0数学模拟试题压轴大题精编（共40页）

高分社区

2009—2010年高考模拟试题压轴大题选编

1.（东城区2009-2010学年度第一学期期末教学目标检测）设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a(a?3)，an?1?Sn?3n，n?N．

*（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若cn?3log2不等式(1?bn?1(n?N*)，证明对任意的n?N* ， a?3111)(1+)???(1+)?33n?1恒成立． c1c2cn2.（海淀区高三年级第一学期期末练习）

给定项数为m(m?N*,m?3)的数列{an}，其中ai?{0,1}(i?1,2,?,m).

若存在一个正整数k(2?k?m?1)，若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”， 例如数列{an} 0,1,1,0,1 ,因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列

{bn}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. ②{cn}:1, 1, 1, 1, 1, 0,①

是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；

（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是 “3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，

均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4?1，求数列{an}的最后一项am的值.

3.（石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷）已知函数

f(x)?12ax?2x，g(x)?lnx. 2（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调增函数，求a的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数a?0，使得方程

g(x)1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只xe有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

55?5x

4.（北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测）已知函数

f(x)?，m为正整

数．

（Ⅰ）求f(1)?f(0)和f(x)?f(1?x)的值； （Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an?f(和Sm；

（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1?n)（n?1,2,?,m），求数列{an}的前m项m12，bn?1?bn?bn，设2Tn?111，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于3的正整????b1?1b2?1bn?1数n，4Sm?777Tn?5恒成立，试求m的最大值.

5.（北京市西城区2010年高三年级抽样测试）已知曲线C:xy?1，过C上一点A1(x1,y1)作斜

率k1的直线，交曲线C于另一点A2(x2,y2)，再过A2(x2,y2)作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3(x3,y3)，…，过An(xn,yn)作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点

An?1(xn?1,yn?1)…，其中x1?1，kn??xn?1(x?N*) 2xn?4xn （1）求xn?1与xn的关系式；（2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：|x1?2|?|x2?2|?...?|xn?2|?2.

6.（崇文区2009－2010学年度第一学期期末统一练习）已知

f(x)为二次函数，不等式f(x)?2?0的解集为(?1,1)，且对任意?，??R恒有f(sin?)?0，f(2?cos?)?0.数列3{an}满足a1?1，3an?1?1?（Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）设bn?1(n?Ν?)

f?(an)1，求数列{bn}的通项公式； an（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn?cos(bn?)}的前n项和Tn.

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

x

?1??7.(哈三中2009-2010学年度上学期高三学年期末考试)已知函数fn?x???1???n?N?.

?n? (Ⅰ) 比较fn?0?与

?1的大小； n????fn?n?f1?1?f2?2?f3?3?(Ⅱ) 求证：??????3.

234n?18.(湖南师大附中2010届高三第五次月考) 已知数列{an}的前n项和Sn3 n?N?．?(an?1)，

2（1）求{an}的通项公式；

（2）设n?N+，集合An?{y|y?ai,i?n,i?N?}，B?{y|y?4m?1,m?N?}．现在集合An中随机取一个元素y，记y?B的概率为p(n)，求p(n)的表达式．

9.(福建省普通高中毕业班质量检查)已知函数f?x??ax?lnx,a?R

（Ⅰ）求函数f?x?的极值；

（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?，如果存在曲线上的点Q?x0,y0?，且x1?x0?x2，使得曲线在点Q处的切线?∥P1P2，则称?为弦P1P2的伴随切线。特别地，当x0??x1??1???x2?0???1?时，又称?为P1P2的λ－伴随切线。

（ⅰ）求证：曲线y?f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

1?伴随切线？若存在，给出一条这2样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。 （ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有

10.(广东省广州市2010届高三上学期期末调研)设Sn为数列

?a?的前n项和，对任意的n?N

n*，

都有Sn??m?1??man(m 为常数，且m?0)． （1）求证：数列an?是等比数列；

（2）设数列an?的公比q?f?m?，数列?bn?满足b1?2a1,bn?f?bn?1? (n?2，

??n?N*)，求数列?bn?的通项公式；

2（3）在满足（2）的条件下，求证：数列bn的前n项和Tn???89． 1811湖北省荆州中学2010届高三九月月考数学卷（理科）

如果f?x0?是函数f?x?的一个极值，称点?x0,f?x0??是函数f?x?的一个极值点.已知函数

f?x???ax?b?e?x?0且a?0?

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

ax

高分社区

（1）若函数f?x?总存在有两个极值点A,B，求a,b所满足的关系；

（2）若函数f?x?有两个极值点A,B，且存在a?R，求A,B在不等式x?1表示的区域内时实数b的范围.

?x?1AAa?R（3）若函数f?x?恰有一个极值点，且存在，使在不等式?表示的区域

y?e?内，证明：0?b?1.

12.(江苏省苏州中学

2010

届高三上学期期中考试)已知函数

21f(x)?xlnx,g(x)??x3?ax2?3bx?c(a,b,c?R).

32(1)若函数h(x)?f?(x)?g?(x)是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；

(2)若g(x)是奇函数，且g(x)的极大值是g((3)证明：当x?0时，f?(x)?3 )，求函数g(x)在区间[?1,m]上的最大值；

312??1. exex11(an?)，{bn}中2an13.(西南师大附中高2010级第五次月考)数列{an}中a1 = 2，an?1?bn?log9an?1?1，n?N*． an?1（1）.求证：数列{bn}为等比数列，并求出其通项公式； （2.）当n?3(n?N*)时，证明：

14?(?1)b1?24?(?1)2b2?34?(?1)3b3???n4?(?1)nbn?37． 1414.(昌平区2009－2010学年第一学期高三年级期末质量抽测)对于给定数列{cn}，如果存在实常数

p,q,使得cn?1?pcn?q 对于任意n?N*都成立，我们称数列{cn}是 “M类数列”．

（I）若an?2n，bn?3?2n，n?N，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？ 若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；

（II）若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2(n?N)，t为常数． （1） 求数列{an}前2009项的和；

（2） 是否存在实数t，使得数列{an}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，

说明理由.

15.(武昌区2010届高三年级元月调研测试)设函数

n**f(x)?px?qp?2lnx，且f(e)?qe??2xe（e为自然对数的底数）.

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

（Ⅰ）求实数p与q的关系；

（Ⅱ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围； （Ⅲ）设g(x)?2e，若存在x0??1,e?，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p的取值范围. x其中n为正整数.（Ⅰ）判断函数f(?)、f(?)?，1316.(湖北省武汉地区重点大学附中六校第一次联考)设函数

fn(?)?sin??(?1)cos?,0???nnn4的单调性，并就f(?)的情形证明你的结论；

1（Ⅱ）证明：

2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4????cos2??sin2?；

?（Ⅲ）对于任意给定的正整数n，求函数f(?)的最大值和最小值.

n17（南充高中2010届高三月考）已知函数

02n?11xf(x)=Cnx?Cn2n12n?1rn3n?1 ?Cnx?????Cn(?1)rx2n?1?r?????Cnx，其中n(n?N?)．

（1）求函数f(x)的极大值和极小值；

（2）设函数f(x)取得极大值时x=an，令bn=2?3an，Sn=bb12?b2b3?????bnbn?1，若

p≤Sn

18江苏省南通市2009届高三上学期期末调研考试数学试卷)已知等差数列{an}的首项为a，公差

为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1 的正整数，且a1?b1,b2?a3．（1）求a的值；

（2）若对于任意的n?N?，总存在m?N?，使得am?3?bn成立，求b的值； （3）令Cn?an?1?bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所

有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

19.（宁波市2009学年度第一学期期末试卷）设

f(x)?x?a?1?alnx (a?R)． x（1）若x?1是函数f(x)的极大值点，求a的取值范围；

（2）当a?(??,1?]?[1?e,??)时，若在x?[,e]上至少存在一点x0，使

1e1ef(x0)?e?1成立，求a的取值范围．

20.（2010年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测）已知函数

f(x)?x(a?0)满足ax?bf(2)?1，且方程f(x) = x有且仅有一个实数根．

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设数列?an?满足a1?1,an?1?f(an)?1,n?N?.求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）定义min{a,b}???a,a?b1）中的数列?an?，令 bn?min{an,}.设Sn为数.对于（Ⅱ

n?b,a?b列?bn?的前n项和,求证：Sn?ln(n?1).

21.（绵阳市高中2010级第二次诊断性考试）设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn

（n∈N*），已知点(an，4Sn)在函数f (x)=x2+2x+1的图象上． （1）证明{an}是等差数列，并求an； （2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：

121＋≥； SmSpSk（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由

22.（2009—2010学年度扬州市第一学期期末高考模拟）已知函数

f(x)??x2??x，

g(x)??x?lnx，h(x)?f(x)?g(x)，其中??R，且??0.⑴当???1时，求函数g(x)的最大值；⑵求函数h(x)的单调区间；

?f(x),x?0,⑶设函数?(x)??若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t?x），使

g(x),x?0.?得?'(x)??'(t)成立，求实数?的取值范围.

23雅礼中学2010届高三月考卷（四）

2设a?0，函数f(x)?x?a|lnx?1|

（1）当a?1时，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程； （2）当a?3时，求函数f(x)的单调性； （3）当x?[1,??)时，求函数f(x)的最小值。

2009——2010年高考模拟压轴大题选编(五)参考答案

1解：（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n， 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．

因此，所求通项公式为bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

n?N*．……………………5分

bn(a?3)2n?1（Ⅱ）证明：由已知cn?3log2?1?3log2?1?3n?2，

a?3(a?3)则1?(1?11，所以 ?1?cn3n?211111)(1+)???(1+)?(1?1)(1?)???(1?).……………………7c1c2cn43n?2分

下面用数学归纳法证明不等式

(1?11111)(1+)???(1+)?(1?1)(1?)???(1?)?33n?1成立. c1c2cn43n?2①当

n?1时,左边=

2,右边=34,因为2?34,所以不等式成

立. …………………8分

②假设当n?k时不等式成立,即

(1?11111)(1+)???(1+)?(1?1)(1?)???(1?)?33k?1成立. c1c2ck43k?2则当n?k?1时,左边 =(1?1111111)(1+)???(1+)(1?)?(1?1)(1?)???(1?)[1?] c1c2ckck?143k?23(k?1)?21]

3(k?1)?2?33k?1?[1??33k?1?(3k?2) 3k?1(3k?2)3?3(3k?1)2．……………………………………………………………………………11

分 要证3(3k?2)33?3(k?1)?1成立，

(3k?1)2高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

(3k?2)3只需证?3k?4成立，

(3k?1)2由于(3k?1)2?0，

只需证(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)2成立，

只需证27k3?54k2?36k?8?27k3?54k2?27k?4成立， 只需证9k?4?0成立，

由于k?N*，所以9k?4?0成立． 即(1?1111)(1+)???(1+)(1?) c1c2ckck?1111?(1?1)(1?)???(1?)[1?]?33(k?1)?1成立.

43k?23(k?1)?2所以当n?k?1时,不等式也成立. 由

①

，

②

可

得

不

等

式

恒

成

立. ………………………………………………………………14分

2解：（Ⅰ）记数列①为?bn?，因为b2,b3,b4,b5,b6与b6,b7,b8,b9,b10按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;

记数列②为?cn?，因为c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、

c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10没有完全相同的，所以?cn?不是“5

阶可重复

”.

数

列

……………….3分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有

23?8种不同的情形.若

m＝11，则数列{an}中有9组连续3项，则

这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则3?m?10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以，要使数列{an}一定 是“3

阶可重复数列”，则

m

的最小值是

11. ……………….8分

（III）由于数列?an?在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列?an?的末项am后再添加一项

0或1，则存在i?j，

使得

ai,ai?1,ai?2,ai?3,ai?4与

am?3,am?2,am?1,am,0按次序对应相等，或

aj,aj?1,aj?2,aj?3,aj?4与am?3,am?2,am?1,am,1按次序对应相等，

如果a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am不能按次序对应相等，那么必有

2?i,j?m?4，i?j，使得ai,ai?1,ai?2,ai?3、aj,aj?1,aj?2,aj?3与am?3,am?2,am?1,am按

次序对应相等.

此时考虑ai?1,aj?1和am?4，其中必有两个相同，这就导致数列?an?中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列?an?是“5阶可重复数列”，这和题设中数列?an?不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等，从而am?a4?1.

……………….14分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

3解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题

意．………1分

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??2， a由于y?所以?所

a?0．

f(x)在[1,??)上是单调增函数，

2?1，解得a??2或a?0， a以

……………………3分

当a?0时，不符合题意． 综

a?0．

上，

a的取值范围是

……………………4分

g(x)lnx?f?(x)?(2a?1)整理为?ax?2?(2a?1)， xx （Ⅱ）把方程

即

为方程

ax2?(1?2a)x?lnx?0. ……………………5分

(x?0)，

设H(x)?ax2?(1?2a)x?lnx

原方程在区间(函数

1,e)内有且只有两个不相等的实数根, 即为e1H(x)在区间(,e)内有且只有两个零

e点. ……………………6分

H?(x)?2ax?(1?2a)?1 x

2ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1)??

xx …………………7分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

x?1

令

H?(x)?0，因为

a?0，解得或

x??12a（舍） …………………8分

当x?(0,1)时,

当

x?(1,??)H?(x)?0,

H(x)是减函数； H?(x)?0

是

增

函

时, ，

H(x)数. …………………10分

1H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点,

e只需

?1?H(e)?0,??H(x)min?0,?H(e)?0,??

…………………13分

?a1?2a(1?2a)e?a?e2?0,?2?e?1?2ee?即? ?H(1)?a?(1?2a)?1?a?0,?ae2?(1?2a)e?1?(e2?2e)a?(e?1)?0,????e2?e?a?2e?1,??∴ ?a?1,?1?e?a?2,e?2e??

解得

e2?e(1,) 2e?1e2?e1?a?2e?1, 所以a的取值范围是

． …………………14分

注：若有其它解法，请酌情给分． 4解：（Ⅰ）f(1)?f(0)?f(x)?f(1?x)=

55?55?51?5=1；

?5?5x5?5?5x55?5x?51?x?5=

55?5x=1；……………………

…………４分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

kkf()?f(1?)?1 (1?k?m?1)mm,即

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

km?kf()?f()?1 , ?ak?am?k?1, mm由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, …………② 由

①

＋

②,

得分

115?5，…10Sm?(m?1)??f(1)?(m?1)??2Sm?(m?1)?1?2am,∴

224b1?（Ⅲ） ∵

1,bn?1?b2对任意的n?N*, bn?0. n?bn?bn(bn?1),∴2

∴1bn?1?111111??,即??bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1.

.

∴Tn?(111111111?)?(?)???(?)???2?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵数列{bn}是单调递增数列. bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?3, 且n?N?时, Tn?T3.

b1?∵

111333212121777,b2?(?1)?, b3?(?1)?,b4?(?1)?222444161616256

∴Tn∴

?T3?2?1256?2?.∴4Sm?777T3?5, b4777m?650.5.而m为正整数， ∴

m的最大值为

650. …………………………………………………………………………………1４分 5解：（1）由已知过An(xn,yn)斜率为?

y?yn??xn?12xn?4xn的直线为

xn?1(x?xn)， 2xn?4xn直线交曲线C于另一点An?1(xn?1,yn?1) 所以yn?1?yn=?xn?1(xn?1?xn) 2xn?4xn 2

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

分 即

1xn?1?x?11(xn?1?xn)，xn?1?xn≠0， ??2nxnxn?4xnxn?4(n?N*) xn?1所以xn?1? 4分

（2）解：当n为奇数时，xn?2；当n为偶数时，xn?2 5分 因为xn?2?分

注意到xn?0，所以xn?2与xn?1?2异号 由于x1?1?2，所以x2?2，以此类推， 当n?2k?1(k?N*)时，xn?2； 当n?2k(k?N*)时，xn?2

8分

xn?1?4x?2， ?2?n?1xn?1?1xn?1?1 6

（3）由于xn?0，xn?1?

所以|xn?1?2|?|所以|xn?2|≤

xn?43， ?1?xn?1xn?1所以xn≥1（n?1,2,3，…）

9分

xn?2|xn?2|1≤|xn?2| |?xn?1xn?12

10分 12分

1111|xn?1?2|≤2|xn?2?2|≤…≤n?1|x1?2|?n?12222111所以|x1?2|?|x2?2|?...?|xn?2|≤1??()2?...?()n?1

2221?2?()n?1?2

214分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

6解：（Ⅰ）依题意，

f(x)?ax2?2aax??2 331f(x)?2?a(x?1)(x?)(a?0)3,即

令???2,???，则sin??1,cos???1，有f(1)?0,2aa3??2?0，得a?. 332

f(2?1)?0，

得f(1)?0，即a??f(x)?325x?x?22.

---------------- 4分

（Ⅱ）f'(x)?3x?1，则3an?1?1?即an?1??

3an11 ?1??f'(an)3an?13an?1an，两边取倒数，得1?3?1an?1an3an?1，即bn?1?3?bn.

数列{bn}是首项为b1?1?1，公差为3的等差数列. a1?bn?1?(n?1)?3?3n?2(n?N?).

---------------- 9分

（Ⅲ）?cos(bn?)?cos(3n?2)??cos(n?)?(?1)n

?Sn?cos(bn?)?(?1)n?Sn

?Tn??S1?S2?S3?S4????(?1)nSn.

（1）当n为偶数时

Tn?(S2?S1)?(S4?S3)????(Sn?Sn?1)?b2?b4????bn

n(b2?bn)n3n2?2n2 ??(4?3n?2)?244（2）当n为奇数时

3(n?1)2?2(n?1)n(1?3n?2)Tn?Tn?1?Sn??

42高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

?3n2?2n?1?

4??3n2?2n?1(n为奇数),??综上， Tn??24?3n?2n(n为偶数）.??4 ----------------1

3分 7（Ⅰ）

?1??1?fn?x???1??ln?1??

?n??n??x1?则fn??0??ln??1??，设函数φ?x??ln?1?x??x,x??0,1?

?n?则φ??x??1?x?1??0，则φ?x?单调递减， 1?x1?x所以ln?1?x??x?φ?0??0，所以ln?1?x??x

11?1?则ln??1???，即fn?0??；

?n?nn（Ⅱ）

?1??1??1??1??ln?1???1???fn?n??n??n??n???n?1n?1n?n?1?nnn.

?1?1121n1?1???1?Cn?Cn2???Cnn因为?n?nnn?1?1?1111?????3??3

?n?1?n1?22?3n则

????fn?n?f1?1?f2?2?f3?3? ?????234n?1?111??1???3??????3?1???3 ?1?22?3??n?1?n??n??则原结论成立.

8解：（1）因为Sn?3(an?1)，n?N?，所以Sn?1?3(an?1?1)．

22高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

两式相减，得Sn?1?Sn?3(an?1?an)，即an?1?3(an?1?an)，

22∴an?1?3an，n?N?．…………………………3分

又S1?3(a1?1)，即a1?3(a1?1)，所以a1?3．

22∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列．

从而{an}的通项公式是an?3n，n?N?．………………………6分

（2）设y?ai?3i?An，i?n，n?N?． 当i?2k，k?N?时，

1k?1k?1k∵y?32k?9k?(8?1)k?Ck08k?Ck 8?…?Ck8?Ck1k?2k?1 ?4?2(Ck08k?1?Ck…，8??Ck)?1∴y?B． ………………………9分

当i?2k?1，k?N?时，

k?2k?11k?2∵y?32k?1?3?(8?1)k?1?3?(Ck0?18k?1?Ck?…?Ck?18?18?Ck?1)

1k?3?2 ?4?6(Ck0?18k?2?Ck…，??Ckk??181)?3∴y?B．…………………12分

又∵集合An含n个元素，

∴在集合An中随机取一个元素y，有y?B的概率

?1n为偶数,?2 , p(n)??．……………………14n?1? , n为奇数.?2n分

9（Ⅰ）f'(x)?a?1,x?0 ………………………………………………………… 2

x分

当a?0，f'(x)?0，函数f(x)在(0,??)内是增函数， ∴函数f(x)没有极值。

…………………………………………………… 3分 当a?0时，令f'(x)?0，得x??1。

a当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况如下表：

x 1(0,?) a?1 a1(?,??) a高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区－

f'(x) f(x) ＋ 单调递增 0 极大值 a单调递减 a∴当x??1时，f(x)取得极大值f(?1)??1?ln(?1)。

a综上，当a?0时，f(x)没有极值；

当a?0时，f(x)的极大值为?1?ln(?1)，没有极小值。

a ……………5分

（Ⅱ）（ⅰ）设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y?f(x)上的任意两点，要证明

P1,P2有伴随切线，只需证明存在点Q(x0,f(x0)),x1?x0?x2，使

得

f'(x0)?f(x2)?f(x1)，且点Q不在P1P2上。 x2?x1 ……………………7

分 ∵

1，即x1ax2?lnx2?ax1?lnx1a??x0x2?x1f'(x)?a?证存在，即lnx2x0?(x1,x2)，使得

x1?1(x2?x1)?0成立，且点Q不x0在P1P2上。 …………………8分 以下证明方程lnx记F(x)?lnx22x1?1(x2?x1)?0在(x1,x2)内有解。 xx1?xx1(x2?x1)，则F(x1)?ln2?2?1。

x1x1x令g(t)?lnt?t?1,t?1，

11?t∴g'(t)??1??0，

ttg(t)在(1,??)内是减函数，∴g(t)?g(1)?0。 ∴

取t?x2x1?1，则g(x2xx)?ln2?2?1?g(1)?0，即F(x1)?0。……9x1x1x1分

F(x1)F(x2)?0。 同理可证F(x2)?0。∴

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

∴函数F(x)?lnx即方程lnx分

22x1?1(x2?x1)在(x1,x2)内有零点。 xx1?1(x2?x1)?0在(x1,x2)内有解x?x0。………………10x又对于函数

g(x2xx)?ln2?2?1?g(1)?0, x0x0x00g(t)?lnt?t?1,取

t?x2?1x1，则

可知f'(x)?f(x2)?f(x0)，即点

x2?x0Q不在P1P2上。

F(x)是增函数，∴F(x)的零点是唯一的，

即方程lnx2x1?1(x2?x1)?0在(x1,x2)内有唯一解。 x综上，曲线y?f(x)上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

…………………………………………………………………………… 11分 （ⅱ）取曲线C：y?h(x)?x2，则曲线y?h(x)的任意一条弦均有1?2伴随切线。

证明如下：

设R(x3,y3),S(x4,y4)是曲线C上任意两点(x3?x4)， 则kRS22y4?y3x4?x3???x3?x4， x4?x3x4?x3又h'(x)?2x,?h'(x3?x4)?x3?x4?kRS，

2即曲线C：

y?x2的任意一条弦均有

1?2伴随切线。

…………………14分

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证

明，均给满分。若只给曲

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

线，没有给出正确的证明，不给分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y?f(x)上的任意两点，要证明

只需证明存在点Q(x0,f(x0)),x1?x0?x2，使得 P1,P2有伴随切线，

f'(x0)?f(x2)?f(x1)，且点Q不在P1P2上。 x2?x1……………………………

∵

7分

f'(x)?a?1，即证x1ax2?lnx2?ax1?lnx1a??， x0x2?x1存在

x0?(x1,x2)，使得

即

x0lnx2?x0lnx1?x1?x2?0成立，且点

Q不在

P1P2上。

…………… 8分

以下证明方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在(x1,x2)内有解。 设F(x)?xlnx2?xlnx1?x1?x2,0?x?x2。 则F(x1)?x1lnx2?x1lnx1?x1?x2。 记g(x)?xlnx2?xlnx?x?x2,0?x?x2，

g'(x)?lnx2?lnx?0， ∴

g(x)在(0,x2)内是增函数， ∴

F(x1)?g(x1)?g(x2)?0。 …………………………………………… 9分 ∴

同理F(x2)?0。?F(x1)F(x2)?0。

∴方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在(x1,x2)内有解x?x0。 …………10分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

又对于函数g(x)?xlnx2?xlnx?x?x2，

∵0?x1?x0?x2，?g(x0)?x0lnx2?x0lnx0?x0?x2?g(x2)?0， 可知f'(x0)?f(x2)?f(x0)，即点

x2?x0Q不在P1P2上。

又F(x)?(lnx2?lnx1)x?x1?x2在(x1,x2)内是增函数， ∴方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在(x1,x2)内有唯一解。

综上，曲线y?f(x)上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

…………………………………………………………………………… 11分 （ⅱ）同解法一。 10（1）证明：当

n?1时，a1?S1??m?1??ma1，解得

分

a1?1．……………………………………1

当n?2时，an?Sn?Sn?1?man?1?man．…………………………………2分 即?1?m?an?man?1． ∵m为常数，且m?0，∴anm??n?2?．……………………………3an?11?m分

∴数列?an?是首项为

1，公比为

m1?m的等比数

列．……………………………4分 （2）解：由（1）得，q?f?m??分 ∵bn?f?bn?1??∴bn?11?bn?1m，b1?2a1?2． 1?m………………………5

，………………………………………………………6分

分

1111??1，即??1?n?2?．……………………………………7bnbn?1bnbn?1高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

∴??1?1?是首项为2?bn?，公差为1的等差数

列．…………………………………………………………8分 ∴1bn?212n?1，即bn?（n?N*）．……………………………9??n?1??1?2n?122分

（3）证明：由（2）知

bn2?4bn?22n?1，则

?2n?1?2．………………………………10分

4所以Tn?b12?b22?b32???bn2 ?4?4?4???925?2n?1?2，……………11分

分

当n?2时，

4?2n?1?252?411??，…………………12

2n?2n?2?n?1n4所以Tn?4?4?4???9?2n?1?2

4?11??11?1??1?4???????????????

9?23??34??n?1n??401189???．…………………………………… 92n1811解：（1）

af'(x)?a?e?(ax?b)(?2)?ex

xaxa令f??x??0得x2?ax?b?0 ?a2?4b?0 又 ?a?0且x?0

a2?b?且b?04

………………3分

（2）x2?ax?b?0在(?1,1)有两个不相等的实根.

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

???a2?4b?0?a???1??1即? 2?1?a?b?0???1?a?b?0 得

?4b?a2?2?a?4 ?b??1?

??1?b?1且b?0

………

………7分

（3）由①f?(x)?0?x2?ax?b?0(x?0)

x2?ax?b①当b?0f??x??a?e?在x?a左右两边异号

x2?(a,f(a))是y?f?x?的唯一的一个极值点

ax1?a?1且a?0?－由题意知? 2?e?(a?b)e?e? 即

?0?a2?1 ?2?1?a?1? 即 0?a2?1

存在这样的a的满足题意 意 ………………9分

②当b?0时，??a2?4b?0即4b?a2 这里函数y??b?0符合题

aaf(x)唯一的一个极值点为(,f())

22?a?2?1且a?0由题意? ?1??e?(a?b)e2?e??2即

?0?a2?4?11?2a2??e??b?e2?2 即

0?4b?4??1 ?122???e?b?e?0?b?1 ………………

………………13分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

综上知：满足题意

b?[0,1).

b的范围为

……………………………14分

f?(x)?lnx?112解：(1) ，g?(x)??2x2?ax?3b，所以

h(x)?lnx?2x2?ax?3b?1，

由于h(x)是定义域内的增函数，故h?(x)?1恒成立， x?4x?a?0即a?1对?x?0恒成立，又1(x?2时取等号)，故a?(??,4]. x?4xx?4x?4(2)由g(x)是奇函数，则g(x)?g(?x)?0对?x?0恒成立，从而a?c?0，

3所以g(x)??2，有g?(x)??2x2?3b. 3x?3bx2由g(x)极大值为g(33)，即g?(33)?0，从而b??9；

32332?因此g(x)??2，即， x?xg(x)??2x?2333??2(x?3)(x?3)所以函数g(x)在(??,?33)和(33,??)上是减函数，在(?33,33)上是增函数.

由g(x)?0，得x??1或x?0，因此得到： 当?1?m?0时，最大值为g(?1)?0；

32当0?m?33时，最大值为g(m)??2； 3m?3m当m?33时，最大值为g(33)?4273.

(3)问题等价于证明f(x)?xlnx?ex?2对x?0恒成立； exf?(x)?lnx?1，所以当x?(0,1时，f?(x)?0，f(x)在(0,1上单调减； e)e)当x?(1时，f?(x)?0，f(x)在(1上单调增； e,??)e,??)所以f(x)在(0,??)上最小值为?1(当且仅当x?1时取得) ee设m(x)?ex?2，则m?(x)?1e?x，得m(x)最大值m(1)??1(当且仅当ee(x?0)xxx?1时取得),

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

又f(x)得最小值与m(x)的最大值不能同时取到，所以结论成立. 13

证

明

：

(1)

由

1ban?1?12(a1n?a)?1naa?1?b?log?1n?1?log9n?19?1?bn?1?log9(n)2?1 n?1?112(a1an?a)?1n?1n?2ban?1a?1n?1?log9a?1 又bn?logn9?1n?1an?1∴ bn?1?12bn

又n = 1时，b?11?loga19a?1?b1?2 1?1∴ {bn}为等比数列，b1 = 2，q?12，∴ b?1n?2?(12)n?(12)n?2

(2)

∵ b1n?()n?22?4?(12)n?41b??2nn(12)n∴

Cn?n4?nn?(?1)n2?(?1)n

bn先证：

n2n?(?1)n?n?12n(n?3) 当n为偶数时，显然成立； 当

n

为

奇数时，即证

n2n?1?n?12n?n?2n?n?2n?n?2n?1?2n?n?1 而当n?3时，2n?n?1显然也成立，故n2n?(?1)n?n?12n(n?3) 当

n?4时，T?456n524?1?25?1?26?1???2n?(?1)n?24?625?726???n?12n 又令A?524?67n?125?26???2n ① 156nn?12A?25?26???2n?2n?1 ② ①－②：1A?5?1n?122425?126???12n?2n?1 1[1?(1?A?5111n?152)n?4]n?1323?24?25???2n?1?2n?8?16?n1?12?4 2高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

令

高分社区

∴ T?3

41232364 ???1???1232?12?12?15735∴ 所证式子左边?64?3?369?370?37

35414014014即41?42?43???4n?37

?(?1)?(?1)2?(?1)3?(?1)n14b1b2b3bn又C1?C2?C3?14解：（I）因为an?2n,则有an?1?an?2,n?N*

故数列{an}是“M类数列”， 对应的实常数分别为

1,2． ……………………………2分

n?N*

因为bn?3?2n，则有bn?1?2bn

故数列{bn}是“M类数列”， 对应的实常数分别为

2,0． ……………………………4分

（II）（1）因为 an?an?1?3t?2n(n?N*) 则有a2?a3?3t?22，

a4?a5?3t?24??， a2006?a2007?3t?22006a2008?a2009?3t?22008

，

……………………………….6分

故数列{an}前2009项的和

S2009?a1+?a2?a3?+?a4?a5????+?a2006?a2007?+?a2008?a2009?

………………9

分

?2?3t?22?3t?24????3t?22006?3t?22008?2?t?22010?4?若数列{an}是“M类数列”， 则存在实常数p,q 使

得

an?1?pan?q对于任意

n?N*都成

立，………………………………………….10分 且有an?2?pan?1?q对于任意n?N*都成立，

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

因此?an?1?an?2??p?an?an?1??2q对于任意n?N*都成立， 而an?an?1?3t?2n(n?N*)，且an?1?an?2?3t?2n?1(n?N*) 则有3t?2n?1?3t?p2n?2q对于任意

t(p?2)?0,q?0n?N*都成立，可以得到

，………………………………………12分

时，an?1?2an，an?2n，t?1，经检验满足条件. 时，an?1??an，an?2(?1)n?1，p??1经检验满足条

①当p?2,②当t?0,件.

q?0q?0

因此当且仅当t?1或t?0，时，数列?an?也是“M类数列”.对应的实

常

数

分

别

为

2,0, 或

?1,0． ………………………………………………………………14

分

15解：（Ⅰ）由题意，得f?e??化

?p?q.

pe?qp?2lne?qe??2， ee1??p?q???e???0?e?简，得

，

………………………………………………………………2分

px?p?2lnx， x（Ⅱ）函数f?x?的定义域为?0,???.由（Ⅰ）知，f?x??p2px2?2x?pf??x??p?2??. 2xxx………………………………………………………

……………3分

令h?x??px2?2x?p，要使f?x?在其定义域?0,???内为单调函数，只需h?x?在?0,???内满足h?x??0或h?x??0恒成立. （1）当p?0时，h?x???2x?0，?f??x??0.

?f?x?在?0,???内为单调减函数，故

p?0符合条

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

件. …………………………………………………4分

?1?1（2）当p?0时，.只需p??h?x?min?h??p????p?p1即p?1时h?x??0，?0，p此时f??x??0.

?f?x?在?0,???内为单调增函数，故

p?1符合条

件. ………………………………………………6分

（3）当p?0时，h?x?max?h?0??p.只需p?0，此时f??x??0.

?f?x?在?0,???内为单调减函数，故p?0符合条件.

综上可得,

p?1或

p?0为所

求. ………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）?g?x??g?x?max?2e.

2e在?1,e?上是减函数，?x?e时，g?x?min?2；x?1时，x即

g?x???2,2e?. ……………………………………………………………………………………

………9分

（1）当p?0时，由（Ⅱ）知，f?x?在?1,e?上递减，f?x?max?f?1??0?2，不合题意. ………10分 （

x?2）当

0?p?1时，由

x??1,e?知，

1?0.?f?x??x1?1?p?x???2lnx?x??2lnx.

x?x?x由（Ⅱ）知，当p?1时，f?x??x?1?2lnx单调递增，

?f?x??x?11?2lnx?e??2?2xe，不合题

意. …………………………………………………12分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

（3）当p?1时，由（Ⅱ）知f?x?在?1,e?上递增，f?1??0?2， 又g?x?在在?1,e?上递减，?f?x?max?g?x?min?2.

1?即p??e???2lne?2，?p??e?4e. e2?1综上，p的取值范围是??16解：（1）

4e?,???.………………………………………………… 2?e?1?f1(?)、f3(?)在

????0,4???上均为单调递增的函

数. …… 1分

对于函数f1(?)?sin??cos?，设

???，则 ?1??2,?1、?2??0,?4?? f1(?1)?f1(?2)??sin?1?sin?2???cos?2?cos?1?， ? ?sin?1?sin?2,cos?2?cos?1， f1??1??f1??2?,?函数

f1(?)在

????0,4???上单调递

增. …… 3分

（2）? 原式左边

?2?sin6??cos6????sin4??cos4?? ?2?sin2??cos2???sin4??sin2??cos2??cos4????sin4??cos4??

?1?sin22??cos22?.

…… 5分

又?原式右边??cos2??sin2??2?cos22?. ?

2f6(?)?f4(?)??cos4??sin4???cos2??sin2??. …… 6分

（3）当n?1时，函数f1(?)在? ? f1(?)的最大值为

?0,4?????上单调递增，

，最小值为f1?0???1. ???f1???0?4???上为单调递增.

当n?2时，f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为1. 当n?3时，函数f3(?)在??0,4???高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

? f3(?)的最大值为 当n?4时，函数 ?

f4(?)，最小值为f3?0???1. ???f3???0?4?在???上单调递减， 1f4(?)?1?sin22??0,4?2??f4?0??1的最大值为，最小值为

???1. …… 9f4????4?2分

下面讨论正整数n?5的情形： 当n为奇数时，对任意???1、?2??0,??且?1??2,4??

? fn(?1)?fn(?2)??sinn?1?sinn?2???cosn?2?cosn?1?， 以及 0?sin?1?sin?2?1, ? sinn?1?sinn?2, ? fn(?)在? fn(?)?0,4???0?cos?2?cos?1?1，

cosn?2?cosn?1，从而 fn(?1)?fn(?2).

??上为单调递增，则

???fn???0?4?的最大值为，最小值为

f4?0???1. …… 11

分

一

方

面

有

当

n为偶数时，

fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0).

另一方面，由于对任意正整数l?2，有

2f2l(?)?f2l?2(?)??cos2l?2??sin2l?2???cos2??sin2???0，

?111???fn(?)?fn?2(?)???nf2(?)?n?fn??2?1?1?4?2222.

.

? 函数fn(?)的最大值为fn(0)?1，最小值为

????1?fn???2???4??2?n 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值为?1.

当n为偶数时，函数fn(?)的最大值为1，最小值为

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

?1?2???2?n. …… 13分

高分社区

122rnn17解答（1）f(x)?x2n?1[Cn0?Cnx?Cnx?????Cn(?1)rxr????Cnx]

=x2n?1(1?x)n，……1分

f?(x)?(2n?1)x2n?2(1?x)n?x2n?1?n(1?x)=

x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。……2

分

令f?(x)?0

x1?0,x2?2n?1,x3?1，从而x1

的增减如下表

x

（-∞，0） 0

（0，

2n?1） 3n?12n?1 3n?1（

2n?1，1） 1 3n?1（0，+∞）

f?(x) f(x) ?+

0 无极值 所以当

?+

0 极大值

?—

0 极小值

+

?

2n?1x=时，y3n?1(2n?1)2n?1?nn极大=

(3n?1)3n?1；当x=1时，y极

小

=0. ……5分

当n为奇数时f(x)的增减如下表

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

x （-∞，0） 0 （0，

2n?1） 3n?12n?1 3n?1（

2n?1，1） 1 3n?1（0，+∞）

f?(x) f(x) ?+

0 无极值 所以当

?+

0 极大值

?—

0 无极值

—

?

2n?1x=时，y3n?1(2n?1)2n?1?nn极大=

(3n?1)3n?1。……8分

（2）由（1）知f(x)在x=

bn=2?3an=

2n?12n?1时取得最大值。所以an=， 3n?13n?111111?(?) ，bnbn?1?3n?1(3n?1)(3n?2)33n?13n?21111111111Sn?[(?)?(?)?????(?)]=??。

325583n?13n?263(3n?2)6n?N??0?1111?，????0即

3(3n?2)15153(3n?2)1111???； 1063(3n?2)6所以实数p和q的取值范围分别是p?(??,1q?[.??)。……14 61]，10

18解：（1）由已知，得an?a?(n?1)b,bn?b?an?1．由a1?b1,b2?a3，

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

得a?b,ab?a?2b．

因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又b?a，故

b≥3． ……………………2分

再由ab?a?2b，得

(a?2)b?a．

由b?a，故(a?2)b?b，即(a?3)b?0． 由

a?3．

b≥3，故

a?3?0，解得

…………………………………………………4分 于

是

2≤a?3，根据

a?N，可得

a?2．……………………………………………6分[来源:Z+xx+k.Com]

?（2）由

a?2，对于任意的n?N，均存在

m?N?，使得

b(m?1)?5?b?2n?1，则

b(2n?1?m?1)?5．

又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数． 故2n?1?m?1?1，b=5．

m?2n?1所以b=5时，存在正自然数

意．………………………………………9分

满足题

（3）设数列{Cn}中，Cn,Cn?1,Cn?2成等比数列，由Cn?2?nb?b?2n?1，

(Cn?1)2?Cn?Cn?2，得

(2?nb?b?b?2n)2?(2?nb?b?2n?1)(2?nb?2b?b?2n?1)．

化

b?2n?(n?2)?b?2n?1．

简，得

（※） ……………………………………11分

当n?1时，b?1时，等式（※）成立，而b≥3，不成

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

立． ……………………12分

当

n?2时，

b?4时，等式（※）成

立．……………………………………………13分

当n≥3时，b?2n?(n?2)?b?2n?1?(n?2)?b?2n?1≥4b，这与b≥3

矛盾．

这

时

等

式

（

※

）

不

成

立．…………………………………………………………………14分

综上所述，当b?4时，不存在连续三项成等比数列；当b?4时，数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．……………………………………16分

19

f'(x)?1?a?1ax2?ax?(a?1)(x?1)[x?(a?1)]x2?x?x2?x2(x?0)

2分）

当a?1?0x (0,1) 1 (1,??) 时，

f'(x) ? 0 ? 极小 f(x) 递减 递增 值

当0?a?1?1时，

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

（

高分社区

x f'(x) (0,a?1) a?1 0 (a?1,1) 1 (1,??) ? ? 0 ? f(x) 极大递增 值 递减 极小递增 值

当

当a?1?1时，

x f'(x) (0,1) 1 x f'(x) (0,1) 1 (1,??) a?1?1时，

? 0 ? f(x) 非极递增 值 递增 (1,a?1) a?1 0 (1,??)

? 0 ? ? f(x) 极大递增 值 递减 极小递增 值

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

综上所述，当a?1?1，即a?2时，x?1是函数f(x)的极大值点． （7分）

（2）在x?[于

当x?[1,e]时, f(x)max?e?1． （9e11由（1）知，①当a?1?，即a?1?时，

ee1函数f(x)在[,1]上递减，在[1,e]上递增，

e1?f(x)max?max{f(),f(e)}．

e11e?1由f()??(a?1)e?a?e?1，解得a?2．

eee?ea?1?a?e?1，解得a?1 由f(e)?e?ee?1?2?1， ?a?1； （12分） e?e1,e]上至少存在一点x0，使f(x0)?e?1成立，等价e分）

②当a?1?e，即a?1?e时，函数f(x)在[上递减，

f(x)max?f(1)?2?a?1?e?e?1．

1,1]上递增，在[1,e]e综上所述，当a?1时，在x?[成立． （14分） 20（Ⅰ）由f(2)?1,e]上至少存在一点x0，使f(x0)?e?1e2x?1，?x有且仅有一个解,得2a?b?2；又2a?bax?b即ax2?(b?1)x?0有唯一解满足ax?b?0.

?a?0,?当??(b?1)2?0时，b?1，x?0,则a?高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

12x, ，此时f(x)?2x?2

高分社区

又当??(b?1)2?0时，x1??b?1?0,x2?0，因为ax1?b?1?0， ax所以ax2?b?b?0，则a?1，此时f(x)??1(x?0)

x2x,或者f(x)?1(x?0)； 综上所述，f(x)?x?2

4分

（Ⅱ） a1?1,an?1?f(an)?1,n?N?，当f(x)?1时，an?1?1，不合题意， 则f(x)?4分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an??an?1,n2xx?2，an?1?22an11111 ,???,则?1?(n?1)，an?n?1an?2an?1an2an2

121n?1????0,n?N? nn?1nn(n?1)则

11bn?min{an,}?nn，所以

Sn?1?111???? 23n

2分

设数列?cn?的前n项和为Tn?ln(n?1)，则c1?T1?ln2?lne?1 当

n?2时，

cn?Tn?Tn?1?ln(n?1)?lnn?lnn?11?ln(1?)nn，要证明

11ln(1?)?,n?N?

nn11??t?1, 令n 只要证明：lnt?t?1, 其中t?1 .

1x?1??0，所以g(x)在[1,??)xx令g(x)?x?1?lnx(x?1)，则g?(x)?1?上是增函数， 则当

x?1时，

g(x)?g(1)?0，即

x?1?lnx(x?1) ，所以

11?cn?ln(1?),n?N?， nn111 则 Sn?1??????c1?c2???cn?Tn?ln(n?1).

23n

5分

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

【说明】也可用数学归纳法证明，为此，先证明证：lnt?t?1, 其中t?1.

11?ln(1?),即n?1n?1221解：（1）∵ 4Sn?an?2an?1，

2∴ 4Sn?1?an?1?2an?1?1 (n≥2)．

2两式相减得4an?an2?an?1?2an?2an?1． 整理得 (an?an?1)(an?an?1?2)?0， ∵ an?an?1?0， ∴ an?an?1?2（常数）． ∴ {an}是以2为公差的等差数列．www.ks5u.com 又4S1?a12?2a1?1，即a12?2a1?1?0，解得a1?1， ∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分

（2）由（1）知Sn?n(1?2n?1)?n2，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．

2k2(m2?p2)?2m2p2112112由???2?2?2?SmSpSkmpkm2p2k2

=0，

≥

即

11?SmSp(m?p2)?2mp?2m2p22m2p2k22mp?mp?2m2p2≥

m2p2k2≥

2Sk．………………………………………………………………7分

（3）结论成立，证明如下：

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

n(a1?an)n(n?1)， Sn?na1?d?22∵ Sm?Sp?2Sk?ma1?m(m?1)d?pa1?p(p?1)d?[2ka1?k(k?1)d]

2222m?p?(m?p)?(m?p)a1?d?[2ka1?(k2?k)d]，

2m?p2)(m?p)2d2?d?4把m?p?2k代入上式化简得

Sm?Sp?2Sk=

m2?p2?2?(2≥0，

∴ Sm+Sp≥2Sk．www.ks5u.com 又Sm?Sp?mp(a1?am)(a1?ap)4=

mp[a12?a1(am?ap)?am?ap]4am?ap2m?p22()[a1?2a1?ak?()]22≤

4高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

22k2(a1?2a1ak?ak)k2(a1?ak)2S???(k)2， 442高分社区

∴

11Sm?Sp??SmSpSmSp≥

2Sk2?S(k)2Sk2．

故原不等式得证．………………………………………………………………14分www.ks5u.com

g?(x)?22解：⑴当???1时，g(x)?lnx?x,(x?0) ∴

11?x?1?,(x?0) xxg(x)?lnx?x在(0, 1)上单调递增，令g?(x)?0，则x?1， ∴在(1, +?)上

单调递减 ∴

----------------------------4分

12?x2?2?x?1⑵，（x?0） h(x)??x?2?x?lnx，h'(x)?2?x?2???xx2g(x)max?g(1)??1

∴当??0时，h'(x)?0，∴函数h(x)的增区间为(0,??)， 当?????2?2?????2?2?2?(x?)(x?)2?2??0时，h'(x)?，

x????2?2?当x?2?时，h'(x)?0，函数h(x)是减函数； 时，h'(x)?0，函数h(x)是增函数。

????2?2?当0?x?2?综上得，

当??0时，h(x)的增区间为(0,??)； 当?????2?2?????2?2??0时，h(x)的增区间为(0,)，减区间为(,??)

2?2?----------10分 ⑶当x?0，?'(x)???在(0,??)上是减函数，此时?'(x)的取值集合

A?(?,??)；

1x当x?0时，?'(x)?2?x??，

若??0时，?'(x)在(??,0)上是增函数，此时?'(x)的取值集合

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

B?(??,?)；

若??0时，?'(x)在(??,0)上是减函数，此时?'(x)的取值集合B?(?,??)。

对任意给定的非零实数x，

①当x?0时，∵?'(x)在(0,??)上是减函数，则在(0,??)上不存在实数，使得?'(x)??'(t)，则t?(??,0)，要在(??,0)上存在非零实t（t?x）

??0； 数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有A?B，∴

②当x?0时，?'(x)?2?x??在(??,0)时是单调函数，则t?(0,??)，要在(0,??)上存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有

??0。 B?A，∴

综上得，实数?-------------------16分 23

的取值范围为

(??,0)。

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高分社区

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

高考热门资料库（免费下载）:http://bbs.gaofen.com/forum-70-1.html

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s2o.html