1.4.1 1.4.2全称量词与存在量词

1.4.1 1.4.2全称量词与存在量词

班级 姓名 学习时间：

一、学习目标

1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性．

3、了解含有一个量词命题的否定及其写法.

二、主线问题

问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３；

(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；

（5）2013年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；

（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数.

问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系?

命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “ ”“ ” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 ，用符号“?”表示 全称量词 ： 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体。

全称命题： 含有全称量词的命题，叫做 。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.

全称命题“对M中任意一个x，都有p（x）成立”可用符号简记为 ，读做“对任意x属于M，有p（x）成立”.

问题3 ： 刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：

，

（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；

，

（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

，

（7）存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）

，

（8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．

这些命题用到了“ ”“ ”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 .并用符号“?”表示.

存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“有一些”“至少有一个”，“至多有一个”等词统称为存在量词，表示个体域里有的个体。

特称命题：含有存在量词的命题叫做 （或存在命题）

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.

特称命题：“存在M中一个x0，使p（x）成立”可以用符号简记为： .读做“存在一个x0属于M,使p（x0）成立”．

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三、 例题预热

知识点一 全称命题与特称命题的判断

判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；

2

(3)对任意角α，都有sinα＋cos2α＝1； (4)有些素数的和仍是素数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

练习：判断下列语句是不是全称命题还是特称命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向；

知识点二 判断全称或特称命题的真假

试判断以下命题的真假：

(1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1； (3)?x∈Z，x3<1； (4)?x∈Q，x2＝3.

练习2： 判断下列命题的真假：

(1)对任意的x,y都有x?y?2xy； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)?实数a?2且b??1使a?b?4a?2b??5； (4)存在实数x使函数f(x)?x?

22224(x?0)取得最小值4. x三、目标检测

1．填上适当的量词符号“?”“?”，使下列命题为真命题．

(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0； (2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；

??ax＋by＝1

(3)________a，b∈R，使方程组?2，有唯一解．

?ax＝2?

2．将下列命题用含有“?”或“?”的符号语言来表示．

(1)任意一个整数都是有理数，________. (2)实数的绝对值不小于0，________.

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(3)存在一实数x0，使x30＋1＝0，________.

3．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．

(1)?x0，x0－2≤0； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数．

4.判断下列特称命题的真假,并说明理由：

（1）有一个实数x，使x?2x?3?0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有一些整数只有两个正因数.

2

五、分层达标

A组 1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）

A．所有奇数都是质数 B．?x?R,x?1?1 C．对每个无理数x，则x2也是无理数

2 D．每个函数都有反函数

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）

A．?x,y?R，都有x?y?2xy B．?x,y?R，都有x?y?2xy C．?x?0,y?0，都有x?y?2xy D．?x?0,y?0，都有x?y?2xy 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是( )

A．?x?R,x?1?0 B．?x?R,x?1?0 C．?x?R,sinx?tanx D．?x?R,sinx?tanx 4．下列命题中的假命题是（ ）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．对于下列语句

（1）?x?Z,x?3 （2）?x?R,x?2 （3）?x?R,x?2x?3?0 （4）?x?R,x?x?5?0

22222222222222其中正确的命题序号是 。（全部填上）

B组

1．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( )

22

A．有一个x0∈R，使x0>3 B．有些x0∈R，使x0>3 C．任选一个x∈R，使x2>3

2

D．至少有一个x0∈R，使x0>3

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2．下列命题是真命题的是( )

A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．?x0∈R，－x0＋1≥0 C．?x∈N*，log2x>0

2

D．?x0∈R，cosx0<2x0－x0－3 3．下列命题是全称真命题的是( )

22

A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q C．?x0∈Z，x20>1 D．?x，y∈R，x＋y>0 4．下列语句不是全称命题的是( )

A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 5．给出下列命题：①存在实数x0，使x20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一

2

个实数a，使ax－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列命题正确的是( )

2

A．对所有的正实数t, t为正且t

22

C．不存在实数x，使x<4且x＋5x－24＝0 D．存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x0>4

C组

2

1．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x0＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

22

③对任意的x，都有x＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x0＋2x0＋1＝0成立． 其中是全称命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．0

2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( )

2

A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．?x0，y0∈R，使x20＋y0≥2x0y0

2

C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．?x0<0，y0<0，使x20＋y0≤2x0y0

5．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件( )

A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 D．－2≤a≤1 7．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________． 8．用符号“?”与“?”表示下面的命题：

(1)实数的绝对值大于等于0；

(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；

(3)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.

六、小结与反思

1．全称命题与特称命题的表述

同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择. 命 题 全称命题“?x∈A，p(x)” 特称命题“?x0∈A，p(x0)” 表述方法 ①所有的x∈A，p(x)成立 ①存在x0∈A，使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈A，使p(x0)成 ②对一切x∈A，p(x)成立 立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ③对有些x0∈A，使p(x0)成立 ④任选一个x∈A，使p(x)成立 ④对某个x0∈A，使p(x0)成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成立 ⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立 2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

3．全(特)称命题真假的判断

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可． (2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．

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1.4全称量词与存在量词(教师用)

一、学习目标

1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性．

3、了解含有一个量词命题的否定及其写法.

二、主线问题

问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３；

(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；

（5）2013年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；

（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数. 解：（1）、（2）不能判断真假，不是命题. （3）、(4)是命题且是真命题.

（5）－（8）如果是假，如果要否定一个结论，只要举出一个反例就行.

注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人． 命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．

问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系?

命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示 全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体。 全称命题

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.

全称命题“对M中任意一个x，都有p（x）成立”可用符号简记为：?x?M, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”.

★Ⅰ 要判定全称命题“? x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在

集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 问题3 ： 刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题： （5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；

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，

（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

（7） 存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） （8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．

这些命题用到了“ ”“ ”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 .并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫做 （或存在命题）

这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“有一些”“至少有一个”，“至多有一个”等词统称为存在量词，表示个体域里有的个体。 特称命题

含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.

特称命题：“存在M中一个x0，使p（x）成立”可以用符号简记为：?x?M,p(x).读做“存在一个x0属于M,使p（x0）成立”．

★Ⅱ 要判定存在性命题 “ ?x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立

即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语\中的首字母。存在量词

，，，

就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语\中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

三、例题预热

知识点一 全称命题与特称命题的判断

判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；

2

(3)对任意角α，都有sinα＋cos2α＝1； (4)有些素数的和仍是素数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

分析 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．

解 (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

练习：判断下列语句是不是全称命题还是特称命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向； 分析：（1）全称命题，?河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）存在性命题，?0∈R，0不能作除数；

??x（3）全称命题，? x∈R，?x； （4）全称命题，?a，a有方向；

1知识点二 判断全称或特称命题的真假

试判断以下命题的真假：

(1)?x∈R，x2＋2>0 (2)?x∈N，x4≥1 (3)?x∈Z，x3<1 (4)?x∈Q，x2＝3. 分析 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否

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则，这一特称命题就是假命题．

2222

解：(1)由于?x∈R，都有x≥0，因而有x＋2≥2>0，即x＋2>0.所以命题“?x∈R，x＋2>0”是真命题．

44

(2)由于0∈N，当x＝0时，x≥1不成立．所以命题“?x∈N，x≥1”是假命题．

33

(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x<1.所以命题“?x∈Z，x<1”是真命题．

2

(4)由于使x＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.

2

所以命题“?x∈Q，x＝3”是假命题． 练习2： 判断下列命题的真假：

(1)对任意的x,y都有x?y?2xy； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)?实数a?2且b??1使a?b?4a?2b??5； (4)存在实数x使函数f(x)?x?22224(x?0)取得最小值4. x22222解：(1)是真命题，因为对任意实数x,y，都有x?y?2xy?(x?y)?0， ∴x?y?2xy. (2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件.

(3)是假命题，因为a?b?4a?2b?5?(a?2)?(b?1)?0，当且仅当a?2,b??1时等号成立， 所以不存在实数对a,b，使(a?2)?(b?1)?0，不存在，即实数a?2且b??1使a?b?4a?2b??5. (4)是真命题，因为存在实数x?2?0，使函数f(x)?x?222222224(x?0)取得最小值4. x四、目标检测

1．填上适当的量词符号“?”“?”，使下列命题为真命题．

(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0； (2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；

?ax＋by＝1?

(3)________a，b∈R，使方程组?2，有唯一解． 答案 (1)? (2)? (3)?

?ax＝2?

2．将下列命题用含有“?”或“?”的符号语言来表示．

(1)任意一个整数都是有理数，________. (1)?x∈Z，x∈Q (2)实数的绝对值不小于0，________. (2)?x∈R，|x|≥0

3

(3)存在一实数x0，使x30＋1＝0，________.(3)?x0∈R，x0＋1＝0 3．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．

(1)?x0，x0－2≤0； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数．

解 (1)特称命题，真命题； (2)全称命题，假命题；(3)全称命题，真命题； (4)特称命题，真命题．

4.命题p:0是偶数；命题q:2是3的约数，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p且q B. p或q C.非p D. 非p且非q B【解析】p为真命题，q为假命题，所以非p为假命题，非q为真命题.

5.给出下列命题：①若命题p是真命题，则命题p且q是真命题；②若命题p且q是真命题，则命题p是真命题；③若命题p且q是假命题，则命题p是假命题；④若命题p或q是假命题，则命题p是假命题；⑤若命题p是假命题，则命题p或q是假命题；⑥如果“若p则q”是真命题，则“若非q则非p”是真命题.其中真命题是（ ）

A.①③⑤ B.②④⑥ C. ①②⑤ D. ③④⑥

B【解析】①是假命题，因为q可能是假命题；②是真命题，因为p且q是真命题，则p,q均为真命题；③是假命题，因为p且q是假命题，只要其中有一个命题是假命题；④是真命题，因为p或q是假命题，则p,q均为假命题；⑤是假命题，因为q可能是真命题；⑥是真命题，因为后一个命题是原命题的逆否命题.

6.已知命题P:关于x的方程x?ax?4?0有实根; 命题Q:关于x的函数y?2x?ax?4在[3,??)上是增函数.若P或Q是真命题, P且Q是假命题,则实数a的取值范围是 ( )

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22

A.(?12,?4]?[4,??) B. [?12,?4]?[4,??) C. (??,?12)?(?4,4) D. [?12,??) C【解析】命题P等价于??a?16?0， ∴a??4或a?4；命题Q等价于?或Q是真命题, P且Q是假命题,则命题P和Q一真一假.

7.m?n?0的一个充分而不必要的条件可以是m?0,n?0（不唯一）；不等式ax?2ax?1?0的解集是

22a?3， a??12. P4R的一个充要条件是0?a?1.

8.判断下列特称命题的真假,并说明理由：（1）有一个实数x，使x?2x?3?0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有一些整数只有两个正因数.

解：（1）是假命题，因为对?x?R,x?2x?3?(x?1)?2?2，因此，使x?2x?3?0 的实数x不存在.

（2）是假命题，因为垂直于同一条直线的两个平面必平行. （3）是真命题，例如存在整数5就只有两个正因数1和5.

2222五、分层达标

A组 1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ B ）

A．所有奇数都是质数 B．?x?R,x?1?1 C．对每个无理数x，则x2也是无理数

2 D．每个函数都有反函数

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ A ）

A．?x,y?R，都有x?y?2xy B．?x,y?R，都有x?y?2xy C．?x?0,y?0，都有x?y?2xy D．?x?0,y?0，都有x?y?2xy 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是( D )

A．?x?R,x?1?0 B．?x?R,x?1?0 C．?x?R,sinx?tanx D．?x?R,sinx?tanx 4．下列命题中的假命题是（ B ）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．对于下列语句

（1）?x?Z,x?3 （2）?x?R,x?2 （3）?x?R,x?2x?3?0 （4）?x?R,x?x?5?0

22222222222222其中正确的命题序号是 （2）（3） 。（全部填上） B组 1．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( C )

22

A．有一个x0∈R，使x0>3 B．有些x0∈R，使x0>3 C．任选一个x∈R，使x2>3

2

D．至少有一个x0∈R，使x0>3

解析 “任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“?”表示，故选C. 2．下列命题是真命题的是( B )

A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．?x0∈R，－x0＋1≥0 C．?x∈N*，log2x>0

2

D．?x0∈R，cosx0<2x0－x0－3

解析 当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“?x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B. 3．下列命题是全称真命题的是( B )

22

A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q C．?x0∈Z，x20>1 D．?x，y∈R，x＋y>0 解析A，B，D是全称命题，当x＝0时，x2＝0；当x＝0，y＝0时，x2＋y2＝0，因此A，D为假命题．故选B. 4．下列语句不是全称命题的是( C )

A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数

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C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小

解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.

5．给出下列命题：①存在实数x0，使x20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一

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个实数a，使ax－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( C )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析 ①③④是特称命题，②是全称命题． 6．下列命题正确的是( B )

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A．对所有的正实数t, t为正且t

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C．不存在实数x，使x<4且x＋5x－24＝0 D．存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x0>4

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解析 t＝时t＝，此时t>t，所以A错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x0＝－1或

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x0＝4时，x0－3x0－4＝0，故B正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x<－2或x>2，所以D错． C组

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1．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x0＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

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③对任意的x，都有x＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x0＋2x0＋1＝0成立． 其中是全称命题的个数为( B )

A．1 B．2 C．3 D．0 解析 命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题． 2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( A )

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A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．?x0，y0∈R，使x20＋y0≥2x0y0

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C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．?x0<0，y0<0，使x20＋y0≤2x0y0

3．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件( A )

A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 D．－2≤a≤1 解析 p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因x2∈[1,4]，所以a≤1；

q真等价于Δ＝4a2－4(2－a)≥0恒成立．即a2＋a－2≥0.所以a≥1或a≤－2. 要使p且q为真则a的取值范围为：a＝1或a≤－2，故选A. 4．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________．

答案 ?a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 5．用符号“?”与“?”表示下面的命题：

(1)实数的绝对值大于等于0； (2)存在实数对，使两数的平方和小于1； (3)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.

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解 (1)?x∈R，|x|≥0. (2)?x0，y0∈R，使x20＋y0<1. (3)?a，b，c∈R，a＋b＋c≥ab＋ac＋bc.

六、小结与反思

1．全称命题与特称命题的表述

同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择. 命 题 全称命题“?x∈A，p(x)” 特称命题“?x0∈A，p(x0)” 表述方法 ①所有的x∈A，p(x)成立 ①存在x0∈A，使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈A，使p(x0)成 ②对一切x∈A，p(x)成立 立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ③对有些x0∈A，使p(x0)成立 ④任选一个x∈A，使p(x)成立 ④对某个x0∈A，使p(x0)成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成立 ⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立 2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

3．全(特)称命题真假的判断

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可． (2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．

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