第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级（高二）第2试

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第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级(高二)第2试

2007年5月13日 上午8：30至10：30

一、选择题：以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内（每小题6分，共36分）. 1．若角?满足sin??cos?，且

A．第一象限

?2位于第二象限，则角?位于( ).

C. 第三象限

D. 第四象限

B. 第二象限

2. 从正方体的8个顶点中随机地取三个两两不同的点，这三个点恰好构成一个正三角形的概率为( ).

A．

1 6B.

1 7C.

1 8D.

1 93．若k、a是实数，则关于x的不等式|k?x|?|1?x|?a的解集为空集的充分必要条件是( ).

A．a?|k?1|

B. |a|?|k?1|

C. a?|k?1|

D. a?|k?1|

4．函数f(x)?(x?1)?x?(x?2)?(x?3)(x?R)的最小值等于( ).

A．?

95B. ?

94C. ?2 D. ?

2325．设an是以-1为首项，以7为公差的等差数列的第n项，bn是该等差数列的第n项，定义），则?bn与an?1之间的关系是?bn?bn?1?bn（{?bn}叫做数列{bn}的“一阶差分”，且x?y等于( ). ?bn?x?an?1?y（x、y是常数）

A．11

B. 12

C. 13

D. 14

6．如图1，在平面凸四边形ABCD中，点E、F分别在直线AD、BC上，且DE???EA，BF???FC（?,??R，且均不等于-1）。若EF??????????????????????????1????(AB?DC)，则???等于( ). 2A E D

图1

B

1 23C.

2A．

B. 1 D. 2

F

二、填空题（每题9分，共54分）

C

7．设等比数列{an}的前n项之和为Sn. 若S7?7，S14?2014，则S7?(S12?41S)等于_ ______. 8．如图2，多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，AB // CD // EF，CD⊥平面BCF，△FBC是边长为1的正三角形.

若EF = CD = 1，AB = 2，则该多面体的体积等于_________.

A 图2

D B E

F C

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9．若a为实数，关于?,?的方程组?xxx?acos??sin??1,有实数解，则a的取值范围为_________.

?cos??2sin??210．不等式8?2?4?4?2?3?0的解集为 . 11．在1、2、3、4、?、100中共有_________个正整数n，使得3?22n2n?1能被7整除.

?1,(m?0)?n!?*m12. 对于m?N，n?N，组合数（二项式系数）的定义为Cn??,(1?m?n).

?m!(n?m)!?(m?n)?0.其中阶乘n!?1?2?3???n.

1n?1in?ii另外，“二项式定理”指出：(a?b)n?an?Cnab???Cnab???bn.

2nn?12n?22n?442由此，可求得：9n?C2?C2?9n?2?C2???92?C2n?9nnn?9?C2n?1等于_________

（用关于n的最简式子表示）.

三、解答题（每题15分，共60分）

13. (本题满分为15分)已知数列{an}中，a1?2，前n项之和为Sn.

若(n2?1)?an?1?(2n?1)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2，试求Sn及an的表达式（用关于n的最简式子表示）.

14. （本题满分为15分）设R0?{x|x?R,x?0}，R为全体实数的集合，函数f:R0?R对于任意的x,y?R0都有f()?f(x)?f(y)，且对任意的x?(1,??)有f(x)?0.

(1) 比较f(x)与0的大小；

(2) 解关于实数t的不等式f(3t?2)?f(t?t?2).

2xy归海木心 qq:634102564

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15. （本题满分为15分）如图3，在凸四边形ABCD中，AD = AC，?DAC??ABC，过点D作经过△ABC的内心I的直线交直线AB于点E.

求证：AE = AD.

求f?x2?y2的取值范围（值域）.

B

A

E

I C 图3

D

16. （本题满分为15分）设a、b是两个给定的正实数，实数x、y满足ax2?bxy?ay2?1，试

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第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案

十一年级(高二)第2试 2007年5月13日上午8：30至10：30

一、选择题：

题号 选项 二、填空题： 题号 选项 7 8 9 10 11 33 12 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 20072 3 3a?R ?1?log2(5?1)?x?log23 22n?1?24n?1 三、解答题：

13．解：因为an?!?Sn?1?Sn(n?1)，????????????????????????????????3分

所以有(n2?1)?(Sn?1?Sn)?(2n?1)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2，

(n2?1)?Sn?1?(n2?2n?2)?Sn?n4?2n3?3n2?2n?2，

(n2?1)?Sn?1?[(n?1)2?1]?Sn?(n2?1)?[(n?1)2?1]，????????????????? 5分

所以

Sn?1Sn??1，??????????????????????????????????6分

(n?1)2?1n2?1即??Sn??是一个公差为1的等差数列。???????????????????????????7分 2n?1??SnS1??(n?1)?1?n，???????10分 22n?11?1由S1?a1?2及等差数列的通项公式得：所以Sn?n?(n2?1)(n?1,2,3,?)。????????????????????????????11分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?(n2?1)?(n?1)?[(n?1)2?1]?3n2?3n?2。????14分 当n?1时，a1?2?3?1?3?1?2。

总之，所求的an?3n?3n?2(n?1,2,3,?)。?????????????????????15分

14．解：(1)依题意有：

22归海木心 qq:634102564

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?f(1)?f(1)?f(1)?0,即f(1)?0;??????????2分 ?1f(?1)?f()?f(1)?f(?1)??f(?1),即2?f(?1)?0,f(?1)?0.???1下证：f(x)为偶函数。

对于任何的x?R0，有f(?x)?f(x)?f(x)?f(?1)?f(x)， ?1所以f(x)为偶函数。???????????????????????????????????????4分 再证：f(x)在(0,??)上是（严格）递增函数。 对任意的x1?x2?0，有

x1x?1，所以0?f(1)?f(x1)?f(x2)，即f(x1)?f(x2)，这

x2x2说明f(x)在(0,??)上是（严格）递增函数。????????????????????????????7分

再由f(x)为偶函数知：f(x)在(0,??)上是（严格）递减函数。????????????9分 再由f(1)?0,f(?1)?0知：

对于任何的x?(0,1)，有f(x)?0；对于任何的x?(1,??)，有f(x)?0；对于任何的

x?(??,?1)，有f(x)?0；对于任何的x?(?1,0)，有f(x)?0。另外，f(1)?0，f(?1)?0。???????????????????????????????????????????????10分

(2)显然t?t?2?(t?)?21223?1?1， 4由f(x)为偶函数及f(x)在(0,??)上是（严格）递增函数知：

不等式f(3t?2)?f(t?t?2)?f(|3t?2|)?f(t?t?2)??????????????11分

22?0?|3t?2|?t2?t?2????????????????????????????????????12分 ?2?2?2?2??t?t??t??t? ??3或?3??3或?3?t2?2t?4?0?t2?4t?0?(t?1)2?3?0??t?(t?4)?0????22?t?22?t?或?3?t?(0,)或t?(,??)或t?(??,?4)?????????15分

3?33t??4或t?0?归海木心 qq:634102564

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15．解：如图，连结AI，CI。本题的关键在于发现并证明：I、C、D、A四点共圆。 由AC = AD得：?ACD??ADC??(??90?) 又?ABC??CAD?180?2? 记?BAI??CAI??，则

?180???ABC??CAB180??(180??2?)?2??????。 ?ACI??BCI?22 （由?BAD?180得：2??180??2??180?，从而????0?）?????????.6分

由上可知：

??ICD??IAD?(?ICA??ACD)?(?IAC??CAD)?(?????)?(??180?2?)?180 于是I、C、D、A四点共圆，???????????9分 所以?ADI??ACI????，?????????11分

B

??

A

E

I

C 图3

D

在△ADE中，由内角和为180得：

?

?AED?180??(?EAD??ADE)?180??(?EAC??CAD??ADE)?180?(2??180?2?????)??????ACI?????.14分

因此AE = AD。??????????????????????????????????????15分

16．解：令x?m?nm?n,y?，??????????????????????????????3分 aa(m?n)2m2?n2(m?n)2?b??a??1， 则由题给等式得：a?aaa化简为(2a?b)?m?(2a?b)?n?a???①??????????????????????4分

22(m?n)2?(m?n)22??(m2?n2)???②???????????5分 这时，f?x?y?aa22(1) 若2a?b?0，即b?2a，则由①得：

(2a?b)?(m2?n2)?a?2bm2?a， (2a?b)?(m2?n2)?a?2bn2?a，

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aa?m2?n2?，???③????????????7分

2a?b2a?b222?f??(m2?n2)?从而，

2a?ba2a?b因为2a?b?0，所以有即f的值域为?2??2。??????????????????????????????9分 ,?2a?b2a?b??(2) 若2a?b?0，即b?2a，则由①得：

(2a?b)n2?a?(b?2a)?m2?a，??④

即n?2a，??⑤

2a?b2再由④可知：m可取任意的非负实数（?b?2a?0），???????????????????11分

22?2a?(b?2a)?m2?22b22??22所以f??(m?n)???m?????m2???， ?13?aa?2a?b?2a?b??2a?ba2a?b分

故f的值域为?,???。????????????????????????????????????14

2a?b??分

综合(1)和(2)得：

当b?2a时，f?x?y的值域为?； ,?2a?b2a?b??当b?2a时，f?x?y的值域为?,???。?????????????????????15分

?2a?b?注：①可利用“基本不等式”：xy?2222?2??22??2?122(x?y2)，求得fmin?，建议给3分 22a?b②本题亦可利用三角替换法来求解，做对同样给分。（三角代换法）

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