高考专题 等差数列、等比数列(押题专练)高考理数二轮复习精品资

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝8，则S7＝( ) A．28 B．32 C．56 D．24 7×（a1＋a7）7×（a3＋a5）

解析：S7＝＝＝28.故选A. 22答案：A

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( ) A．－2或1 C．－2

B．－1或2 D．1

答案：C

a693．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且a＝11，则当Sn取最大值时，n的值为( )

5

A．9 B．10 C．11 D．12

解析：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即当n＝10时，Sn取得最大值．

答案：B

4．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( )

A．4 B．5 C．6 D．7

解析：由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，∴am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，

∴T2m－1＝22m1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.

－

答案：B

a8＋a91

5．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，2a3，2a2成等差数列，则＝( )

a6＋a7A．6 B．7 C．8 D．9

1

解析：∴3a1，2a3，2a2成等差数列， ∴a3＝3a1＋2a2，

∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)． a8＋a9a1q7＋a1q8q2＋q3∴＝5＝q2＝32＝9. 6＝a6＋a7a1q＋a1q1＋q答案：D

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )

A．12 B．14 C．15 D．16 答案：D

7．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( ) A．52 B．7 C．6 D．42 答案：A

解析：由题意知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9三数成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50.又an＞0，

∴a4a5a6＝52，故选A.

8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足数列{an}的公比为( )

A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案：B

S2ma2m5m＋1

＝9，＝，则Smamm－1

a1（1－q2m）

1－qS2mS2m

解析：设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝SmSma1（1－qm）

1－q＝qm＋1＝9，∴qm＝8.

2m1

5m＋1a2ma1q

∴＝m－1＝qm＝8＝， ama1qm－1

－

∴m＝3，∴q3＝8， ∴q＝2.

9．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 答案：D

an＋m10．数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则a3＝________；{an}

am

的前n项和Sn＝________.

an＋m

【解析】 ∵＝an，

am∴an＋m＝an·am，

∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8. 令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，

∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝2的等比数列， 2（1－2n）n＋1∴Sn＝＝2－2.

1－2

【答案】 8 2n1－2

＋

11．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)．若存在正实数λ使得数列{an

＋1

＋λan}为等比数列，则λ＝________. 【解析】 由题意可知，

1

an＋2＋λan＋1＝(1＋λ)an＋1＋an＝(1＋λ)?an＋1＋1＋λan?，

??

∴

－1＋5－1－51

＝λ，解得λ＝或λ＝(舍)，

221＋λ

－1＋5

∵a1＝a2＝1，∴a3＝2，易验证当n＝1时满足题意．故λ＝. 2

－1＋5

2

*

12．各项均不为零的等差数列{an}中，a1＝2，若a2n≥2)，则S2 016n－an－1－an＋1＝0(n∈N，【答案】 ＝________．

*2解析：由于a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N，n≥2)，即an－2an＝0，∴an＝2，n≥2，又a1＝2，

∴an＝2，n∈N*，故S2 016＝4 032.

答案：4 032

13．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．

答案：1 121

14．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a2n成等差数列，则an＝________．

2解析：∵an，Sn，a2n成等差数列，∴2Sn＝an＋an.

当n＝1时，2a1＝2S1＝a1＋a21. 又a1>0，∴a1＝1.

222当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a2n－an－1－an－1，∴(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，

∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0， 又an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n(n∈N*)． 答案：n

9

15．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝2. (1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

35

16．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝2，a3＝4，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

?1?

(2)证明：?an＋1－2an?为等比数列；

?

?

(3)求数列{an}的通项公式．

(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，

4a3－a2

整理得a4＝4， 35

又a2＝2，a3＝4， 7

所以a4＝8. (2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1， 即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1， ∴4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)， 1

即an＋2＝an＋1－4an(n≥2)． 经检验，当n＝1时，上式成立．

1?11?11??an＋2－2an＋1an＋1－4an－2an＋12an＋1－2an

????11

∵＝＝＝为常数，且a2－a1＝1， 11122an＋1－2anan＋1－2anan＋1－2an

?1?1

∴数列?an＋1－2an?是以1为首项，2为公比的等比数列．

?

?

an（an＋1）*

17．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N)． 2(1)求证：数列{an}是等差数列； 1

(2)设bn＝S，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

n

an（an＋1）*

(1)证明： Sn＝(n∈N)，① 2an－1（an－1＋1）Sn－1＝(n≥2)．② 2

2

a2n＋an－an－1－an－1

①－②得：an＝(n≥2)， 2

整理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)(n≥2)． ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an＋an－1≠0， ∴an－an－1＝1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝1，

∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． n2＋n(2)解：由(1)得Sn＝2，

1?22?1

∴bn＝2＝＝2n－n＋1，

n＋nn（n＋1）??

??1??11??11?∴Tn＝21－2＋2－3＋3－4＋…＋ ???????

?1－1??＝2?1－1?＝2n. ?nn＋1???n＋1?n＋1

18．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

19．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上．在数列1

{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

2

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝anbn，求证：cn＋1

解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1. ∴数列{an}是一个以2为首项，公差为1的等差数列． ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

2?1?n－12

(3)证明：由(2)可知bn＝·＝n.

3?3?32

∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n. 3

22

∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 33＝＝33

n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]

22

n＋1(－2n－1)<0.

∴cn＋1

20．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，a1，a5的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式；

111

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋

S1S2S3

1

解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16， 因为a3－a2＝8，则a2＝8， 所以q＝2，a1＝4， 所以an＝2n1.

＋

故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有 1111＋＋＋…＋<3. S1S2S3Sn

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