线性代数B答案

线性代数模拟题

一．单选题. 1. 若

(?1)N(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k、l的值及该项符号

为（ C ）．

（A）k?2，l?3，符号为负； (B) k?2，l?3符号为正； (C) k?3，l?2，符号为负； (D) k?1，l?2，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

(A) (B)

n阶行列式中，零元素个数多于n2?n个； n阶行列式中，零元素个数小于n2?n个；

(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个； (D) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．

3. 设A，B均为n阶方阵，若?A?B??A?B??A2?B2，则必有（ D ）． （A）A?I； (B)B?O； (C)A?B； (D)AB?BA． 4. 设A与B均为n?n矩阵，则必有（ C ）． （A）A?B?A?B；（B）AB?BA；（C）AB?BA；（D）?A?B?5. 如果向量?可由向量组?1,?2,....,?s线性表出，则（ D ）

(A) 存在一组不全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (B) 存在一组全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (C) 对?的线性表示式不唯一 (D) 向量组?,?1,?2,....,?s线性相关 6. 齐次线性方程组

?1 ?A?1?B?1．

Ax?0有非零解的充要条件是（ A ）

(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合

－

7. 设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA1)2＋I必有特征值（C ）

22

(a)λ+1 (b)λ-1 (c)2 (d)-2

8. 已知

?32?1???A??00a? 与对角矩阵相似，则a＝（ A ）

?000??? (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A，B，C均为n阶方阵，下面（ D ）不是运算律．

（A）?A?B??C?(C?B)?A ； （B）(A?B)C?AC?BC； （C）(AB)C?A(BC)； （D）(AB)C?(AC)B． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

?001??100??100??100?????????(A)?010?；（B）?000?；（C）?020?；（D）?01?2?．

?100??010??001??001?????????二．计算题或证明题（

1. 已知矩阵A，求A10。其中A???参考答案：

?10??? ?12??A??E=1??0，求的A的特征值为?1=1，?2=2。 =（1??）（2??）?12???00??1?当?1=1时，解方程（A-E）x=0，由A?E???，得基础解系?1???，单位化

?11???1?为p1?1?1??? 2?1???10??1?，得基础解系??2???，单位

?10???0?当?1=2时，解方程（A-2E）x=0，由A?2E??化为p2???

?1??0???将P1、P2构成正交矩阵：P??p1,p2??????1212?1??10??，有P?1AP?????

02???0??，

则

?10?P?1A10P??10??10?02????1?A?P?P??2????啊，不知道怎么回事。

1212?1??010???0??10??1??02???0??2??1?1???21????02?101?2?0?，和答案不一样1?

参考答案：A10??110?1?2?0? 10?2?-1

-1

2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ是A的一个特征值。

参考答案：

-1

当A可逆时，由AP=λP,有P=λAP，因为P≠0，知道λ≠0，因此 -1-1-1-1

AP=λP,所以λ是A的一个特征值

3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

?ax1?x2?x3?a?3? ?x1?ax2?x3??2

?x?x?ax??223?1` 参考答案：

对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

a1?2??11a?a11a?3??1?????B??1a1?2?~?01?a21?a3(a?1)?~?01?a1?a2?11a?2??01?aa?1?0?02?a?a2?????0当2?a?a2?0时，即a?1,?2时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。

此时解为：x1????3(a?1)?3(a?1)???2a?1?3?3,x2?,x3? a?2a?2a?2 当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解

?x1??2?k1?k2?此时解为：?x2?k1

?x?k2?3当a??2时，R（A）=2，R（B）=,3无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

?1??1??1???1??????????2??1??1??0??1???,?2???,?3???,?4???

3120?????????4??1??1??2?????????参考答案：

?1??2 （?1,?2,?3,?）=4?3??411111??1?1??10??~0??020??12??010001?010?1????1?~?1????3?10001?1?1?01?1则向量的秩为3 00?1?00?0极大无关组为：a2,a3,a4，且a1?a2?a3?a4

5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T?1AT是对称矩阵．

参考答案：(T?1AT)T?TT*AT*(T?1)T，因为T是正交矩阵，所以TT?T?1，又A是对称矩阵，AT?A，所以

(T?1AT)T?TT*AT*(T?1)T=T?1*A*T，是对称阵。

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