高中数学新课程教学设计 - 3

高中数学新课程教学设计

课 题： A版必修4《平面向量基本定理》 单 位： 苍南县宜山高级中学 姓 名： 周 正 旭 邮 编： 325803 联系电话： 13906776515 （虚拟676515） 电子信箱： zhengxu30@yahoo.com.cn

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。同时，平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想。 二、目标和目标解析

（1）了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向量，为向量坐标化打下基础。 （2）通过对平面向量基本定理的学习过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法。

（3）经历平面向量基本定理的形成探究过程，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁。

三、教学问题诊断分析

（1）在前面的教学过程中，对于向量的加法，数乘向量都有非常坚实的物理背景，但在这里舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，会给学生在理解平面向量基本定理 时造成一定的难度，我们可以在教学中穿插物理实例。

（2）以往的教学存在的主要问题是学生只关心定理的结论，却经常忽略定理的条件。针对这一问题，教学时可以通过设计小问题对定理中的“两个不共线的向量”这一条件加以巩固。

（3）学生对基底的不唯一性可能会认识不深，可以通过让学生作图来加深体会。 四、教学支持条件分析

数学教学过程，事实上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究，探索的过程，继而对其进行延拓，创新的过程。于是，教师如何设计数学问题，选择数学问题就成为数学教学活动的关键。而问题又产生于情境，因此，教师在教学活动中创设情景就是组织课堂教学的核心。现代多媒体信息技术如网络信息，多媒体教学软件等的应用为我们提供了强大的情景资源。在本课的教学中，利用PowerPoint及几何画板制作动态的平面向量课件，学生通过探索，可以发现平面向量的基本定理，并深刻的理解平面向量基本定理的意义和作用。在条件不具备的情况下，应更多的让学生动手作图。 五、教学过程设计

（1）教学基本流程 创设情境、引入课题 （2）教学情景

1．创设情境、引入课题（多媒体展示）

同学们喜欢看军事演习吗？下面我们来看一段录像……，炮声阵阵中蕴含着许多的数学知识。 问题1：1）录像中火箭炮发射时的后挫力可如何分解？ 2）录像中火箭炮的发射的炮弹初速度可如何分解？

设计意图：以学生为本，根据现代建构主义理论，从思维的最近发展区出发，通过对物理中力和速度的分解的类比，激活了学生原有的认知规律，巧妙引入课题，并为知识结构的优化奠定基础。

师生活动：教师先提问，学生根据所学知识来回答，引出课题。 2．探索定理

探索定理 定理应用 归纳小结 布置作业 ??????问题1：如果e1、　e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量。

??????1）想一想，如何运用向量的加法运算及共线知识，用e1、　e2表示出a？ 2）如何处理自由向量？

3）归结到同一起点后所得到的图形和前面的哪部分知识有类似的地 方？能得到什么结论?

设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。师生共同体验定理。

师生活动：

学生：分组作图相互交换体验,

?教师：巡视各组，及时答疑，待学生作图完毕，再用几何画板展示，重点突出向量a的任意性。

师生：在学生总结的基础上，教师给出确切的回答，并放投影片

??????平面向量基本定理：如果e1、　e2是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有

???且只有一对实数?1、?2，使a??1e1＋?1e2。

?????我们把不共线的向量e1、　e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 问题2：在平面向量基本定理中

????? 1）为什么基底e1、　e2必须不共线？

2）定理中?1、?2的值是否唯一？

设计意图：分步提问，逐步推进，让学生初步理解定理

师生活动：教师利用几何画板展示，使学生在观察中思考，思考中得到答案。 问题3：1）一组平面向量的基底有多少对？

2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数?1、?2是否相同？

设计意图：通过问题之后的反思，具体地理解概念，达到对所学概念的梳理． 师生：共同学习向量的夹角概念（放投影片） 学生：分组讨论

教师：总结强调

???? 1）计算a与b夹角时，要把向量a、　b起点平移到一起

2）夹角的范围[0, ?]

??3）夹角?的大小与a、　b的位置状态无关。

????????问题4：在正三角形ABC中，求AB与BC的夹角是多少度？

设计意图：巩固两向量的夹角概念，令学生在做题中体验强调中的（1） 师生活动：请学生回答，如学生做错，要讲清错误之所在。 3．定理应用

??????????例1．1）已知向量e1、　e2，求作向量－2.5e1＋3　e2

?????2）若e1、　e2是平面内所有向量的一组基底则下面的四组向量中不能作为一组基底的是( )

??????????????????????????????????????A.　e1?e2,e1?e2 B.3e?6 e1.2,e1?e2?e1 C.e De 1?2e2,4e21?3e2,e23

设计意图：让学生通过作图深刻体验定理以及对基底的理解

师生活动：请学生板书作答第1）题，师生共同总结作图步骤；对于第2）题师生共同总结得：判断是不是基

底的依据——是否共线？

????????????????????????????????例2.如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交与点O,且AB?a,AD?b,用a,b 表示OA、OB、OC、OD?

A O B

C D

变式：如图，ABCD中，对角线AC、BD交于O点，在A、B、C、D、O中

任取两点，可以构成多少个向量？选取两个不共线的向量作为基底后，余下其它向量能用这两个向量表示吗？若能，请举例说明。

设计意图：让学生通过在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题，同时开放型的题型，更有利于学生发散型思维的训练。

师生活动：教师应尽可能让更多的学生举出不同的实例，并引导他们认识到基底的随意性。

????????????????????????????例3：如图，OA,OB，不共线，AP?tAB(t?R)，用OA,OB表示OP。

设计意图：巩固定理,运用定理

师生活动：学生独自演算，然后学生回答教师板书。 o 教师总结：A，B，P共线总有此结论，提醒学生注意观察式子的特征。 4．归纳小结

通过本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？ 设计意图：发展学生对知识的组织、整合、诠释的能力，善于纳入知识系统，形成知识网络。 师生活动：以学生自我小结为主，教师只做适当的补充，学生口述，教师板书。 5．布置作业

设计意图：把分层评价贯彻在课堂教学始终，使全体学生才智潜能充分展现，都受到教师关注、肯定与激励. 必做题：

P B

A ?????????????1）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角形，F为ED的中点，EA?e1,EF?e2,以e1,e2为基底表示向量

????????AF?_____________;AB?___________________

????????AD?_____________;BD?___________________

???????????????2）设AM是?ABC的中线，AB?a,AC?b,则AM?____

???????????????3）△ABC中，BC?a,CA?b,AB?c

????????????三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则AD?BE?CF?_____

设计意图：通过本题评价学生在解题时能否对平面向量基本定理的进行灵活的应用。

??????????选做题：已知△ABC中，，AC?b，BC?c，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点。求证:

??????（1）AE?（a?b）/2

?????????????（2）AE?BE?CD?0

设计意图：本题体现了向量的工具性，通过本题评价学生对于用向量方法证明几何命题掌握程度。 【反思与探讨】

反思：本课以平面向量基本定理为线索，在教学中，让学生从生活中的物理问题入手，引发学生去思、去疑、去设计、去探索，同时以向量的三种基本运算为载体，通过对问题的探索，得出对平面向量基本定理的猜想，然后让学生通过问题串，证明猜想的正确性，进而得到定理；接着，让学生运用该定理去解决例题，在解决例题的过程中通过多媒体教学手段，有目的的把学生的思维引导到用平面向量基本定理解决问题上来，在这过程中，通过师生合作讨论研究，充分让学生表述自己的观点，共同分析解答，找到解决问题的方法。并通过问题的变式延伸，适当的引导，让学生通过化归，紧紧抓住动手作图这条主线将建构知识、能力、情感系统；并有目的的指导学生学法，创设使每个学生都能发挥创新的平台，开放式的课堂兼之分层评价的激励，能够及时反馈与调节本节课教学效果与学生的掌握情况。

探讨：1．在例3的讲解过程中，是否可以根据学生的兴奋度对其作适当的引申。

2．在布置作业环节中，曾想设计一个来自生活中的物理题目，与课题引入前后呼应，也能体现数学来源于生活，寓于生活，用于生活，由于时间匆促，水平有限未能找到合适的题目，甚是遗憾。

《参考资料》

1．罗增儒 中国数学课例分析 西安，陕西师范大学出版社，2007 2．郑毓信 建构主义之慎思，数学通报，2004，9

3．高中数学新课程教学设计范例《众数，中位数，平均数》 温州教科研网

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