2017届人教A版 三角函数与平面向量 考点演练

1．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( ) 2－1 B．1 2＋1 D．2 解析：选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，所以a·b＝0，所以|a－b|＝（a－b）＝a＋b－2a·b＝2

，所以|a－b－c|≥||a－b|－|c||2－1.

2.

(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C

→→→→

是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为( )

1

A．－1 B

2

1 D．2 2

→→

解析：选D.注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD＋BE

12π→→→→→→→1→→→→→

＝2BC.又BE－CE＝BE＋EC＝BC，且|BC|＝T＝1，因此(BD＋BE)·(BE－CE)＝2BC

22π

2

＝2.

3．(2015·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________．

解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得 ADAB

＝， sin Bsin∠ADB

2

所以sin∠ADB＝

2

所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.

所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB2.在△ABC中，由正弦定理，得＝

ACsin B

BC

AC＝6.

sin ∠BAC6 4．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

π

解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ ωx＋，

4

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，

ππ

π

所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋

424

2kπ，k∈Z.

2πωπππ

又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝.

2242

π

答案：

2

π

5．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<，x∈R

2

的图象的一部分如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－ 时， 求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈ 3

解：(1)由题图知A＝2，T＝8，

2ππ

因为T＝＝8，所以ω＝.

ω4

又图象经过点(－1，0)，

π

所以2sin φ ＝0.

4 ππ

因为|φ|<φ＝.

24

ππ

所以f(x)＝2sin ＋.

4 4

(2)y＝f(x)＋f(x＋2)

πππππ

＝2sin x＋2sin x＋＋

424 4 4

πππ

＝2sin x＋＝22cosx.

42 4

23πππ

－6，－，所以－≤≤－. 因为x∈ 3 246ππ2

所以当＝－xy＝f(x)＋f(x＋2)；

463π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2. 4

6．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(ab)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；

(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3.

π

由于0＜A＜π，所以A＝.

3

(2)法一：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，

π

而a7，b＝2，A＝，

3

得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0. 因为c＞0，所以c＝3.

13

故△ABC的面积为bcsin A＝.

22

72

法二：＝

πsin Bsin

3

21

从而sin B＝

7

27

又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝

7

π

故sin C＝sin(A＋B)＝sin B＋

3

ππ321

＝sin Bcos＋cos Bsin

.

3314

13所以△ABC的面积为sin C＝22

1．已知函数f(x)＝2cosx＋23sin xcos x(x∈R)．

π

(1)当x∈ 0时，求函数f(x)的单调递增区间；

2

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

ππ

解：(1)f(x)＝2cos2x3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin 2x＋ ＋1，令－2kπ

26

ππ

≤2x＋≤2kπ，k∈Z，

62

ππππ

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因为x∈ 0，，所以f(x)的单调递增区间为 0， .

362 6

ππ1

(2)由f(C)＝2sin 2C＋＋1＝2，得sin 2C＋＝，

6 6 2

ππ13ππ5π

而C∈(0，π)，所以2C＋∈ ，所以2C＋π，解得C＝.因为向量

6 66636sin A1

m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，所以.

sin B2

a1

b2

π

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝9.②

3

联立①②，解得a＝3，b＝23.

xxx

2．(2015·高考福建卷)已知函数f(x)＝103sin 10cos2.

222

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π

(2)将函数f(x)a(a＞0)个单位长度后得到函

6

2

数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.

①求函数g(x)的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

xxx

解：(1)因为f(x)＝3sin 10cos2

222

＝3sin x＋5cos x＋5

π

＝10sin(x＋)＋5，

6

所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.

π

(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a

6

＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．

又已知函数g(x)的最大值为2， 所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8.

②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无

4

穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0

5

π434

由知，存在0＜α0sin α0. 5235由正弦函数的性质可知，

4

当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞

5

因为y＝sin x的周期为2π，

所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，

4

均有sin x

5

π

因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α01，

3

4

所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞.

5

即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

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