专题7：分式方程及其应用

数学电子教案

考点

课标要求

难度

分式 1.知道分式方程的概念，会识别分式方程； 方程 2.理解分式方程中产生增根(无解)的情 的概 况. 念

较难

1.知道解分式方程的一般步骤； 2.掌握应用“去分母”和“换元”将分式方程转 分式 化为整式方程，领会解分式方程“整式化”的 方程 化归思想； 的解 3.掌握分式方程的验根方法，注意解分式 法 方程时可能会出现增根，解方程后一定要验 根.

中等

考点

课标要求

难度

分式 1.分式方程来解决简单的实际问题； 方程 2.在列分式方程应用题求解检验时，不仅 的应 要考虑是否产生了增根，还要考虑是否符合 中等

用

题意(实际情况).

题型预测分式方程考查内容相对比较集中，如分式方程的增 根或无解问题、解分式方程问题和分式方程的应用问题， 除了应用问题常出现在解答题中外，其余基本以填空、选 择的形式出现，其中与增根有关的问题难度较大.

1._____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的增根必须满足两个条件：某一个分母 (1)使原分式方程的______________ 为零；

整式方程的根 . (2)是原分式方程去分母后所得的___________

3 .解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为______________ 方程. 4.解分式方程的一般步骤是： ( 1 )在方程的两边都乘 ____________ ,约 最简公分母 整式方程 去分母，化成____________ ; (2)解这个____________ ; 整式方程 最简公分母 ( 3 )把解得的根代入 ____________ ,看结 果是不是零，使____________ 最简公分母 为零的根是原方 程的____________ ,必须舍去. 增根

5.列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数；

③找：找出__________ 等量关系 ；④列：列出__________ 分式方程 ；

⑤解：解这个分式方程；原分式方程的根 ，又要检 ⑥验：既要验证根是否为_____________

验根_____________ 是否符合题意 ； ⑦答：写出答案.

考点1 分式方程的有关概念(考查频率：★☆☆☆☆) 命题方向：(1)分式方程有增根、无解问题；

(2)分式方程的解为正数或负数的讨论.

-8

考点2 解分式方程(考查频率：★★★☆☆) 命题方向：(1)注重对解分式方程过程的考查；

(2)以计算题的形式考查分式方程解法.

D

解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 去括号得：x2+2x-x2-x+2=3, 解得：x=1,

经检验:x=1是增根，原分式方程无解.

考点3 分式方程的应用(考查频率：★★★☆☆)命题方向：列分式方程解决应用问题。 5.(2013山东泰安)某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间

独立生 产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若 乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务， 问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为( B )

6 .( 2013 湖北十堰)甲、乙两名学生练习计算机打

字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个 字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？

A

思路1:方程两边同时乘以最简公分母x-2,转化为 整式方程求解并检验. 思路2:可看作分式的值为0解决. 【思维模式】解决此类问题有两个途径，一是当作分 式值为零来处理；二是当作分式方程来求解.

B【解题思路】方程两边都乘以x-1,将分式方程转化为整式方 程来解即可. 【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式 方程转化为整式方程来解.另外，解分式方程时，检验是必不 解：方程两边都乘以x-1,得2x=x-1+1, 可少的重要步骤之一，因为在方程两边都乘以最简公分母时， 移项、合并，得x=0, 容易产生增根(是整式方程的根，但不是分式方程的根，也可 经检验，x= 0是原方程的解. 以说是使最简公分母为 0的根). 【必知点】解分式方程应按三步走：一去(利用等式的性质 1,将方程两边都乘以最简公分母，将方程中的分母去掉); 二解(解整式方程);三验(将解得的整式方程的根代入原方 程检验或代入最简公分母时检验).

D【解题思路】先解分式方程，用含a的代数式表示x,再根据x 是“非正数”建立不等式求出a的范围.解出a的取值范围要注意

分式的分母不能为0.

【思维模式】分式方程解是非正数问题，可考虑先求出这个方 程的解，然后让这个解为非正数，且确保这个解不能是增根.

例4:(2013湖南娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理 一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可 完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车 所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元. (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？【解题思路】(1)首先把总工作量看作单位“1”,设好甲车、乙 车单独完成所需趟数，表示出甲车、乙车的工作效率，再表示出甲 车、乙车12趟完成的工作量，根据等量关系“甲车的工作量+乙车 的工作量=总工作量”列出方程. (2)根据“甲车12趟所需费用+乙车12趟所需费用=4800”求出 甲车

、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.

【思维模式】1.在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的 量，注意根据问题情况灵活选择设法 .如直接设、间接 设，设多元等； 三是求分式方程的解. 2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义 .四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.

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