华师大版-数学-九年级上册-解直角三角形的中的数学思想

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 解直角三角形的中的数学思想

数学思想是数学的灵魂，学习了解直角三角形，下面向大家介绍其中的一些数学思想．

一、数形结合思想

在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．

例1 已知tanA=4

3，求sinA 的值． 分析：此已知条件可转化为：已知Rt △ABC 中，

∠C=90°， tanA=4

3，求∠A 正弦值． 解：如图1，若设AC=3k ，BC=4k ，那么必有AB=5k ，所以sinA=

5

3=AB AC ． 二、转化思想 将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高．

例2 如图2，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC ．

分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．

解：作AD ⊥BC 于D ，

在Rt △ABD 中，因为∠B=45°，

所以BD=AD=AB·sin45°=8×22=42， 在Rt △ACD 中，AD=42，∠C=60°，

所以AC=6382

3

2460sin ==?AD ． 三、方程思想

通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想． 例3 如图3，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．

解：作CD ⊥AB 垂足为D ，设气球离地面的高度是x cm ，

图1 图2

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x ，

在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD

CD ，所以BD=x 33 因为AB=AD-BD ，所以20=x -x 3

3，所以x =30+303， 所以气球离地面的高度是（30+303）m ．

四、建模的思想

解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．

例4 如图4，公路PQ 和公路PN 在P 处交汇，∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160m ，设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN 上由P 向N 方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s ，如果有影响，那么影响的时间是多长？

分析：学校是否会受影响，取决于点A 到PN 的距离与100m 的长短的比较．

解：过点A 作AB ⊥PN ，垂足为B ，因为∠NPQ=30°，

所以AB=801602

121=?=AP (m)<100m ． 所以学校会受影响．设拖拉机行至C 处时学校刚受影响， 超过D 处时不在受影响，则AC=AD=100(m)，

在Rt △ABC 中，BC=608010022=-，

同理BD=60，所以CD=120．

所以学校受影响的时间为t=

s s

m m h km m 24/.5120/18120==． 图4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s31q.html