2022-2022学年辽宁省葫芦岛市高二下学期期末考试 数学 word版

绝密★启用前

数学试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题，共60分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.若集合A＝{x|x<3}，B＝{x|

x≤2}，则A∩B＝

A.{x|x<3}

B.{x|0≤x<3}

C.{x|0

D.{x|x≤4}

2.在复平面内，复数i(i-a)对应的点的坐标为(-1，2)，则实数a＝

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.设m，n∈R，则“m>n”是(1

2

)m-n<1的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台。在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育。与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大。基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表：

通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间

参考公式：

2 211221221

1234

()

n n n n n

n n n n

χ

++++

-

=

A.有关的可靠性不足95%

B.有99%的把握认为两者有关

C.有99.9%的把握认为两者有关

D.有5%的把握认为两者无关

5.设函数y ＝f(x)在x ＝x 0处可导，且000f (3x)f(x )lim

12x x x ?→+?=?，则f'(x 0)等于 A.23B.-23

C.1

D.-1 6.已知a ＝1

3e -，b ＝ln 13，c ＝11log 3

e ，则a ，b ，c 的大小关系 A.a7.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到1ga-lgb 的不同值的个数是

A.20

B.18

C.10

D.9

8.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件。在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是 A.35B.25C.59D.23

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)

9.复数z 满足23i z 3i 232i

+?+=-，则下列说法正确的是 A.z 的实部为-3B.z 的虚部为2C.z ＝3-2iD.|z|1310.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋2)＝f(x －1)，已知当x ∈[0，32]时，f(x)＝(12

)1-x ，则下列说法正确的是 A.3是函数f(x)的周期B.函数(x)在(32，3)上递减，在(3，92

)上递增 C.函数f(x)2，最小值为0D.当x ∈(3，92)时，f(x)＝(12

)－x －2 11.已知函数f(x)＝2020x ＋log 20202x 1+x)2020－x ＋1，则下列在关于x 的不等式f(2x ＋1)

＋f(x ＋1)-2>0解集中的有 A.-1B.1

3- C.23D.47

12.已知函数f(x)＝lnx x 03x 1x 0

>??+≤?，，，若直线y ＝kx 与y ＝f(x)交于三个不同的点A(a ，f(a))，

B(b ，f(b))，C(c ，f(c))(其中a

1a ＋3的可能值为 aA.1B.2C.3D.4

第II 卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(1)＋lnx ，则f'(1)＝ 。

14.《中国诗词大会》(第三季)将《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场。要求将《沁园春·长沙》排在最后，同时《蜀道难》排在《游子吟》的前面且二者必须相邻，这六场的排法共有 。

15.

若23x n ?? ?

的展开式中各项系数之和为256，则n ＝ ；展开式中常数项是 。(本小题第一空2分，第二空3分)

16.对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x|f(x)＝0}，μ∈{x|g(x)＝0}，使得|λ-1|＋|μ-1|≤3，则称函数f(x)与g(x)为“相关零点函数”。现已知函数f(x)＝e x －3＋x-4与g(x)＝x 2-mx-x ＋4互为“相关零点函数”，则实数m 的取值范围是 。

四、解答题(本题共6小题，共70分17题10分，18题-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知函数f(x)＝(x-1)2＋ax ＋2(a ∈R)为偶函数。

(1)求实数a 的值；

(2)若(ax-1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求a 1＋a 2＋a 3＋a 4的值。

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝13

x 3-ax ＋a ，a ∈R 。 (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(0，1)处的切线方程；

(2)求函数y ＝f(x)的单调区间。

19.(本小题满分12分)

随着科学技术和电子商务的发展，近年来人们的购物方式发生了翻天覆地的变化，网络购物成为当下流行的购物方式，同时网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，除了各大商场

逐渐萧条外，居民区的蔬菜水果市场受到一定程度的影响。统计部门为了解市场情况以及查找原因，在民安社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”的家庭(方式甲)和“利用网络购买水果蔬菜”的家庭(方式乙)进行抽样调查统计：从民安社区随机抽取了100户家庭进行调查研究，将消费金额(元)按照大于0元且不超过1000元、超过1000元且不超过2000元、超过2000元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有5户。统计结果如下表：

(1)从民安社区随机抽取户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率；

(2从样本中的高消费群体里任取3户，用ζ来表示这3户中仅用方式乙的家教，求ζ的分布列和数学期望；

(3)将上个月样本数据中的频率视为概率。现从民安社区(民安社区家庭数量很多)随机抽取4户，发现有3户本月的消费金额都在2000元以上。根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化?说明理由。

20.(本小题满分12分)

已知定义城为R的函数f(x)＝

x

x1

e b

e a

+

-

+

是奇函数。

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈[0，1]，不等式f(t2-2t)＋f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围。

21.(本小题满分12分)

“全面小康路上一个也不能少”是习近平总书记向全国人民作出的郑重承诺!是对全面建成小康社会的形象表达，其中一个重要指标，就是到2020年我国现行标准下农村贫困人口全面脱贫。目前，全国还有一些贫困县未摘帽，不少贫困村未出列，建档立卡贫困人口尚未全部脱贫。某市为了制定下一步扶贫战略，统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入，并绘制了如下频率分布直方图：

(1)若这1000户家庭中，家庭年纯收入不低于5(千元)的家庭，且不超过7(千元)的户数为40户，请补全频率分布图，并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值X(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

(2)由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入X服从正态分布N(μ，σ2)。其中μ近似为年纯收入的平均值X，σ2近似为样本方差，经计算知σ2＝9.26；设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为x千元(即家庭年纯收入大于x千元，则该户家庭实现脱贫，否则未能脱贫)，若根据此正态分布估计，这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，试求该市的脱贫标准x；

(3)若该市为了加大扶贫力度，拟投入一笔资金，帮助未脱贫家庭脱贫，脱贫家庭巩固脱贫成果，真正做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下：对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元，对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元，对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元，对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持，设Y为每户家庭获得的扶持资金，求E(Y)(结果精确到0.001)。

附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

22.(本小题满分12分)-

设函数f(x)＝2alnx－x2，其中实数a>0。

(1)当a＝1时，求f(x)的极大值；

(2)若函数f(x)在e e2]上有零点，求a的取值范围；

(3)设函数g(x)＝e x＋m-x2-2x-3，证明：当a＝1

2

时，对于?m∈[1，＋∞)都有f(x＋1)

2020年葫芦岛市普通高中学业质量监测考试

高二数学

参考答案及评分标准

一.单选题1-4BDCB5-8ADBD

二.多选题9.AD10.AB11.BCD12BC

三.填空题13.-114.24种15.8（2分）;252（3分）16.m ≥3

四.解答题

17.（1）2()(2)3f x x a x =+-+

若()f x 为偶函数，则 对称轴202

a x -==，2a =……………………………………………………………4 （2）由（1）知2a =，

故(2x-1)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4

令x=0得，a 0=1....................................................................................6 令x=1得1=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4.....................................................................8 故a 1+a 2+a 3+a 4=0 (10)

18.（1）当1a =时，31() 1.3f x x x =

-+ 因为2'()1f x x =-，........................................................................2 所以'(0)1f =-. (4)

所以曲线()y f x =在点(01)，

处的切线方程为10x y +-=.……………6 （2）定义域为R .

因为2'(),.f x x a a =-∈R

①当a ≤0时，'()0f x ≥恒成立.

所以函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增 (8)

②当0a >时，令'()0f x =，则x =x =

所以当'()0f x >时，x

当'()0f x <时，x << (10)

所以函数()y f x =

在(,-∞

和

)+∞

上单调递增，在(上单调递减. 综上可知，当0a ≤时，函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增；

当0a >时，函数()y f x =

在(,-∞

和

)+∞上单调递增;

在(上单调递减 (12)

19.（1）依样本数据可知两种购买方式都使用的人数为40户，样本数量为100，所以可估计上个月两种购买方式都使用的概率4021005

P ==………………………………3 （2）根据题意，样本中高消费群体共6户，仅用方式乙购买的家庭3户

故0,1,2,3ξ=

3003

36

1(0)20C C P C ξ=== 1233

36

9(1)20C C P C ξ===…………………………………………………………………5 2133

36

9(2)20C C P C ξ=== 0330

361(3)20C C P C ξ===

…………………………………………………………………7 ξ

0 1 2 3 P 120 920 920 120 3()2NM E N ξ==或1991303()012320202020202

E ξ=?+?+?+?==……………………9 （3）设事件A=“从该社区抽取1户消费金额在2000元以上家庭” 63()10050P A =

= 抽取4次，可设高消费家庭出现次数为X

于是，有X —B 3(4,

)50

所以33443475076(3)()0.0008505050P X C ==?=≈…………………………………………11 答案示例1：可以认为有变化．

理由如下：P （x=3）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． (12)

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容

易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化． (12)

20.解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即101b b a e -=?=+ (2)

11()x

x e f x e a +-∴=+，又由f （1）=-f （-1）知2111.1e e a e e a a --=-?=++ 所以，a=e,b=1 (4)

（2）由（1）知11112()x x x e f x e e e e e

++-==-++， 易知()f x 在(,)-∞+∞上为增函数， (6)

又因()f x 是奇函数，从而不等式：22

(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，

因()f x 为增函数，由上式推得：2222t t k t -<-．…………………………………8 即对一切[0,1]t ∈有：232t t k -<，

令g(t)=232t t -即 g(t)=22113-33t ??- ??

?,………………………………………………………………………10 当t=1时，有g(t)max =g(1)=1

从而k>1 (12)

21.解：（1）家庭年纯收入不超过7（千元）的频率为401000

=0.04； 家庭年纯收入超过15千元，但不超过17千元的家庭频率为1-2×（0.02+0.05+0.12+0.16+0.06+0.04）=0.1，补全频率分布直方图如下图：

（补图） (2)

这1000户家庭的年纯收入的平均值

X -=6×0.04+8×0.1+10×0.24+12×0.32+14×0.12+18×0.08=12 (4)

(2)1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,则未脱贫概率为

1-841.351000

=0.15865…………………………6 设该市的脱贫标准为x ，则P （x

根据P(μ-δ

得脱贫标准x=μ-δ=12-9.26=12-3.04=8.96 (8)

（3）家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为

P （X<5.92）=P （X<μ-2δ）=1-0.95452

≈0.0228, 家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭频率为

P （5.92

=0.1359…………9 家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭频率为

P （8.96

家庭年纯收入超过15.04千元的家庭频率为

P （X>15.04）=P （X>μ+δ）=1-0.68272

≈0.1587…………………………10 则每户家庭获得的扶持资金Y 的数学期望

E （Y ）=15×0.0228+12×0.1359+8×0.6827+0×0.1587=7.4344≈7.434千元 (12)

22.（1）当1a =时，2()2ln x f x x =-

222(1)2(1)(1)()2x x x f x x x x x

---+-'=-== 01x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数

1x >时，()0f x '<，()f x 为减函数

所以()f x 的极大值为(1)1f =- (4)

（2）2()2a f x x x '=-=

0x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数

x ()0f x '<，()f x 为减函数

所以max ()(ln 1)a f x f a ==-

①(ln 1)0a a -<，即0a e <<时，函数()f x 无零点，在2)e 上也无零点

②若(ln 1)0a a -<，即a e =时，函数()f x 在内有唯一零点a 2a e <

所以()f x 在2)e 内有一个零点

③当(ln 1)0a a -<，即a e >时，

因为0f a e =->，所以24

()40f e a e =-<,4

4e e a << 综上所述，a 的取值范围为4

[,)4

e e ……………………………………………………8 （3）证法1： 当12a =时，(1)2(1)ln (1)x

f x x ++=-+

所以(1)()f x g x +<等价于

(1)22ln (1)23x x m x e x x ++-+<---

整理得：(1)ln 2x x m e +++<

因为1m ≥，所以1x m x e e ++≥

要证()+e ln 120x m x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+-> (9)

以下给出三种思路证明1e

ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1e

ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()

121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-

+在()1+-∞，上单调递增．…………………………10 因为121e 202h ??'-=-< ???

，()0e 10h '=->， 所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ??∈- ???

. 因为()00h x '=，所以0+101e 1

x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，

所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .

所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201

x x =++->+. 综上可知，当a=12 时，对于?m ∈[1,+∞)都有，f(x+1)

（以下供阅卷教师参考）

思路2：先证明1e

2x x +≥+()x ∈R ． 设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．

因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，

所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．

所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，

只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．

设()()ln 1p x x x =-+，则()1111

x p x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，

所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．

所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同，

所以1e ln(1)20x x +-+->．

综上可知，当a=12 时，对于?m ∈[1,+∞)都有，f(x+1)

（若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1e ln(1)20x x +-+->．

令1t x =+，转化为证明e ln 2t t ->()0t >．……………………………………5分 因为曲线e t

y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，

设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，

则)12AB d d =+． 其中0

1x d =，2d =()00x >．

①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->． 所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=． 所以00122x d =

>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-

=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减； 当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=． 所以222

2d =≥． 所以()1222222AB d d ??≥+>+= ? ??

． 综上可知，当a=12 时，对于?m ∈[1,+∞)都有，f(x+1)

证法二：

当12

a =

时，(1)2(1)ln (1)x f x x ++=-+ 所以(1)()f x g x +<等价于 (1)22ln (1)23x x m x e x x ++-+<--- 整理得：(1)ln 2x x m e +++< 因为1m ≥，所以1x m x e e ++≥

要证()+e ln 120x m x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.……………………

以下给出两种思路证明()+e

ln 120x m x -+->． 思路1：设()()+e

ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x m h x x '=-+. 设()+1e 1x m p x x =-+，则()()

+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x m h x x '=-

+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥，

所以()()

1e +1e 1e e e e e 10m m m m m m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->. 所以函数()+1e 1x m h x x '=-

+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分

因为()00h x '=，所以0+01e 1

x m x =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.

所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x m h x h x x ≥=-+-00121

x m x =++-+ ()0011301

x m x =+++->+． 综上可知，当a=12 时，对于?m ∈[1,+∞)都有，f(x+1)

思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．

因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，

所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．

所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．

所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()x x x ≥+∈R ．…………………………………7分

所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+e

ln 120x m x -+->． 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e 2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号， 所以()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=?-+-

11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．

综上可知，当a=12 时，对于?m ∈[1,+∞)都有，f(x+1)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s23l.html