最优解唯一性证明

3, optimum problem

maxU(x1,x2)?x1x2

22{x1,x2}s.t. 3x1?2x2?12,x1?0,x2?0

求U的最大值，并证明其存在性和唯一性。 解：

1，效用函数U为指数形式，可以取对数来求其最值。

记 V?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2 （这里的log 是自然对数） 写出lagrange 函数L?2logx1?2logx2??(12?3x1?2x2) K－T条件：

?L?x1?L?x2?L???2x12x2?3??0,

??2??0,

?L???12?3x1?2x2?0,??0,???(12?3x1?2x2)?0

分析K－T条件： 1，??0，矛盾。舍去 2，??13?0,x1?2,x2?3，

2222maxV?2log2?2log3 maxU?x1x2?2*3?36

充分性证明：V(x1,x2)?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2， 写出海赛矩阵，判断最值。 ?V?x1?V?x2?2,?V22x1?x122??2x12,?V?x1?x2,?V?x1?x222?0

?x2?x2,?V2??2x22?0

??2V?2?x海赛矩阵为：?21??V???x1?x2?V?x1222?V??2???2?x1?x2x1???2?V??02???x2?????2??2x2??0

??2x12??222?0

?2x1020?2x22??22020?232?19?0，相应的海赛矩阵负定。

所以，(2,3)处V取得最大值，相应U为最大值。

2，证明最大值的存在性：如果约束集G(a)是非空紧集，函数f是连续的，那么，这一极大化问题存在一个解x*。（P541，瓦里安）

非空紧集，就是有界闭集，约束集{(x1,x2)3x1?2x2?12,x1?0,x2?0}有界闭集。 函数V(x1,x2)?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2连续。所以存在最优解。

3，证明最大值的唯一性：如果函数f是严格凹的，且约束集是凸的，那么若解存在，则它是唯一的。（p541，瓦里安）

注意：这是唯一性的一种条件，并不是等价条件。 约束集为凸集可以根据定义证明

严格凹函数可以用凹函数的定义来证明具体的函数为凹函数，也可以由其海赛矩阵负定来判断（p530，瓦里安）。 函数V(x1,x2)?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2的海赛矩阵写为 ??2V?2?x1?2??V???x1?x2?V?x1222?V??2???2?x1?x2x1???2?V??02???x2????? 2??2x2??0??2x12??0

??2V?2?x1?2??V???x1?x22?V?2??2?x1?x2x1??2?V?02??x2?0?2x22?4x1x222?0

海赛矩阵负定。

矩阵正定：各阶顺序主子式大于0。

矩阵负定：矩阵的奇数阶主子式小于0，偶数阶主子式大于0。 见 线性代数 教材

这个题目是有些特别，同学们花了很大的气力来做这道题目。 1， 如果不取对数，该指数形式的函数不能用海赛矩阵来判断负半定，凹函数是无法证明的。

p541，瓦里安的假设也就不能用。

2， 然而取对数改变了原函数的凹凸性质，但没有改变其极值。

3， 还有的教材是说：如果约束集G(a)是非空紧集，函数f是拟凹的，如果存在最优解，

则该最优解是唯一的。许多同学用柯西不等式进行推导，得出函数f拟凹，也是可以的。 4， 很多同学对U函数的海赛矩阵进行判断，并说其负定，是有些稀里糊涂的。

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