阿波罗里斯圆一轮复习

阿波罗尼斯圆的应用及探究

引例：(必修2P0)B(3，0)，若动点P满足112第12题)已知平面内两个定点A(0，，PA1?，求点P的轨迹方程. PB2PA1PA?改为?1呢？ 变式1：题目中

PB2PBPA1PA?改为?2呢？ 变式2：题目中

PB2PBPB??（?＞0，且??1）呢？ 变式3：PA结论： ，P点的轨迹是个圆. 变式4：如何求?ABP面积的最大值？

练习1：（2008江苏高考13题）满足条件AB?2，AC?2BC的三角形ABC面积的最大值是

练习2：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t?0),M为线段AD上的动点。若AM?2BM恒成立，则正实数t的最小值为

练习3：（2013高考江苏17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线

l:y?2x?4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 y 标a的取值范围．

1

A O l x 探究：点M的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，运用交轨法可将问题转化为两圆位置关系问题来解决.

①.两定点A和B ②.P点满足

PA??（??0且??1） PB③.P点的轨迹是个圆. 命题①②?③

① ?②是否成立，②③?①呢？

0)B(3，0)，若点P是圆M:(x?1)2?y2?4上任意探究1：已知平面内两点A(0，，一点，

PA是否是定值？ PB0)，在x轴上是否存在定点A（不同探究2：已知圆M:(x?1)2?y2?4，点B(3，于点B），满足：对于圆M上任意一点P，都有条件的点A的坐标；如果不存在，请说明理由.

2

PA是定值？如果存在，试求所有满足PB

课题：阿波罗尼斯圆的应用及探究（教师版）

教学目标：1.复习求轨迹方程的一般步骤，能根据条件，求满足条件动点的轨迹方程及轨迹

2.能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理，能够运用此定理来解决一些简单问题 3.让学生在探究中学会提出问题，分析问题，解决问题，渗透数形结合、归纳类比、转化化归的思想.

教学过程：

我们知道：平面内到两个定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆；到两个定点的距离之差为定值（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线，那么同学们有没有思考或研究过：到两个定点的距离之比（商）为定值的点的轨迹是什么呢？

学生活动

0)B(3，0)，(必修2P若动点P满足112第12题)已知平面内两个定点A(0，，求点P的轨迹方程. (x?1)2?y2?4

变式1：题目中

变式2：题目中

PA1?，PB2PA1PA3?改为?1呢？x?表示一条直线 PB2PB2PA1PA?改为?2呢？(x?4)2?y2?4 PB2PBPB??（?＞0，且??1）呢？ PA

（教师运用几何画板演示0???1和??1的情形，然后由学生归纳总结.） 结论：在平面内给定两点A和B，设P点在同一平面上且满足

PA??，当??0且PB3

??1时，P点的轨迹是个圆.

师：这个结论是公元前两百多年的一位大数学家阿波罗尼斯发现的，所以这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”（教师介绍阿波罗尼斯的生平）

师：如何求?ABP面积的最大值？

生：因为AB的长度已经固定，要求?ABP面积的最大值即求点P到AB距离的最大值，易得点P到AB距离的最大值为R?2，所以?ABP面积的最大值为3.

练习1：（2008江苏高考13题）满足条件AB?2，AC?2BC的三角形ABC面积的最大值是

解析：以AB所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴建立坐标系，

B(1,0)，(,)则A(?1,0)，设Cxy22，由AC?BC2得：(x?1)?y?2(x?1)?2y

2222整理得：(x?3)?y?8，点C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上， 点C到x轴的最大距离为22，?ABC中AB边上的高最大为22，

1?ABC面积的最大值为?2?22?22.

20)B(2，，0)由AC?2BC得：x?y?2(x?2)?2y 另：A(0，，整理得：(x?4)?y?8，点C在以(4,0)为圆心，22为半径的圆上. 点C到x轴的最大距离为22，?ABC中AB边上的高最大为22，

2222221?ABC面积的最大值为?2?22?22.

2评析：此法的关键之处在于三角形ABC的顶点C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，由此确定高的最大值，问题即可迎刃而解.

练习2：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t?0),M为线段AD上的动点。若AM?2BM恒成立，则正实数t的最小值为

4

解析：设M(x,y)，由AM?2BM得x2?(y?2)2?4x2?4(y?1)2， 化简得：x?(y?)?22324，点M在圆上或圆外，因为M为线段AD上的动点，所以9直线AD与圆相交或相切，当直线AD与圆相切时t的值最小，直线AD的方程为

xy??1，即2x?ty?2t?0，由t2最小值为2t?2t3t2?4?223得t?（负值舍去），则正实数t的3323. 3评析：由AM?2BM知点M在一个阿波罗尼斯圆上或圆外，运用交轨法可将问题转化为直线与圆的位置关系问题来解决.

练习3：（2013高考江苏17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线

l:y?2x?4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

y l （1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； A （2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 标a的取值范围．

解析：（1）所求切线方程为：y?3或y??O x 3x?3． 42222（2）设点M(x,y)，由MA?2MO知：x?(y?3)?2x?y，

化简得：x?(y?1)?4，即：点M的轨迹是以(0,?1)为圆心，2为半径的圆，可记

5

22

为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．

故：1?CD?3，其中CD?a2?(2a?3)2，解之得：0?a?12． 5所以圆心C的横坐标a的取值范围是?0,?12?． ??5?评析：点M的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，运用交轨法可将问题转化为两圆位置关系问题来解决.

①.两定点A和B ②.P点满足

PA??（??0且??1） PB③.P点的轨迹是个圆. 命题①②?③

①③?②是否成立，②③?①呢？

0)B(3，0)，若点P是探究1：已知平面内两点A(0，，一点，

M:(x?1)2?y2?4上任意

PA是否是定值？ PB设P(x,y)，则x2?y2?3?2x

3?2x1PAx2?y2 ???3?2x?6x?92PB(x?3)2?y2探究2：已知

M:(x?1)2?y2?4，点B(3，0)，在x轴上是否存在定点A（不同

M上任意一点P，都有

于点B），满足：对于

PA是定值？如果存在，试求所有满足PB条件的点A的坐标；如果不存在，请说明理由. 解析：假设存在这样的点A(t,0)，使得

PA??，设P(x,y)是M上任意一点，则 PBx2?y2?3?2x，由PA2??2PB2得(x?t)2?y2??2(x?3)2??2y2，化简得 (2t?2?8?2)x?12?2?t2?3?0对?x???3,1?恒成立，

6

?t?02??t?3?2t?2?8??0?所以?，解得?（舍去） 1或?22??1?????12??t?3?0??2故存在点A(0,0)，对于总结：

M上任意一点P，都有

PA1?. PB27

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s1ud.html