敛域，此时在收敛域上的每一点，都有数列?fn?x??的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为?fn?x??的极限函数．若记之为f，则有

limfn?x??f?x?，x?D．

n??函数列极限的??N定义：limfn?x??f?x?，?x?D??x?D，???0，

n???N?x,???0，?n?N，有

fn?x??f?x???．

若对所有x?D，存在公共的N?0，则称f?x?在D一致收敛，即

定义2 设?fn?x??与f?x?定义在同一数集D上，若???0，?N????0，?n?N，

?x?D，有

fn?x??f?x???，

则称?fn?x??在D上一致收敛于f?x?，记作

，x?D． fn?x? ? f?x?（n??）

2 判定

除用定义判断一致收敛以外，还可以用下面几种方法．

?N?0，?n,m?N，定理1（柯西准则） ?x?D，?fn?x??于D上一致收敛????0，

有

fn?x??fm?x???．

定理2 fn?x? ? f?x?（n??）（x?D）?limsupfn?x??f?x??0

n??x?D?

???0，?N?0，?n?N，有supfn?x??f?x???．

x?D 命题 在D上，fn?f(n??)，若存在数列?an?，使得fn(x)?f(x)?an，且

liman?0，则fn(x)?f(x)(n??),x?D．

n??注 定理2比定理1更为适用，其困难在于求上确界．先求出f?x?（把x看成常数，令

36

，然后求fn(x)?f(x)的极值和最值． n??求之）

3 收敛与一致收敛的关系 （1）fn?f?fn?f；

（2）在有限区间上，fn?f?挖去充分小区间后，fn?f． 4 一致收敛函数列的性质

定理3 设函数列?fn(x)?在(a,x0)?(x0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n，

x?x0limfn(x)?an，则liman与limf(x)均存在，且相等，即

n??x?x0limlimfn(x)?limlimfn(x)．

n??x?x0x?x0n??此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序．

定理4（连续性）若函数列?fn(x)?在区间I上一致收敛于f(x)，且?n，fn(x)在I上连续，则f(x)在上I也连续．

注 若各项为连续函数的函数列?fn(x)?在区间I上其极限函数不连续，则此函数列

?fn(x)?在区间I上不一致收敛．如：?xn?在(?1,1]上．常用此来证明非一致收敛．

定理5（可积性）若函数列?fn(x)?在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则

?ban??limfn(x)dx?lim?fn(x)dx．

n??ab注（1）该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； （2）一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件．如下例： 例 设函数

1?2n?x,0?x?,n?2n?11??x?，n?1,2,?。 fn(x)??2?n?2n?nx,2nn?1?0,?x?1?n?显然fn(x)在[0,1]上连续，且fn(x)?0(n??)，而supfn(x)?0??n，因此，函数列

x?[0,1]一致收敛的充要条件是

?n?0(n??)．由于

?n2n?10fn(x)dx??n2n，因此，

?10fn(x)dx??f(x)dx的充要条件是

01?0(n??)．这样当?n?1时，函数列非一致

收敛，但定理5的结论仍成立．

定理6（可微性）设?fn(x)?为定义在[a,b]上的函数列，若x0?[a,b]为?fn(x)?的收敛点，?fn(x)?的每一项在[a,b]上有连续的导数，且?fn?(x)?在[a,b]上一致收敛，则

dd(limfn(x))?limfn(x)． n??n??dxdx

37

注 由定理的条件可证：?fn(x)?在[a,b]也一致收敛．

二 函数项级数及其一致收敛性

1 定义

定义3 设?un?x??是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u1?x??u2?x????un?x???，x?E （1）

称为定义在E上的函数项级数，简记为

??u?x?，称S?x???u?x?，x?E为函数项级

nnkn?1k?1?n?n数的部分和．若x0?E，级数

??u?x?收敛，则称级数?u?x?在点x收敛，x称为级数

n000n?1n?1（1）的收敛点；若级数

?u?x?发散，则称（1）在点x发散．若（1）在点集D上每点都

n00n?1收敛，则称（1）在D上收敛；级数（1）的全体收敛点所成之集称之为收敛域，这样收敛级数在收敛域D上定义了一个函数，记为S(x)，称之为（1）的和函数，即

?S?x???un?x?，x?D．

n?1定义4 设?Sn?x??是

??u?x?的部分和函数列．若?S?x??在数集D上一致收敛于函数

n?nn?1S?x?，则称?un?x?在D上一致收敛于函数S?x?，或称?un?x?在D上一致收敛．

n?1n?1?2 判断

定理7（一致收敛的柯西准则）若

?u?x?在D上一致收敛????0，?N?0，

nn?1??n?N，?p??，?x?D，有un?1?x????un?p?x???．

定理8 若

?u?x?在D上一致收敛于S?x??limsupS?x??S?x??0

nn?1n??x?Dnn??x?D? ?limsupRn?x??0．（Rn?x??S?x??Sn?x???k?n?1． ?u?x?）

k?推论 级数

?u?x?在D上一致收敛的必要条件是：?u?x??一致收敛于零．

nnn?1定理9（M?判别法、优级数判别法、魏尔斯特拉斯判别法） 设

?u?x?定为义在数集D上的级数．若存在正项级数?Mnn?1n?1??n，使得

un?x??Mn，n?N．

则当

?Mn?1?n收敛时，

?u?x?在D上一致收敛．

nn?1?38

定理10（狄利克雷判别法）设 （1）

?u?x?的部分和函数列?S?x??n?nn?1?在n?1I上一致有界；

（2）?x?I，?vn?x??是单调的； （3）vn?x?? 0（n??），x?I， 则级数

??u?x?v?x?在I一致收敛．

nnn?1定理11（阿贝尔判别法）设 （1）

?u?x?在I一致收敛；

nn?1?（2）?x?I,

??un?x??是单调的；

（3）?vn?x??在I一致有界，即?M?0，un?x??M，?x?I，n?1,2,?． 则

?u?x?v?x?在I一致收敛．

nnn?13 和函数的分析性质

定理12 若un?x?在x0处连续（n?1,2,?），且

?u?x?在xnn?1??0某领域一致收敛，则

S?x???uk?x?在x0处连续．

k?1n定理13 若un?x?在?a,b?内连续（n?1,2,?），且

?u?x?在?a,b?内闭一致收敛，则

nn?1S?x???uk?x?在?a,b?内连续．

k?1n定理14（连续性） 若上也连续，即

?u?x?在?a,b?一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在?a,b?nn?1??????lim??un?x?????limun?x???． x?x0x?x0???n?1?n?1即求和与求极限可以交换次序．

定理15（逐项求积）在定理14的条件下，有

?b???un?x??dx???un?x?dx． ??a?an?1?n?1?b即求和与求积分可交换次序．

定理16（逐项求导）若函数项级数

?u?x?满足条件：

nn?1? 39

（1）un?x?在?a,b?上有连续的导函数，n?1,2,?； （2）?x0??a,b?，

??u?x?在x点收敛；

n?0n?1（3）

?u??x?在?a,b?一致收敛，

nn?1???????x?． 则??un?x????unn?1?n?1?三 幂级数及其收敛域

形如

?a?x?x?n0n?1?n的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为

?axnn?1?n．

1 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理17（阿贝尔引理）对幂级数的任何x，幂级数

?axnn?1?n，若它在点x0?0收敛，则对满足不等式x?x0?axnn?1??n亦收敛且绝对收敛；若

?axnn?1?n在点x0?0发散，则对满足不等

式x?x0的任何x都发散．

由此易得幂级数

?axnn?1n的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R表示区间的长度，称

R为收敛半径，称??R,R?为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点．

2 收敛半径R的求法

定理18 若limnan??，则当

n??（1）0?????时，R?1?；

（2）??0时，R???； （3）???时，R?0．

注 当limnan不存在时，可以上极限代之，结论不变．

n??定理19 若limn??an?1an??，则当

1；

（1）0?????时，R??（2）??0时，R???； （3）???时，R?0．

40

注 我们知道：若limn??an?1an??，则limnan??．这样，从理论上讲，定理19是定理

n??18的特例，但在实际应用中各有优势，当函数项级数的系数为n次幂的形式，常用定理18；若系数含有阶乘或连乘积的形式，则常用定理19 ．若定理18中的极限不存在，则可用上极限代之，结论仍然成立．

2 幂级数的性质 定理20 若对收敛；若

??axnn?1n的收敛半径R?0，则它在??R,R?内任一闭区间都一致收敛且绝

??an?1?nR收敛，则?anxn在?0,R?一致收敛．

nn?1n定理21 若幂级数

?axnn?1?的收敛半径R?0，则其和函数在??R,R?内连续、可积、

可微，且有任意n阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则．

注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性可能发生变化．

四、函数的幂级数展开

1 泰勒级数

若f在U?x0?存在任意阶导数，称幂级数

f?n??x0??x?x0?n?? f?x0??f??x0??x?x0????n!为函数f?x?在x0的泰勒级数．

注（1）泰勒级数未必收敛；

??x12? （2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于f?x?．如f?x???e,x?0 在x?0点．

??0,x?02 收敛定理

的充分必要条件是：?x?U(x0)，limRn?x??0．这里Rn?x?是f在x0的泰勒公式余项．

n??定理22 设f在点x0具有任意阶导数，那么f在U?x0?内等于它的泰勒级数的和函数定理23 若函数f在U?x0?存在任意阶导数，且?M?0，有

f?n??x??M，n?1,2,?，x?U?x0?，

则f?x???n?0?f?n??x0??x?x0?n．

n!41

若函数f?x?在x0的泰勒级数收敛于f?x?，则称泰勒级数为f在x0的泰勒展开式或幂级数展开式，也称f在x0可展为幂级数或泰勒级数．当x0?0时的泰勒级数又称为马克劳林级数．

3 初等函数的幂级数展开式

xn（1）e??，x?R；

n?0n!x?（2）sinx????1?n?1??n?1x2n?1，x?R；

?2n?1?!x2n（3）cosx????1?，x?R；

?2n?!n?0n（4）ln?1?x???????1?n?1xn，x?(?1,1]；

n（5）?1?x??1?n?1??n?1????1?????n?1?n!当???1时，当?1???0x???1,1?；xn，

时，x?(?1,1]；当??0时，x?[?1,1]；

?1（6）??xn，x?1；

1?xn?0?1n（7）????1?xn，x?1．

1?xn?0五、傅里叶级数

1 正交性与正交函数系

定义5 设f，g在?a,b?上有定义，且可积．若在?a,b?上正交．

性质 三角函数系?1,cosx,sinx,?,cosnx,sinnx,??在???,??或?0,2??上具有正交性，称之为???,??上的正交函数系．

?f?x?g?x?dx?0，则称f?x?，g?x?aba0?称形如 ???ancosnx?bnsinnx? 的函数级数为三角级数．

2n?12 傅里叶系数及级数

设函数f是以2?为周期且在???,??上可积的函数，称

an?1?1??f?x?cosnxdx,n?0,1,2,?，

??bn?f?x?sinnxdx，n?1,2,?， ?????为函数f的傅里叶系数，以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅立叶级数，记为

42

a0?f?x?~???ancosnx?bnsinnx? （1）

2n?13 傅立叶级数的收敛定理

定理24 若以2?为周期的函数f在???,??上按段光滑，则在每一点x????,??，f的傅立叶级数（1）收敛于f在点x的左右极限的算术平均值，即

f?x?0??f?x?0?a0?????ancosnx?bnsinnx?．

22n?11注 在区间端点则收敛于?f????0??f???0??．

24 奇偶函数的傅氏级数

设f?x?是以2?为周期，且在???,??上按段光滑的函数，则 （1）若f为偶函数，则bn?0，n?1,2,?，an?此时的傅氏级数常称为余弦级数；

（2）若f为奇函数，则an?0，n?0,1,2,?，bn?此时的傅氏级数常称为正弦级数．

注 对给予?0,??区间上的函数，常作奇（偶）延拓，使其傅氏级数简单． 5 以2l为周期的函数的展开式

设函数f是以2l为周期，且在??l,l?上按段光滑的函数，则?x???l,l?，有

2??f?x?cosnxdx，n?0,1,2,?，

0?f?x?sinnxdx，n?1,2,?，??02?其中an?1ll??lf?x?0??f?x?0?a0?????ancosnx?bnsinnx?，

22n?1n?xn?x1lf?x?cosdx，n?0,1,2,?，bn??f?x?sindx，n?1,2,?．

?llllII 例题选解

一 函数列的收敛与一致收敛

n例1 证明函数列fn(x)?nx(1?x),n?1，在[0,1]上收敛，但非一致收敛．

证 当x?0或x?1时，fn(x)?0,n?1，当x?(0,1)时，0?1?x?1,

limnx(1?x)n?0(级数?nx(1?x)n收敛), 所以f(x)?limfn(x)?0，即fn(x)在

n??n??[a,b]上收敛．

111supfn(x)?f(x)?fn(n)?(1?n)n?e?0(n??)， x?[0,1]所以，fn(x)在[a,b]上非一致收敛．

例2（哈尔滨工大1999）设连续函数列?fn(x)?在闭区间[a,b]上一致收敛于函数f(x)，

43

xn?[a,b](n?1,2,?,)，且limxn?x0．证明：limfn(xn)?f(x0)．

n??n??分析：fn(xn)?f(x0)?fn(xn)?f(xn)?f(xn)?f(x0)． 证 由一致收敛定义得：???0,?N1?0,?n?N1,?x?[a,b]，有

fn(x)?f(x)??． （1）

又?fn(x)?连续，且一致收敛于f(x)，所以f(x)在[a,b]也连续，则对上述??0，???0，当x?U(x0,?)?[a,b]时，有

f(x)?f(x0)??．

而limxn?x0，则对上述??0,?N2?0, 当n?N2时，有xn?x0??，从而当n?N2时，

n??有

f(xn)?f(x0)??． （2）

取N?max?N1,N2?，则当n?N时，（1）和（2）式均成立，故有

fn(xn)?f(x0)?fn(xn)?f(xn)?f(xn)?f(x0)?2?，

即 limfn(xn)?f(x0)．

n??例3（武汉大学2001）设?fn(x)?在[a,b]上连续，且?fn(b)?发散，证明：?fn(x)?在[a,b]上非一致收敛．

证 假设?fn(x)?在[a,b]上一致收敛，则由柯西收敛准则得：

???0,?N?0,?n,m?N, 有

fn(x)?fm(x)??，

又fn(x)(n?1)在[a,b]上连续，令x?b得

?fn(b)?fm(b)??，

由数列的柯西收敛准则知?fn(b)?收敛，矛盾，所以，?fn(x)?在[a,b]上非一致收敛．

例4（华东师大1999）设对每一个n，fn(x)为[a,b]上有界函数，且

fn(x)?f(x)(n??),x?[a,b]．

证明：（1）f(x)在[a,b]上有界；

（2）limsupfn(x)?supf(x)．

n??a?x?ba?x?b证（1）由一致收敛定义得：对??1,?N?0, 当n?N时，?x?[a,b]，有

fn(x)?f(x)?1，

特别地，有f(x)?fN(x)?1，由fN(x)的有界性立得f(x)在[a,b]上有界．

（2）由题设及（1）知上确界都存在，且有

a?x?bsupfn(x)?supf(x)?supfn(x)?f(x)，

a?x?ba?x?b由此易得结论（2）成立．

思考题1（南开大学1999）设函数列?fn(x)?在区间I上一致收敛于f(x)，且存在数列

?an?，使得当x?I时，总有

fn(x)?an．证明：f(x)在I上有界．

44

例5（华东师大2000）设?fn(x)?为[a,b]上连续函数列，且

fn(x)?f(x)(n??),x?[a,b]． （1）

证明：若f(x)在[a,b]上无零点，则当n充分大时，fn(x)在[a,b]上无零点，，且有

11?(n??),x?[a,b]． fn(x)f(x)证 由函数列一致收敛的性质知f(x)在[a,b]上连续，又f(x)在[a,b]上无零点，故由连续函数的零点定理知f(x)在[a,b]上不变号，不妨设f(x)?0．设m为其最小值，则m?0．由（1）得：对??m2，?N?0，当n?N时，?x?[a,b]，有

fn(x)?f(x)??，

由此得：当n?N时，有

fn(x)?f(x)???m， 2所以当n?N时，fn(x)在[a,b]无零点．同时，我们有

f(x)?f(x)114??n?2fn(x)?f(x)， fn(x)f(x)fn(x)f(x)m11(n??),x?[a,b]． 由一致收敛的定义立得?

fn(x)f(x)例6（华东师大2001）设f(x)在[0,1]上连续，f(1)?0．证明： （1）?xn?在[0,1]上不一致收敛； （2）?f(x)?xn?在[0,1]上一致收敛．

证（1）由于

?0,0?x?1, f(x)?limxn??n??1,x?1,?nn即f(x)在[0,1]上不连续，而x连续，故x在[0,1]上不一致收敛．

（2）由f(1)?0及连续得：???0,???(0,1)，当x?(1??,1]时，有f(x)??，

????n从而当x?(1??,1]时，有f(x)?x??．又f(x)在[0,1]上连续，故存在M?0，使得

?x?[0,1]，有f(x)?M，于是有

limsupf(x)?xn?Mlim(1??)n?0，

n??x?[0,1??]n??从而当n充分大时，有

supf(x)?xn?0??，

即f(x)?x?n?在[0,1]上一致收敛于0．

x?[0,1]例7（河北师大）（1）设（i）fn(x)(n?1,2,?)在[a,b)上连续； （ii）?fn(x)?在[a,b)上一致收敛于f(x)； (iii) 在[a,b)上fn(x)?fn?1(x),n?1 ， 试证：e

?fn(x)?在[a,b)上一致收敛于ef(x)．

45

（2）若将（1）中条件（iii）去掉，（1）中结论是否还成立？试证明你的结论． 证（1）由例4的结论知，?M?maxa,b，使得

??fn(x)?M,f(x)?M,?x?[a,b),n?1．

令g(x)?ex，则g(x)在[?M,M]上连续，从而一致连续，即???0,???0, 当

x1,x2?[?M,M]，且x1?x2??时，有

ex1?ex2??．

又?fn(x)?在[a,b)上一致收敛于f(x)，所以对上述??0，?N?0，当n?N,?x?[a,b)，有 fn(x)?f(x)??，从而有

efn(x)?ef(x)??，

由定义知 en在[a,b)上一致收敛于e．

（2）结论仍然成立．这是因为在（1）的证明中根本没有用到条件（iii）．

思考题2（北京科技大学2001）设?fn(x)?在[a,b]上连续，且一致收敛到f(x)．证明：

（1）?M?0，使得?n?1,?x?[a,b]，有fn(x)?M,f(x)?M； （2）若g(x)在(??,??)内连续，则g(fn(x))在[a,b]上一致收敛到g(f(x))． 存在正数列?Mn?，使得

例8（北京大学1996）设在[a,b]上，fn(x)一致收敛于f(x)，若gn(x)一致收敛于g(x)．

?f(x)?f(x)fn(x)?Mn,g(x)?Mn,x?[a,b],n?1．

证明：fn(x)?gn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)g(x)．

提示：仿例4可证fn(x),f(x)和gn(x),g(x)均在[a,b]上一致有界，然后利用定义即可． 例9（中科院2000）设函数f(x)在[a,b]上有连续的导函数f?(x)，a???b．对每一

11，定义函数：fn(x)?n[f(x?n)?f(x)]．试证：fn(x)在[a,?]上一b??致收敛于f?(x)．

证 f?(x)在[a,b]上连续，从而一致连续，即???0,???0，?x1,x2?[a,b]，当

个自然数n?x1?x2??时，有

f?(x1)?f?(x2)??．

取N?max?,分中值定理得

?111?n?Nx??[a,b]，从而由上式和微?x?[a,?]，则当时，，有?n?b????fn(x)?f?(x)?f?(x??n)?f?(x)??(0??n?n?1??)，

即fn(x)在[a,?]上一致收敛于f?(x)．

思考题3（北航）证明：对任意实数x，级数

sinx?sinsinx?sinsinsinx??

收敛．

提示：利用Leibniz判别法．

46

二 函数列与函数级数的一致收敛判别法

1 定义法

例10 设f?x?在R上有连续的导函数，fn?x??enfx?e?n?f?x?（n?1,2,?）．证解 由微分中值定理得

????明：?fn?x??在任一有限区间?a,b?内一致收敛于f??x?．

fx?e?n?f?x??n???，， x???x?e??????fn?x??f??x???fx?f??fx?ne又因为f?在?a,b?1?上一致连续，即???0，???0（??1），当x1,x2??a,b?1?，

1x1?x2??时，有f?x???f?x?????，取N?ln，则当n?N，?x??a,b?，有

?fn?x??f??x???，

故fn?x??f?x?（n??），x??a,b?．

n?1??例11设fn(x)?1k其中f(x)在(??,??)上连续．求证：函数列?fn(x)?f(x?)，?nnk?0，因此只需证：???0，?N?0，?f?x?t?dt（n??）

01在有界闭区间[a,b]上一致收敛．

分析：容易看出fn?x???n?N，x?I，有

fn?x???f?x?t?dt??，．

01证 由定积分定义知

limfn(x)??f(x?t)dt．

n??01由于f(x)在(??,??)上连续，所以f(x)在[a,b?1]上一致连续，即???0,???0,?x1，

x2?[a,b?1]，当x1?x2??时，有

f(x1)?f(x2)??．

取N???1?1，则当n?N时，由上式得 f(x?n)?f(x)??，从而有

fn(x)??f(x?t)dt?01??k?0n?1k?1nknk(f(x?)?f(x?t))dt

n ???k?0n?1即?fn(x)?在[a,b]上一致收敛． 思考题4（兰州大学）设fn(x)?上一致收敛．

例12（北京大学）至少用两种方法证明级数

k?1nknkf(x?n)?f(x?t)dt??，

1k证明：?fn(x)?在(??,??)cos(x??n),n?1,2,?．nk?1n?xn?0?n在[0,1)上非一致收敛．

47

xn(1?n?1)n1n证法一 limsupRn(x)?limsup?lim?limn(1?n)???，所n??x?[0,1)n??x?[0,1)1?xn??1?(1?n?1)n??以

?xn?0?n在[0,1)上非一致收敛．

1?xn1xn,S(x)?证法二 在[0,1)上，Sn(x)?，Sn(x)?S(x)?．取1?x1?x1?x?0?1?0,?N?0,?n0?N?2?N,?x0?1?(2n0)?1?[0,1)，有

1n011Sn0(x0)?S(x0)?2n0?(1?)?2(1?)?2(1?)?1??0，

2n022由定义知

?xn?0?n在[0,1)上非一致收敛．

n注 在证法二中运用了贝努里不等式：当x??1时，有(1?x)?1?nx．可用数学归纳法证明这个结论．

思考题5（同济大学）证明：

?xn?1?n(1?xn)在[0,1]上处处收敛，但非一致收敛．

提示：当x?1时显然收敛，当x?[0,1)时，一致收敛类似上题证法一．

思考题6（中科院）证明：函数级数

?xn?1?n(1?x)??x??x2n，收敛．非

nnn?1n?1??n在(0,1)内收敛，但非一致收敛． ?3n?01?nx?提示：证明非一致收敛时取x0?n?3．

例13（吉林大学）设0?x??,xn?1?sinxn,n?1,2,?．证明： （1）limxn?0；

n??（2）级数

?xn?1?pn当p?2时收敛，当p?2时发散．

证 由第一章例26得

limn??xn3n?1，

由此立得结论成立．

2 放大法

对于函数列，将fn?x??f?x?适当放大至一个与x无关的收敛于零的数列（无穷小量），即

fn?x??f?x???n?0（n??）

其中?n与x无关．

对于级数，则讨论其余项Rn?x?，即

， Rn?x???n?0（n??）

48

其中?n与x无关．

实现放大有很多技巧，如通过已知的不等式，求极值，余项估计，递推放大等． 例14 设fn?x?在?a,b?上可积，n?1,2,?，f?x?，g?x?在?a,b?上也可积，且

lim?fn?x??f?x?dx?0，

2n??axb记h?x???xaf?t?g?t?dt，hn?x???fn?t?g?t?dt，则在?a,b?上hn?x??h?x?(n??)．

a证（不等式法）由于

hn?x??h?x??x?a?fn?t??f?t??g?t?dt212x12x??fn?t??f?t?g?t?dt

a212x????afn?t??f?t?dt??????ag?t?dt?? ????????afn?t??f?t?dt??????ag?t?dt???0(n??)． ????所以，hn?x??h?x?(n??)，?x?[a,b]．

22bb12x?lnn?例15（广西大学）给定函数列fn?x??（n?2,3,4,?）．试求当?为何值时，xn?fn?x??在?0,???上一致收敛．

?111?x?x?知：当时，严增，当??fx?x??nnlnnlnnnx?lnn?1?1?时，fn?x?严减，因此函数fn?x?在x?处取最在值，最大值为fn??．此外，易求

lnnlnn??极限函数为f?x??0，于是，当n??时，有

??0,??1,??1??1????1lnnlnn1???1??1??e,??1, ??supfn?x??f?x??fn???lnn???11x?[0,??)?lnn?????,??1,?elnn?lnnenlnn?所以?fn?x??当且仅当??1时，在?0,???上一致收敛．

例16（湖北大学2002）试问k为何值时，fn(x)?xnke?nx在[0,??)上一致收敛． 解 ?x?[0,??)，有

??1?lnn??解（极值法） 由f??x??xnkf(x)?limfn(x)?limnx?0，

n??n??e?1?1?1k?1k?nx而fn?(x)?ne(1?nx)，令fn?(x)?0得x?n，且f??(n)??ne?0，所以x?n为其极大值点，又fn(0)?0,limfn(x)?0，所以也是其最大值点，于是

x??x?[0,??)supfn(x)?f(x)?fn(n?1)?e?1nk?1，

k?nx由此可得，当k?1时，fn(x)?xne在[0,??)上一致收敛．

49

例17 试证：

n???1?n?1?n在???,???内一致收敛． 22n?xyx2?y2证（余项估计法） 设f?y??2，则f??y??．可见?x?R，当y充2222x?yx?y分大时，f?y?是单减的，即级数通项是单减的．因而是Leibniz级数．因此，当n充分大时，

n?11， Rn?x????0（n??）22?n?1??xn?1所以该级数在R内一致收敛．

?nx例18 讨论?在?0,a?与?a,???内的一致收敛性（a?0为常

??????1?x1?2x?1?nxn?1??数）．

解 原级数可写成

??nx1nx?， ????????1?x??1?2x???1?nx?n?1??1?x??1?2x???1??n?1?x?1?nx?n?1??11nx收敛（），?x??0,???，级数??n?1?1?x???1??n?1?x??1?x?1?x??1?2x???1?nx?n?1??nx?数列??单增有界，由阿贝尔判别法知其收敛，此外，

?1?nx???kxkx?1?1 Rn?x?????1?x???1?kx?k?n?1?1?x???1??k?1?x??1?kx?k?n?1????11 ?????1?x???1??k?1?x??1?x???1?kx??k?n?1??1?． ?1?x???1?nx??由此立得

x??0,a?supRn?x??1，supRn(x)?x??a,???所以在?0,a?内非一致收敛，在?a,???内一致收敛．

1?0（n??）．

?1?a???1?na?例19（吉林工业大学）设f1?x?在?a,b?上正常可积，fn?1?x??明：函数序列?fn?x??在?a,b?上一致收敛于零．

?f?t?dt，n?1,2,?．证

anx证（递推方式放大） 由f1?x?在?a,b?上正常可积知f1?x?在?a,b?有界，即?M?0，使得

f1?x??M，?x??a,b?．

从而

f2?x???f1?t?dt?M?x?a?，

ax 50

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