2015高三差缺补漏题（理科） - 图文

2015届广州市高三数学差缺补漏题（ 理科）

1．已知向量m?(2sinxxx,2sin2?1)，n?(cos,?3)，函数f(x)?m?n．

444（1）求函数f(x)的最大值，并写出相应x的取值集合； （2）若f(???3)?10，且??(0,?)，求tan?的值． 5解析： ：（1）

xxxxxx?f(x)?m?n?2sincos?3(1?2sin2)?sin?3cos?2sin(?)，

4442223∴当

x?????2k??，即当x?{x|x?4k?? (k?Z)}时，fmax?2； 2323?3)?2sin(（2）由（1）得：f(???2??2)?2cos?2，∴cos?2?10，10cos??2cos2?2?1??4。 5∵??(0,?)，∴sin??

3sin?3??． ，∴tan??5cos?42. 已知函数f(x)?sinx?(2cosx?sinx)?cos2x． （1）讨论函数f(x)在[0,?]上的单调性； （2）设

?4????2，且f(?)??52，求sin2?的值． 13解析：（1）f(x)?sin2x?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x?2sin(2x?)，

4由x?[0,?]得2x?当2x?当2x?当2x????9??[,]， 444??[,]即x?[0,]时，f(x)递增； 4428?????3??5??[,]即x?[,]时，f(x)递减； 42288?[3?9?5?,]即x?[,?]时，f(x)递增． 248?4综上，函数f(x)在区间[0,]、[（2）由f(?)???85??5?,?]上递增，在区间[,]上递减． 88852?52?5，即2sin(2??)??，得sin(2??)??， 134134131

因为

?4????2，所以

3??5??12，可得cos(2??)??， ?2???4444132?2???sin(2??)?cos(2??) 则sin2??sin[(2??)?]?242444?2521272?(?)??(?)?． 21321326

3. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足：

a2?(b?c)2?(2?3)bc,又sinAsinB?（1）求角A的大小；

（2）若a?4，求?ABC的面积S． 解：（1）∵a2?(b?c)2?(2?3)bc,

1?cosC. 2b2?c2?a23bc3∴ b?c?a?3bc, 又∵cosA???2bc2bc2222∴A?π 61?cosC 2（2）∵sinAsinB?∴2sinAsinB?1?cosC?1?cos(A?B)，

cosAcosB?sinAsinB?1即cos(A?B)?1 ∴

∴A?B?0,即B?A?又∵a?4,S?∴S?43

24. 设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc ．

π2π,C? 631absinC 222 （1） 求sinA的值；

2sin(A?)sin(B?C?)44的值． （2）求

1?cos2Ab2?c2?a222?解：（1）由余弦定理得cosA? 2bc3?? 2

又0?A??,故sinA?1?cosA?21 32sin(A?)sin(??A?)44 （2）原式?1?cos2A2sin(A?)sin(A?)44 ?22sinA2(

????

?2222sinA?cosA)(sinA?cosA)2222 22sinA

sin2A?cos2A? 22sinA7??.

25. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095?2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM 2.5日均值（微克/立方米） 频数 [25,35] (35,45] 3 1 (45,55] 1 (55,65] 1 (65,75] 1 (75,85] 3 [来源学科网]（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记?表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求?的

分布列；

（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中

平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.

解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到

1C3?C7221?一级”为事件A，则P(A)? 3C1040答：恰有一天空气质量达到一级的概率为

21 40 3

（2）依据条件，?服从超几何分布，其中N?10,M?3,n?3,

?的可能取值为0，1，2，3，

3?kC3kC7P(??k)?(k?0,1,2,3) 3C10其分布列为

? 0 1 2 3 P 724[来源学&科&网]21 407 401 1207 10（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P?设一年中空气质量达到一级或二级的天数为?，则??E??365?0.7?255.5?256

B(365,0.7)

?估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级

6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。 (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望； ．．．(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为

7?50(人). 0.14∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) 即这次铅球测试成绩合格的人数为36 (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为

1477,∴X～B(2,). ?502525P(X?0)?(1823241825274917，P(X?1)?C2，P(X?2)?()2?. )?()()?25625252562525625所求分布列为

4

X P 0 324 6251 252 6252 49 625E(X)?2?14714 两人中成绩不合格的人数的数学期望为 ?．．．252525y10.59.5DA89FCEB10(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为

?8≤x≤10， ??9.5≤y≤10.5事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x?y，如图所示.

x111??222?1. 即甲比乙投掷远的概率为1 ∴由几何概型P(A)?161?216

7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：

喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计

（1）请补充完成2?2列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？ （2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任

取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望。

认为作业多 40 20 认为作业不多 20 合计 n(ad?bc)2 附：K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2?k0) 0.05 k0

解：（1）统计数据如下表：

喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计

0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 3.841 认为作业多 40 20 60 5

认为作业不多 20 30 50 合计 60 50 110

110?40?30?20?20?将表中的数据代入公式，可求得K2??7.822?6.635.

60?50?60?502查表PK?6.635?0.010.?有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。

2?? （2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名。

由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2,3,4.

31422C4C28C41C4C22 其中 P?X?2???,PX?3??,PX?4??. ????444C65C615C615 所以X的分布列为

X P 2 3 4 2 58 151 15故X的数学期望为E?X??2?

6818?3??4?? 15151538．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为

23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一34次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量?表示该射手一次测试累计得分，如果?的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分?的分布列和数学期望E?； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。 解析：（1）?的所有可能取值为0,2,3,4，则

1111P(??0)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)????34448，

P(??2)?P(ABB)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)1311136???????34434448，

P(??3)?P(A)?23，

1339P(??4)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)????34448．

6

?的分布列为：

? 0 148 2 3 23 4 P 648 948 E??0?1629?2??3??4??34848348，

（2）射手选择方案1通过测试的概率为

P1，选择方案2通过测试的概率为P2 ,

2931P?P(??3)???134848；

1333133327P2?P(??3)?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?????????4444444432,

因为

9. 如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1?2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点， E是线段BC1上一点，且BE?P2?P1，所以应选择方案2通过测试的概率更大．

1BC1． 3（1）求证：GE//侧面AA1B1B；

（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．

解：（1）延长B1E交BC于点F，

111?B1EC1∽△FEB，BE=EC1， ∴BF=B1C1=BC，

222从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且又GE?侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B （2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，

∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC． 又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，

7

FGFE1??,?GE//AB1， FAFB13∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=3.

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF， 又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角． ∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AHsin30??在Rt△B1HT中，tan?B1TH?3． 2B1H23， ?HT33从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为23

解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC． 以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz如图， 则A?0,?1,0?，B?0,1,0?，C??3,0,0， 3,1,3．

?A10,0,3，B10,2,3，C1??????3∵G为△ABC的重心，∴G?． ,0,0???3???BE?1??BC1，∴E?3,1,3?，

?333?????∴CE??0,1,3??1AB1．

?3???3又GE?侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

?323a?b?c?0,?n?BE?0,?1（2）设平面B1GE的法向量为n?(a,b,c)，则由?得 ?33????n?GE?0.?b?3c?0.?3?可取n??3,?1,3 又底面ABC的一个法向量为m???0,0,1?

m?n21． ?|m|?|n|7设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为?，则cos??由于?为锐角，所以sin??1?cos2??27，进而23．

tan??733故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为23

10. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2, ?AAC1160 ,平面

8

ABC1^平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.

（1）求证：BD^平面AA1C1C;

（2）设点E是直线B1C1上一点，且DE//平面AA求平面EBD与平面ABC1夹角的1B1B，余弦值.

DB1EC1CB

A1A解析：：（1）由已知得侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点，

BA=BC1,\\BD^AC1

平面ABC1^平面AA1C1C，且BDì平面ABC1，平面ABC1?平面AA1C1C=AC1

?BD^平面AA1C1C.

D是AC1的中点，所以DF//平面AA1B1B， （2）设点F是AC11的中点，因为点

DEF//平面AA1B1B，又平面DEF?平面又因为DE//面AA1B1B，所以平面

A1B1C1?EF，

E是B1C1的中点。 平面AA1B1B?平面A1B1C1?A1B1，所以EF//A1B1，所以点

如图，以D为原点,以DAz轴建立空间直角坐标系. 1,DA,DB所在直线分别为x轴, y轴，

B1EC1FA1xDCzBAy

由已知可得AC1=2,AD=1,BD=A1D=DC=3,BC=6 所以

D(0,0,0),A(0,1,0),A1(3,0,0),B(0,0,3),C1(0,?1,0)

设平面EBD的一个法向量是m=(x,y,z)由m?DB得3z?0?z?0， 又DE?1133(DC1?DB1)?(DC1?DB?AA1)?(,?1,) 2222 9

由m?DE?(x,y,z)?(333,?1,)?0?x?y?0 2223,0) 2令x?1?y?3，所以m?(1,2ABC1的平面ABC1^平面AA1C1C ，DA1?AC1，所以DA1?平面ABC1∴DA1是平面

一个法向量是DA1??1?(3,0,0)， cos?m,DA327 ?731??34平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值是

27 7ABCD是梯形,AD//BC,侧面ABB1A111. 如图所示,在四棱柱ABCD?A1BC11D1中,底面

为菱形,?DAB??DAA1. (1) 求证:A1B?AD;

D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,(2) 若AD?AB?2BC,?A1AB?60,点

求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.

解析：解一：（1）因为侧面ABB1A所以AB?AA1，1为菱形，又?DAB??DAA1，

所以A1B?AD?A1A?AB?AD?A1A?AD?AB?AD

???A1A?ADcos(???DAA1)?AB?ADcos?DAB??AB?ADcos?DAA1?AB?ADcos?DAA1?0，

从而A1B?AD.

O，连接DO、AB1，由题意知DO?平面（2）设线段A1B的中点为

ABB1A1.因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1?A1B，故可分别以射线

OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角

坐标系O?xyz，如图1所示.

设AD?AB?2BC?2a，由?A1AB?60?可知OB?a，OA?OB1?3a，所以

10

OD?AD?OA?a，从而A(0，0，0)，B1(0，3a，0)，?3a，0)，B(a，22D(0，，0a). 所以 CC1?BB1?(?a，3a，0).

由BC?13131AD可得C(a，a，a)，所以DC?(a，a，?a). 22222设平面DCC1D1的一个法向量为m?(x0，y0，z0)，由m?CC1?0，m?DC?0，

??ax0?3ay0?0，?得 ?取y0?1，则x0?3，z0?33，所以m?(3，，133). 31ay0?az0?0.?ax0??22又平面ABB1A的法向量为OD?(0，，0a)，所以1cos?OD，m?=OD?mODm=33a3?93. 31a31393. 31故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为BD，设AB1交A1B于点O， 解二：（1）连接AB1、A1D、

连OD，如图2所示.

ABD， 由AA1?AB，?DAB??DAA1可得△AA1D≌△

所以A1D?BD.由于O是线段A1B的中点，所以DO?A1B，

又根据菱形的性质AO?A1B，所以A1B?平面ADO，从而A1B?AD. （2）因为AD//BC，AD?2BC，所以延长AB、DC交于点E，

图2

EF， 延长A1B1、D1C1交于点F，且BE?AB，B1F?A1B1.连接

则EF//BB1.过点O作BB1的垂线交BB1于点G，交EF于点H， 连接DH，如图3所示.因为EF//BB1，所以OH?EF.

DH?EF， 由题意知DO?平面ABB1A1，可得

故?DHO是平面DCC1D1与平面ABB1A1所成二面角的平面角. 易知OG?333a，GH?3a，所以OH?a.在Rt△DOH中， 222?33?DH?OH?OD???2a????2233aOH39331?2?. ?a2?a，所以cos?DOH?DH31231a2图3

11

故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为

393. 3112．已知平行四边形ABCD，AB?4，AD?2，?DAB?60o，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A?4，F是线段AC11的中点． 1DE位置，使得AC（1）求证：BF//面A1DE； （2）求证：面A1DE?面DEBC； （3）求二面角A1?DC?E的正切值．

A1FDCDCAEBEB

解析： (1) 如图

A1 F为AC1中点

G，连接FG、GE 证明：取DA1的中点

GDFC?GF//DC，且GF?DC

E为平行四边形ABCD边AB的中点

12EB?EB//DC，且EB?DC ?EB//GF，且EB?GF ?四边形BFGE是平行四边形

12?BF//EG

EG?平面A1DE，BF?平面A1DE

? BF//平面A1DE

（2）取DE的中点H，连接A1H、CH

A1FDH12

AB?4，AD?2，?DAB?60o，E为AB的中点

??DAE为等边三角形，即折叠后?DA1E也为等边三角形 ?A1H?DE，且A1H?3

CEB在?DHC中，DH?1，DC?4，?HDC?60o 根据余弦定理，可得

HC2?DH2?DC2?2DH?DCcos60o?12?42?2?1?4?，HC?13AC?4， A1H?3，12?AC?A1H2?HC2，即A1H?HC 11?13在?A1HC中，2

又

?A1H?DE?AH?HC1???DE?面DEBC，所以A1H?面DEBC ?HC?面DEBC???DEHC?HA1FDHEBOC又

A1H?面A1DE

?面A1DE?面DEBC

（3）过H作HO?DC于O，连接AO1、HO

A1H?面DEBC ?A1H?DC

又A1HHO?H

?DC?面A1HO ?DC?AO1,DC?HO

是二面角A1?DC?E的平面角 ??AOH1o在Rt?A，HO?DH?sin60?1?H?31HO中，A133，故?22tan?AOH?13?2 32所以二面角A1?DC?E的正切值为2

13. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，满足：a2?a4?18,S7?91.递增的等比数列?bn?,Tk?126， 前n项和为Tn，满足：b1?bk?66,b2bk?1?128（1）求?an?、?bn?的通项公式

13

（2）设数列?cn?对?n?N，均有

?cc1c2????n?an?1成立，求c1?c2???c2015 b1b2bna2?a4?2a3?18??7(a1?a7)解：由题意得?，得a3?9,a4?13 S??7a?9174?2?则公差d?4，则an?a3?4(n?3)?4n?3

?b2bk?1?b1bk?128,b1?bk?66

则b1,bk是方程x?66x?128?0的两根，得b1?2,bk?64 又Tk?2b1?bkq2?64q??126，则q?2，则bn?2n

1?q1?q（2）?cc1c2????n?an?1 b1b2bn?cc1c2????n?1?an(n?2) b1b2bn?1cn?an?1?an?4(n?2) bn两式相减得

则cn?4bn?2n?2(n?2) 又

c1?a2?5,b1?2，则c1?10 b1则c1?c2???c2015?10?(22?24???22017)?22018?6

14. 设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足an+12=4Sn+4n?3，且a2,a5,a14恰好是等比数列?bn?的前三项．

（1）求数列?an?、?bn?的通项公式；

*（2）记数列?bn?的前n项和为Tn，若对任意的n?N，(Tn?)k?3n?6恒成立，求实

32数k的取值范围． 解：（1）

2an+12=4Sn+4n?3，?当n?2时，an=4Sn?1+4?n?1??3，

?an+12?an2=4?Sn?Sn?1??4=4an?4，

?an+12?an2?4an?4??an?2?2，

an?0恒成立，?an+1?an?2,n?2，

当n?2时，

?an?是公差d?2的等差数列.

14

2a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?a14，?a2?8??a2??a2?24?，

2解得

a2?3，

?当n?2时，an?3?2?n?2??2n?1，

2a2由条件可知，=4a1+4?3，?a1?2

?2,n?1an???2n?1,n?2. ?数列?an?的通项公式为

?b1?3,b2?9，?数列{bn}的通项公式为bn?3

n?1b1(1?qn)3(1?3n)3n?1?33?33Tn????(?)k?3n?6*1?q1?3222（2）， 对n?N恒成

n?k?立， 即

2n?43n对n?N*恒成立， 11分

令

cn?2n?42n?42n?6?2(2n?7)c?c??n?1?nn?13n，3n33n，

当n?3时，

cn?cn?1，当n?4时，cn?cn?1

22k?27，27．

?(cn)max?c3?

15．已知数列?an?满足an?3an?1?3n?1(n?N?,n?2)且a3?95。 （1）求a1,a2的值；

（2）是否存在一个实数t，使得bn?1?(a?t)(n?N)且?bn?为等差数列？若存在，求nn3出t的值；如不存在，请说明理由； （3）求数列?an?的前n项和Tn．

解析：（1）当n=2时，a2?3a1?8，当n=3时，

a3?3a2?26?95?a2?23，?23?3a1?8?a1?5．

（2）法一：当n?2时，bn?bn?1?111a?t?a?t??????an?t?3an?1-3t? nn?13n3n?13n?1n1?2t3?1?2t?1?． ??3n3n15

要使?bn?为等差数列，则必须使1?2t?0, 即存在t??法二：利用b1?b3?2b2，可得t??（3） 因为当t??所以bn?1，使?bn?为等差数列． 2111，再证明bn?n(an?)为等差数列.

32213时，?bn?为等差数列，且bn?bn?1?1，b1? 2231?(n?1)?n? 22n所以an?(n?)?3?121 2n?3n?1nn(3n?1?1)??所以Tn? 222

?1?an?n,n为奇数，16．已知数列?an?中，a1?1,an?1??3

?an?3n,n为偶数.?（1）证明数列?a2n??是等比数列； （2）若Sn是数列?an?的前n项和，求S2n.

??3?2?解析：（1）设因为

bn?a2n?33131b1?a2??(a1?1)???2，则2326，

3131131a2n?1?(2n?1)?(a2n?6n)?(2n?1)?a2n?bn?12?32?32?1.2?3?3333bn3a2n?a2n?a2n?a2n?2222 311{a2n?}?2是以6为首项，3为公比的等比数列. 所以数列

a2(n?1)?31?1?bn?a2n??????26?3?（2）由（1）得

nn?11?1??????2?3?，

n1?1?31a2n??????a2n?a2n?1??2n?1?2?3?2， 由3即，

1?1?a2n?1?3a2n?3?2n?1??????2?3?得

n?1?6n?152，

16

所以

n?1nn1??1??1???1?a2n?1?a2n???????????6n?9??2????6n?92??3???3???3??，

S2n??a1?a2???a3?a4??L??a2n?1?a2n?

n1??1??1???3??3??2n??2??1?1??1??1??2?????L?????6?1?2?L?n??9n1??3???3?3???32?1??1?????1?3n2?6n????3?n?1??2?3??3?，

nn?????6?n(n?1)?9n2

x2y22217. 已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,. )，且其离心率为

ab22（1）求椭圆C的方程；

（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足BA?BF=2，求△ABF外接圆的方程. 解：（1）因为椭圆C经过点M(1,112)，所以2?2?1.①

a2b22a2?b22因为椭圆C的离心率为，所以，即a2?2b2.② ?2a2x2?y2?1. 联立①②解得，a?2,b?1.所以椭圆C的方程为222x2?y2?1，所以F(1,0),B(0,1). （2）由（1）得，椭圆C的方程为2x2设A(x0,y0)，则0?y0?1.③

2因为BA?(x0,y0?1),BF?(1,?1)，且BA?BF=2， 所以x0?(y0?1)?2，即y0?x0?1.④

24?x?,??x0?0,41?03联立③④解得，?或?，所以A(0,?1)或A(,).

33?y0??1,?y?1.0?3?

17

当A为(0,?1)时，因为OA?OB?OF?1，所以△ABF的外接圆是以O为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为x2?y2?1.

当A为(,)时，设△ABF的外接圆方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，

41334?D??,??3?1?D?F?0,??4?则?1?E?F?0,解得?E??,

3??17411???D?E?F?0,F?.3?93?3?此时外接圆的方程为x?y?22441x?y??0. 3332222综上所述，△ABF的外接圆的方程为x?y?1或x?y?441x?y??0. 333

x2y2718．已知圆M:(x?2)?y?，若椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶点为圆M的圆

ab322心，离心率为2． 2（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l:y?kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且AG?BH，求k的值． 解：（1）圆M的圆心为(2,0)，则a?2 e?c2?，?c?1，故b2?a2?c2?1 a2x2?y2?1 椭圆C的方程为2（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线l与椭圆C交于两点A，B

?y?kx则?2 得(1?2k2)x2?2?0 2?x?2y?2所以x1?x2?0，x1?x2??22

1?2k288(1?k2)?AB?(1?k)? 1?2k21?2k2 18

72k2点M(2,0)到直线l的距离d?，则GH?2r?d?2 ?2231?k1?k222k显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y?kx就是y轴，矛盾 AG?BH， ?AB?GH8(1?k2)72k2?4(?)， 解得k2?1，即k??1 即221?2k31?k

x2y2319. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，且点P(1,)在椭圆C上，O为

ab2坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且?AOB为锐角，求直线

l的斜率k的取值范围；

4x2y2?1上异于其顶点的任一点P，作圆O:x2?y2?的两条切（3）过椭圆C1:2?5a3b2?3线，切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：

11为定值． ?223mn解：（1）由题意得：c?1所以a2?b2?1

319 又因为点P(1,)在椭圆C上，所以??1，可解得a2?4,b2?3 222a4bx2y2??1． 所以椭圆标准方程为43（2）设直线l方程为y?kx?2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)

?y?kx?2?由?x2y2得：(4k2?3)x2?16kx?4?0，

?1??3?422因为??12k?3?0，所以k?1， 4又x1?x2??16k4xx?， 124k2?34k2?3因为?AOB为锐角，所以OA?OB?0， 即x1x2?y1y2?0， 所以x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?0，

19

所以(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0．

2所以(1?k)?4?16k?2k??4?0 224k?34k?3?12k2?1641422k??k??0即，所以．所以， 23434k?3解得?231123 ?k??或?k?3223x23y2??1设点P(x1,y1)，M(x2,y2)，N(x3,y3), （3）由题意：C1:44因为M,N不在坐标轴上，所以kPM??1kOM??x2 y2直线PM的方程为y?y2??化简得：x2x?y2y?x2(x?x2) y24 ④ 34同理可得直线PN的方程为x3x?y3y? ⑤

34?xx?yy?21??213把P点的坐标代入④、⑤得?

4?xx?yy?3131?3?所以直线MN的方程为x1x?y1y?令y?0，得m?4， 344，令x?0得n?， 3x13y144，y1?又点P在椭圆C1上， 3m3n424113)?3()2?4， 即2?2?为定值． 所以(3m3n3mn4所以x1?

220．已知抛物线C：x?2py(p?0)的焦点为F，点P是直线y?x与抛物线C在第一

象限的交点，且|PF|?5. （1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q,

20

试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点

N的坐标，若不存在，说明理由.

（1）解法1： ∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点， ∴设点P(m,m)(m?0) ∵抛物线C的准线为y??pp，由|PF|?5结合抛物线的定义得m??5 ① 22又点P在抛物线C上，∴m2?2pm(m?0)?m?2p② 由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x2?4y [解法2：∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点， ∴设点P(m,m)(m?0)

∵抛物线C的焦点为F(0,2即m?(m?pp)，由|PF|?5得m2?(m?)2?5 22p2)?25① 2又点P在抛物线C上，∴m2?2pm(m?0)?m?2p② 由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x?4y

（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点

2N，则点N必在y轴上，设N(0,n)

2x0又设点M(x0,)，由直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C4相切，由y?1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0 4222x0x?0(x?x0) ∴直线l的方程为y?422x0?2x22令y??1得x?，∴Q点的坐标为(0?,?1)，

x02x02x0x2?NM?(x0,?n),NQ?(0?,?1?n)

42x0 21

∵点N在以MQ为直径的圆上，

222x0x0x0?2?(1?n)(?n)?(1?n)?n2?n?2?0∴NM?NQ?244(*)

?1?n?0要使方程(*)对x0恒成立，必须有?2解得n?1

?n?n?2?0∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1) 解法2：设点M(x0,y0)，由l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线

1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0 422x∴直线l的方程为y?y0?0(x?x0) 7分

2相切，由y?令y??1得x?2(y0?1)2(y0?1)，∴Q点的坐标为(,?1) x0x0∴以MQ为直径的圆方程为：(y?y0)(y?1)?(x?x0)[x?分别令x0?2和x0??2，由点M在抛物线C上得y0?1

2(y0?1)]?0③ x0将x0,y0的值分别代入③得：(y?1)(y?1)?(x?2)x?0④

(y?1)(y?1)?(x?2)x?0⑤

④⑤联立解得??x?0,?x?0,或?

?y?1.?y??1.∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为(0,1)或

(0,?1)将(0,1)的坐标代入③式得，左边

=2(1?y0)?(?x0)[?2(y0?1)]?2(1?y0)?2(y0?1)?0=右边 x02(y0?1)]?2(y0?1)不恒等于0 x0将(0,?1)的坐标代入③式得，左边=(?x0)[?∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为(0,1)

22

21. 设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

x2(1) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间和极值；

(2) 证明：当k??0，+??时，函数f?x?在R上有且只有一个零点． 解: (1) 当k=1时, f(x)?(x?1)ex?x2,

f'(x)?ex?(x?1)ex?2x?x(ex?2).

当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:

增 减

增

由表可知, f(x)的增区间(-?,0), (ln2, +?), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为

?ln22?2ln2?2.

(2) f'(x)?ex?(x?1)ex?2kx?xex?2kx?x(ex?2k).

当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-?,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +?)上有且只有一个零点.，若k?[0,], 当x?1时, f'(x)?0, f(x)在[1,+?)上单调递增,

e2f(0)??1?0,f(2)?e2?4k?e2?2e?0,

所以f(x)在[1,+?)上有且只有一个零点.

若k?(,??), 则f(x)在[1,ln2k)上单调减,在(ln2k,??)上单调增,

f(1)=-k<0, f(k?1)?kek?1?k(k?1)2?k[ek?1?(k?1)2]. 令g(t)?e?t,t?k?1?2,

t2e2g'(t)?et?2t,g''(t)?et?2,t?2,?g''(t)?0,g'(t)在[2,??)上单增,

?g'(t)?g'(2)?e2?4?0,?g(t)在[2,??)上单增. g(t)?g(2)?e2?4?0,?f(k?1)?0.

所以f(x)在[1,+?)上有且只有一个零点. 综上得:f(x)在R上有且只有一个零点.

23

22. 已知函数f(x)?ax?b?2?2a(a?0)的图像在点(1,f(1))处的切线与直线xy?2x?1平行.

（1）求a，b满足的关系式；

（2）若f(x)?2lnx在[1,+?)上恒成立，求a的取值范围； （3）证明：1?11??35?111nn2n1?)??ln((2n??1)(n)∈N*） ?（?n

2n2n?1222n??11解：（1）f?(x)?a?

b，根据题意f?(1)?a?b?2，即b?a?2. 2x（2）由（Ⅰ）知，f(x)?ax?令g(x)?f(x)?2lnx?ax?a?2?2?2a， x

a?2?2?2a?2lnx，x??1,??? x

则g(1)?0，g?(x)?a?①当0?a?1时，若1?x?a?22?=xx2a(x?1)(x?x22?a)a

2?a?1 ， a

2?a，则g'(x)?0，g(x)在[1,??)减函数，所以g(x)?g(1)?0，即af(x)?2lnx在[1,??)上恒不成立．

②a?1时，

2?a?1，当x?1时，g'(x)?0，g(x)在[1,??)增函数，又g(1)?0，a所以f(x)?2lnx．

综上所述，所求a的取值范围是[1,??).

（3）由（2）知当a?1时，f(x)?2lnx在?1,???上恒成立．取a?1得x?令x?即1?1?2lnx x2n?12n?12n?12n?1?1，n?N*得??2ln， 2n?12n?12n?12n?1222n?1?(1?)?2ln所以2n?12n?12n?1,

112n?1111?ln?(?) 2n?122n?122n?12n?1

24

上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得

1111n1???…??ln(2n?1)? 352n?122n?1

23. 已知函数f?x??lnx?x?a有且只有一个零点. （1）求a的值；

（2）若对任意的x??1,???，有2f?x??k?x?2恒成立，求实数k的最小值； x（3）设h?x??f??x?1?x，对任意x1,x2??0,????x1?x2?，证明：x1?x2h?x＞x1x2恒成立.

1??h?x2?解析：（1）f(x)的定义域为(0，??)，f?(x)?1x?1??x?1x．

由f?(x)?0，得x?1.

∵ 当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0，

∴ f(x)在区间(0，1]上是增函数，在区间[1，+?)上是减函数， ∴ f(x)在x?1处取得最大值．

由题意知f(1)?0?1?a?0，解得a?1．

（2）法一、由题意得

2lnx?kx?x，

x?1，故k?2xlnx?x2在x??1,???恒成立，

设

A?x??2xlnx?x2，x?1，

?k?A?x?max，

A'?x??2?lnx?1??2x?2?lnx?1?x?，

由（1）得，lnx?1?x，?A'?x??0，A?x?在?1,???单调递减， ?A?x??A?1???1，?k??1，故实数k的最小值为?1。

法二、由题意得

2lnx?kx?x，

25

不等式

设

B?x??x?k?2lnxB?x?min?0x，x?1，则，

2k2x2?2x?k?x?1???1?k?B?x??1?2???2xxxx2，

''Bx?0B?x??1,???1?k?0?当时，??，在递增，

故

B?x??B?1??1?k?0B?x?'即k??1，?k??1； 8分

2当1?k?0时，

x?1???1?k??x?1????x21?k?x?1?1?kx2???，

2设1?1?k?t，t?1，则t?2t?k?0，

?B?x?在?1,t?递减，在?t,???递增，

?B?x?mint2?2tkt??2lnt?0?B?t??t??2lnt?0tt，即，即t?1?lnt?0，

由（1）得，t?1?lnt?0在t?1时恒成立，故k??1符合。 综上，k??1，故实数k的最小值为?1。 10分 （3）由h(x)?f(x)?x?1?lnx．

不妨设

x1?x2?0，则要证明

x1?x2x1?x2?x1x2lnx1?lnx2，

只需证明， x1x2?lnx1?lnx2，

即证x1xx?2?ln1x2x1x2． 12分

设x1?t(t?1)x21t??2lnt(t?1)，则只需证明t（*）

1x??2lnx?0x由（2）得， 在x?1时恒成立，

故（*）式成立，原不等式恒成立．

26

24. 已知函数f(x)?lnx?12ax?(a?1)x(a?R，a?0). 2⑴ 求函数f(x)的单调增区间；

⑵ 记函数F(x)的图象为曲线C，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?x1?x2；②曲线C在点M处的切线平行于直2线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由.

解：（1）函数f(x)的定义域是(0,??).

1a(x?1)(x?)1a. 由已知得，f'(x)??ax?a?1??xxⅰ 当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1;?函数f(x)在(0,1)上单调递增 ⅱ 当a?0时， ①当?11?1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1; aa1?函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增

a ②当?③当?1?1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增； a11?1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x?? aa1?函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.

a综上所述:

⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增

⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增 ⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增； ⑷当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?(2)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.

设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点，且0?x1?x2，

1a1,??)上单调递增. a 27

则y1?lnx1?121ax1?(a?1)x1，y2?lnx2?ax22?(a?1)x2. 22kAB1(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 ?21?x?xx2?x121 ?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1).

x2?x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率

k?f?(x0)?f?(依题意得：

x1?x2x?x2)??a?12?(a?1)， 2x1?x22lnx2?lnx11x?x2?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).

x2?x12x1?x222(x2?1)x1.

x2?1x1化简可得

lnx2?lnx1x2(x2?x1)2?， 即ln2=?x2?x1x1?x2x1x2?x1 设

2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1)，上式化为：lnt?t?1t?1x14414(t?1)2lnt??2,令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?22t?1t?1t(t?1)t(t?1)因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在(1,??)上递增,显然有g(t)?2恒成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立. t?1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”

28

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