高数证明题(1)

四、重点关注题目

1.证明：方程

?x0t4dt?4x?2在区间（1,2）只有唯一实根。

2.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?个实根。

3.设f(x)在?0,?上连续，且f(x)?1，证明：方程

2?x0f(t)dt?1在（0,1）内只有一

?π????x01?t4f(t)dt??0cosxe?tdt?0在

2?π?

?0,?内有唯一实根。 ?2?

4. 试证:当0?x1?x2??2时,

tanx2x2? tanx1x15. 当x?0时,arctanx?1?? x26.当x?0时，(1?x)e?2x?1?x

7.证明：当1?x?0时，2ln(1?x)?ln2(1?x)?2x 8.证明：当x?0时，(1?x)ln(1?x)?arctanx

9.证明：当0?x?y??2时，

1tany?tanx1??

cos2xy?xcos2y10. 当x?1时，试证：

1n?1x?1x?1x?1?ln?. x?1221n1n?11naa?aa??(a?1,n?1)

(n?1)2lnan2x?ln(x?1)?x 12.证明：当x?0时，

x?111. 证明：

13.试证：当a?b?0,n?1时，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).

?14. 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在??(a,b)使得

f(?)?g(t)dt?g(?)?f(t)dt.

?ab15.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0，试证：???(a,b)，使得f?(?)?kf(?)?0成立（k为实常数）.

16. 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)?1．证明：在

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(0,1)内至少存在一点?，使得f(?)??f?(?)?2??0成立．

18. 证明：19. 求证：

?n?1In?2，并计算I6??2sin6xdx. 20. 设In??2sinxdx，试证In?00nn?π20sinxdx??cosnxdx.

πxsinxππxf(sinx)dx??f(sinx)dx，并计算?dx。

01?cos2x20nπ20?π0?21.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且（1）

?10f(x)dx?0，证明：

?[f(1?x)?f(x)]dx?0；

01（2）???(0,1)，使得f(1??)?f(?)?0.

23.设f(x),g(x)在[?a,a]上连续，g(x)为偶函数，f(?x)?f(x)?2， 证明：

?a?af(x)g(x)dx?2?g(x)dx.

0a24. 设f(x)在x?x0处导数存在，试证：f(x)在x?x0处连续。

25. 设函数f(x)在区间(a,b)内处处导数存在，且f?(x)?0，试证：f(x)在区间(a,b)内是增函数。

26. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f?(x)?0，试证：f(x)在区间(a,b)内是常值函数。

27.已知函数f(x)在[a,b]上连续，设F(x)??xa f(t)dt,x?[a,b]，试证：F?(x)?f(x)。

28.数f(x)在[a,b]上连续，且F?(x)?f(x)，证明：

?baf(x)dx?F(b)?F(a)。

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