自考《实变函数与泛函分析初步(课程代码:02012)》试卷附答案和
更新时间:2024-04-21 08:02:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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实变函数与泛函分析初步 试卷
(课程代码02012)
专业________班级_______姓名 学号
题号 一 二 三 四 五 总分
得分 注 意 事 项
1、本试卷共6页。
2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目,字迹要清楚、工整。
得 分 一.单项选择题(3分×5=15分)
1.设M,N是两集合,则 M?(M?N)=( ) (A) M (B) N (C) M?N (D) ?
2. 下列说法不正确的是( )
E中无穷多个点,则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点,则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?,使Pn?P0,则P0是
(D) 内点必是聚点
3. 下列断言( )是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对; 4. 下列断言中( )是错误的。
(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集; (C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. 若f(x)是可测函数,则下列断言( )是正确的 (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积; (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积;
(第1页,共9页)
(D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积
得 分 二. 填空题(3分×5=15分)
111、设An?[,2?],n?1,2,nn,则limAn?_________。
n??2、设P为Cantor集,则 P? ,mP?_____,P=________。
??3、设?Si?是一列可测集,则m??Si??______?mSi i?1??i?1?o4、鲁津定理:______________________________________________________
_______________________________________________________________ 5、设F(x)为?a,b?上的有限函数,如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。
得 分 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、由于?0,1???0,1???0,1?,故不存在使?0,1?和?01,?之间1?1对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
(第2页,共9页)
3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
得 分 四.解答题(8分×2=16分)
?x,x为无理数1、设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R?可积,是否L?可积,若可积,
?1,x为有理数求出积分值。
(第3页,共9页)
2、求极限 lim1nxn???01?n2x2sin3nxdx.
得 分 五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)
1.(6分) 1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则对任意常数 c,是一开集.
2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??,则E是可测集。
(第4页,共9页)
E?{x|f(x)?c} 3. (6分)在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。
4.(8分)设函数列fn(x) (n?1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明:
fn(x)a.e.收敛于f(x)。
5.(8分)设f(x)在E??a,b?上可积,则对任何??0,必存在E上的连续函数?(x),使?|f(x)??(x)|dx??.
ab
(第5页,共9页)
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