工程力学计算

第四章 荷载效应

构件或结构上的作用使构件或结构产生的内力（如轴力、剪力、扭矩、弯矩等）、变形、裂缝等统称作用效应或荷载效应。荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。本章重点学习构件和结构在荷载作用下产生的各种内力和变形，进行单种材料杆件的承载能力分析。

第一节 构件内力分析

一、概述

1.1变形固体及其基本假设 1.1.1变形固体

工程中构件和零件都是由固体材料制成，如铸铁、钢、木材、混凝土等。这些固体材料在外力作用下都会或多或少的产生变形，我们将这些固体材料称为变形固体。

变形固体在外力作用上会产生两种不同性质的变形：一种是当外力消除时，变形也随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，变形不能全部消失而留有残余，这种不能消失的残余变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，既有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，在所受外力不超过一定范围时，塑性变形很小，可忽略不计，认为材料只产生弹性变形而不产生塑性变形。这种只有弹性变形的物体称为理想弹性体。只产生弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书将只限于给出材料在弹性范围内的变形、内力及应力等计算方法和计算公式。

工程中大多数构件在外力作用下产生变形后，其几何尺寸的改变量与构件原始尺寸相比，常是极其微小的，我们称这类变形为小变形。材料力学研究的内容将限于小变形范围。由于变形很微小，我们在研究构件的平衡问题时，就可采用构件变形前的原始尺寸进行计算。 1.1.2变形固体的基本假设

为了使计算简便，在材料力学的研究中，对变形固体作了如下的基本假设：

(1)均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内豪无空隙地充满了物质。而且各点处材料的力学性能完全相同。

(2)各向同性假设假设材料在各个方向具有相同的力学性能。

常用的工程材料如钢材、玻璃等都可认为是各向同性材料。如果材料沿各个方向具有不同的力学性能，则称为各向异性材料。

综上所述，建筑力学中所研究的构件，是由均匀连续、各向同性的变形固体材料制成的构件，且限于小变形范围。

1.2杆件变形的基本形式 1.2.1杆件

建筑力学中主要研究的构件是杆件。所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆件的几何特点可由横截面和轴线来描述。横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的连线(图4-1)。杆各截面相同、且轴线为直线的杆，称为等截面直杆。 图4-1 1.2.2杆件变形的基本形式

杆件在不同形式的外力作用下，将发生不同形式的变形。但杆件变形的基本形式有以下四种：

(1)轴向拉伸和压缩(图4-2a、图4-2b)在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线相重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变(伸长或缩短)。

(2)剪切(图4-2c)在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生错动。

(3)扭转(图4-2d)在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的任意两横截面将绕轴线发生相对转动。

(4)弯曲(图4-2e) 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件的轴线由直线弯成曲线。

图4-2

工程实际中的杆件，可能同时承受不同形式的外力而发生复杂的变形，但都可以看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。

在以下几节中，将分别讨论上述各种基本变形和组合变形。 1.3内力和内力分析方法——截面法 1.3.1内力的概念

在第一章对某一物体进行受力分析时，常将该物体作为研究对象单独分离，画出该物体的受力图。物体所受到的力全部是研究对象(该物体)以外的其他物体对它的作用力，称为外力。而在本章讨论杆件的强度、刚度、稳定性问题时，需要通过作用在杆件上的外力进一步分析杆件内部的破坏及变形规律。因此，只研究作用在杆件上的外力就不够了，还需讨论另一种力，即杆件的内力。

当杆件受到外力作用后，杆件内部相邻各质点间的相对位置就要发生变化，这种相对位置的变化使整个杆件产生变形，并使杆件内各质点之间原来的(受外力作用之前的)相互作用力发生改变，各质点之间相互作用力的变化使杆件相连两部分之间原有的相互作用力也发生了改变。在研究建筑力学问题时，习惯上将这种由于外力的作用而使杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为附加内力，简称为内力。

内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时变形也越大。如我们用双手拉一根橡胶绳，首先会发现橡胶绳也在拉我们的手，这是因为当我们用手拉橡胶绳时，对橡胶绳施加了一对大小相等、方向相反的拉力，这一对拉力对橡胶绳而言是作用在它上面的外力，由于这种外力的作用，使橡胶绳内任意相邻的两部分之间会产生内力，即橡胶绳拉手的力；其次还会发现手拉橡胶绳的力越大，橡胶绳对手的拉力也越大，绳子的变形也越大。但是内力的增大不是无限度的，内力达到某一限度(这一限度与杆件的材料、几何尺寸等因素有关)时，杆件就会破坏。由此可知：内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。

1.3.2求内力的基本方法——截面法

为了计算杆件的内力，需要先用一个假想的平面将杆件“截开”，使杆件在被切开位置处的内力显示出来，然后取杆件的任一部分作为研究对象，利用这部分的平衡条件求出杆件在被切开处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。不管杆件产生何种变形，都可以用截面法求出内力。

下面以轴向拉伸杆件为例，介绍截面法求内力的基本方法和步骤。 图4-3a所示为杆件受到一对轴向拉力作用产生轴向拉伸的情况。现在我们来计算杆上任一截面(如距左端为l／3处横截面)上的内力。计算内力的步骤如下：

(1)截开用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。 (2)代替取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。

如对于左段而言，截开处原右段对它作用的内力此时已变成左段上的外力而暴露了出来。由于固体是连续的，所以截面上的内力是连续分布的，我们称这种内力为分布内力(图4-3b)。本课程所讲的内力是这些分布内力的合力。因此，画受力图时在被截开的截面处，只画分布内力的合力即可，(图4-3c)。

(3)平衡由于整体杆件原本处于平衡状态(图4-3a)，因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态。对于研究部分(图4-3c)根据作用在该部分上的力系情况，建立平衡方程，从而可求出截面上的内力。如对图4-3c中的杆段，列平衡方程∑Fx=0，得Fp=FN；这说明该横截面上的内力大小等于FN，方向如图4-3c所示。

若取截面的右段同样可求得Fp=FN，如图4-3d所示。 图4-3 1.4平面图形的几何性质

在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数w，和极惯性矩，，等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。 1.4.1重心和形心 1.4.1.1重心的概念

地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。

1.4.1.2一般物体重心的坐标公式 1.4.1.2.1一般物体重心的坐标公式

如图4-4所示，为确定物体重心的位置，将它分割成以个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、??Gn，其作用点的坐标分别为(x1、y1、z1，)、(x2、y2、z2)?(xn、yn、zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=ΣGi：，其作用点的坐标为C(xc、yc、zc)。对Y轴应用合力矩定理，有：

得

同理，对x轴取矩可得：

将物体连同坐标转90。而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：

因此，一般物体的重心坐标的公式为：

(4—1) 图4-4 1.4.1.2.2均质物体重心的坐标公式

对均质物体用r表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vr，微小体积为Ⅵ，微小体积重力Gi=Vi·y，代入式(4—1)，得均质物体的重心坐标公式为：

(4—2) 由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。

1.4.1.2.3均质薄板的重心(形心)坐标公式

对于均质等厚的薄平板，如图4-5所示取对称面为坐标面oyz，用δ表示其厚度，Ai表示微体积的面积，将微体积Vi=δ·Ai及V=δ·A代人式(4—2)，得重心(形心)坐标公式为：

(4—3) 因每一微小部分的xi为零，所以xi=0。 1.4.1.2.4平面图形的形心计算

形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，图4-5 则形心一定在对称轴或对称中心上。如图4-6所示。若平面图形是一个组合平面图形，

则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式(4—3)求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简

单图形的面积，而yi、zic为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形，可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。

图4-6

【例4-l】试求图4-7所示T形截面的形心坐标。

【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-7所示，每个矩形的面积及形心坐标为：

由式(8—3)可求得T形截面的形心坐标为：

【例4-2】试求图4-8所示阴影部分平面图形的形心坐标。

【解】将平面图形分割为两个圆，如图8-5所示，每个圆的面积及形心坐标为

由式(4-3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：

图4-7 图4-8 1.4.2静 矩 1.4.2.1定义

图4-9所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或Y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即：

(4—4)

33

由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。常用单位为 m或mm。

图4-9 图4-10

1.4.2.2简单图形的静矩

图4-10所示简单平面图形的面积A与其形心坐标Yc(或zc)的乘积，称为简单图形对z轴或Y轴的静矩，即：

(4—5)

当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零；反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。

1.4.2.3组合平面图形静矩的计算

(4—6)

式中A——各简单图形的面积；

Yci、zci——各简单图形的形心坐标。

式(4-6)表明：组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和。 【例4-3】计算图4-11所示T形截面对z轴的静矩。 【解】将T形截面分为两个矩形，其面积分别为：

截面对z轴的静矩

图4-11

1.4.3惯性矩、惯性积、惯性半径

1.4.3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义 1.4.3.1.1惯性矩

图4-12所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标Y(或z)平方乘积的总和．称为该平面图形对z轴(或Y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即：

(4—7)

图4-12

例4-8 如图4-27（a）所示，一传动系统的主轴，其转速n=960r／min，输入功率PA=27．5kW，输出功率P。：20kW，PB=7．5kW。试求指定截面1-1、2-2上的扭矩。

解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得

同理可得

(2)计算扭矩。用截面法分别计算截面1-l、2-2上的扭矩。 截面l-1：

假想地沿截面1-1处将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面l-1上的扭矩为T1，且为正方向(图4-27b)，由平衡条件得

图4-27 负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。 截面2-2：

假想沿截面2-2将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面2-2上的扭矩为疋，且为正方向(图4-27c)，由平衡条件得

负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。

若以截面2-2右段为研究对象(图4-27d)，同理，由平衡条件

得

所得结果与取左段为研究对象的结果相同，计算却比较简单。所以计算某截面上的扭矩时。应取受力比较简单的一段为研究对象。

由上面的计算结果不难看出：受扭杆件任一横截面上扭矩的大小。等于此截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和。

2.2.2.3扭矩图

当轴上同时作用两个以上的外力偶时，横截面上的扭矩随截面位置的不同而变化。反映轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。根据扭矩图可以确定最大扭矩值及其所在截面的位置。

扭矩图的绘制方法与轴力图相似。需先以轴线为横轴z、以扭矩r为纵轴，建立卜z坐标系，然后将各截面上的扭矩标在卜z坐标系中，正扭矩在x轴上方，负扭矩在x轴下方。

下面通过例题说明扭矩图绘制的方法和步骤。

例4-9 传动轴如图4-28a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轴的转速n=300 r／min。试作出该轴的扭矩图。

解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得

同理可得

(2)计算扭矩。根据作用在轴上的外力偶，将轴分成鲋、AC和CD三段．用截面法分别计算各段轴的扭矩，如图4-28b、c、d所示。

(3)作扭矩图。建立T-x坐标系．x轴沿轴线方向，T向上为正。将轴各横截面上的扭矩标在T-x坐标中。由于BA段各横截面上扭矩均为-0.95 kN·m，故扭矩图为平行于x轴的直线，且位于z轴下方；而AC段、CB段各横截面上扭矩分别为2.87kN·m和1.59kN·m，故扭矩图均为平行于x轴的直线，且位于x轴上方，于是得到如图4-28e所示的扭矩图。

从扭矩图可以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同，此处发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小：最大扭矩发生在AC段内，且Tmax=2.87kN·m。

讨论 对同一根轴来说，若把主动轮A与从动轮B对调，即把主动轮布置于轴的左端(图4-29a)，则得到该轴的扭矩图(图4-29b)。这时轴的最大扭矩发生在AB段内，且Tmax=3.82kN·m。

比较图4-28e和图4-29b可见，传动轴上主动轮和从动轮布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也随之改变。轴的强度和刚度都与最大扭矩值有关。因此．在布置轮子位置时，要尽可能降低轴内的最大扭矩值。显然图4-28布局比较合理．

图4-28

2.3弯曲内力

图4-29 2.3.1平面弯曲的概念

2.3.1.1弯曲和平面弯曲 2.3.1.1.1弯曲

在工程中我们经常遇到这样一些情况：杆件所受的外力的作用线是垂直于杆轴线的平衡力系(或在纵向平面内作用外力偶)。在这些外力作用下，杆的轴线由直线变成曲线(图4-30)，图中虚线表示梁在外力作用下变形后的轴线)。这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。

梁是工程中一种常用的杆件，尤其是在建筑工程中，它占有特别重要的地位。如房屋 建筑中常用于支承楼板的梁(图4-31)，阳台的挑梁(图4-32)，门窗过梁(图4-33)，厂 房中的吊车梁(图4-34)，粱式桥的主梁(图4-35)等等。

图4-30

图4-31

图4-33

图4-36

图4-35

2.3.1.1.2平面弯曲

工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等(图4-36)，它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面(图4-37)。当作用于梁上的力(包括主动力和约束反力)全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。图4-37中的梁就产生了平面弯曲。

平面弯曲是弯曲问题中最常见，而且最简单的弯曲。本章只对平面弯曲变形进行分析和讨论。 2.3.1.2梁的类型

工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程就能够求出全部约束反力和内力的梁，统称为静定梁。静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定

梁两类，单跨静定梁是本章的研究对象。通常根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。

(1)悬臂梁一端为固定端支座，另一端为自由端的梁(图4-38a)

(2)简支梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁(图4-38b) (3)外伸梁梁身的一端或两端伸出支座的简支梁(图4-38c、d)

图4-34

图4-32 图4-37

图4-38 第二节 构件承载力分析

2.3.2梁的内力

在求出梁的支座反力后，为了计算梁的应力和位移，从而对梁进行强度和刚度计算，需要首先研究梁的内力。 2.3.2.1梁的内力——剪力和弯矩

梁在产生平面弯曲时将会产生哪些内力呢?下面我们仍用求内力的基本方法——截面法来讨论梁的内力。

现以图4-39a所示的简支梁为例来分析。设荷载FP和支座反力FAy 、FBy均作用在同一纵向对称平面内，组成的平面力系使梁处于平衡状态，欲计算截面1-1上的内力。

用一个假想的平面将该梁从要求内力的位置1—1处切开，使梁分成左右两段，由于原来梁处于平衡状态，所以被切开后它的左段或右段也处于平衡状态，可以任取一段为隔离体。现取左段研究。在左段梁上向上的支座反力FAy有使梁段向上移动的可能，为了维持平衡，首先要保证该段在竖直方向不发生移动，于是左段在切开的截面上必定存在与FAy，大小相等、方向相反的内力FQ但是，内力FQ只能保证左段梁不移动，还不能

保证左段梁不转动，因为支座反力FAy，对1-1截面形心有一个顺时针方向的力矩FAyx， 图4-39 这个力矩使该段有顺时针方向转动的趋势。为了保证左段梁不发生转动，在切开的1-1

截面上还必定存在一个与FAyx力矩大小相等、转向相反的内力偶M(图4-39b)。这样在1-1截面上同时有了FQ和M才使梁段处于平衡状态。可见，产生平面弯曲的梁在其横截面上有两个内力：其一是与横截面相切的内力FQ，称为剪力；其二是在纵向对称平面内的内力偶，其力偶矩为M，称为弯矩。

截面1-1上的剪力和弯矩值可由左段梁的平衡条件求得。 由得

将力矩方程的矩心选在截面1-1的形心C点处，剪力FQ将通过矩心。

由

得

以上左段梁在截面1-1上的剪力和弯矩，实际上是右段梁对左段梁的作用。根据作用力与反作用力原理可知，右段梁在截面1-1上的FQ、M与左段梁在1-1截面上的FQ、M应大小相等、方向(或转向)相反(图4-39c)。若对右段梁列平衡方程进行求解，求出的FQ及M也必然如此，请读者自己验证。 2.3.2.2剪力和弯矩的正负号规定

由上述分析可知：分别取左、右梁段所求出的同一截面上的内力数值虽然相等，但方向(或转向)却正好相反，为了使根据两段梁的平衡条件求得的同一截面(如1—1截面)上的剪力和弯矩具有相同的正、负号，这里对剪力和弯矩的正负号作如下规定。

2.3.2.2.1剪力的正负号规定

当截面上的剪力FQ使所研究的梁段有顺时针方向转动趋时，剪力为正(图4-40a)；有逆时针方向转动趋势时剪力为负(图4-40b)。 2.3.2.2.2弯矩的正负号规定

当截面上的弯矩肘使所研究的水平梁段产生向下凸的变形时(即该梁段的下部受拉，上部受压)弯矩为正(图ll一12a)；产生向上凸的变形时(即该梁段的上部受拉，下部受压)弯矩为负(图11—12b)。

2.3.2.3用截面法求指定截面上的剪力和弯矩

用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤如下： 1)求支座反力。

2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。

3)取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。

下面举例说明如何用截面法求梁指定截面上的内力——剪力和弯矩。

例4-10试用截面法求图4-42a所示悬臂梁1-l、2-2截面上的剪力和弯矩。 已知：q=15kN／m，F，=30kN。图中截面1-1无限接近于截面A，但在A的右侧，通常称为A偏右截面。

解 图示梁为悬臂梁，由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。但在不求支座反力的情况下，不能取有支座的梁段计算。

(1)求1-1截面的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从1-1位置截开，取1-1截面的右侧为隔离体，作该段的受力图(图4-42b)，图中1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定，由平衡方程∑Fy=0得

计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。

由∑M1=0得

图4-40 图4-41 图4-42

计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。 (2)求2-2截面上的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从2-2位置截开，取2-2截面的右侧为隔离体，作该段的受力图，如图4-42e所示。由平衡方程∑Fy=0，得

由∑M2=0得

例4-11 用截面法求图4-43a所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。已知： Fp=100kN，a=1．5m，M=75kN·m，(图中截面1-l、2-2都无限接近于截面 A，但1-1在A左侧、2-2在A右侧，习惯称1-1为A偏左截面，2-2为A偏右截面；同样3-3、4-4分别称为D偏左及偏右截面)。

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