导数在实际生活中的应用(一)

江苏省南菁高级中学数学课件

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1、利用导数求函数的最值步骤？ 2、求以下函数的最值及相应x的值1. f ( x ) 30 x 2 1 x 3 (0 x 60) 2 2. f ( x ) 2v 2 x 2 ( x 0) (v为正常数) x

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导数在实际生活中有着广泛的应用用料最省、利润最大、效率最高等最优化问题 一般都可以归结为函数的最值问题，从而可用 导数解决.

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实际应用问题

审题(设)

分析、联想、抽象、转化

还原(答)寻找解题思路

数学化(列)

解答数学问题

(解)

构建数学模型

解答应用题的基本流程

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问题探究1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正 方形，再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖 的方底箱子, 箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大？ 最大容积是多少？x

x x

60

x

2 箱子的容积为 V ( x ) x 2 h 30 x 2 1 x 3 (0 x 60) 2

解:设箱底边长为x(cm), 则箱高为 h 60 x (0 x 60)

60

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问题探究2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省？

R

解：设圆柱的高为h,底面半径为R

则表面积为 S ( R) 2 Rh 2 R2

2

V 又V R h(定值), h 2 , 故 则 R S( R) 2 R V 2 2 R 2 2V 2 R 2 ( R 0) R R

h

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时， 怎样才能使容积最大？

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问题探究3、在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r,电动势 为E,外电阻R为多时,才能使电功率最大？最大电功率 是多少? r E 解：电功率P=I2R 其中 I E 为电流强度； R rE ) 2 R E 2 R ( R 0) P ( R r ( R r )2

R

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问题探究4、强度分别为a,b的两个光源A,B间距离为d,试在连结 两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3

时，回答上述问题。(照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比)

Ax

P

B3 x

解：设点P在线段AB上，且P距光源A为x,则P距光源B 为3-x (0<x<3). ka , 即8k ; P点受A光源的照度为 2 (其中k为比例常数) 2 x x P点受B光源的照度为kb (3 x )22

,即

k (3 x )22

8k k 从而P点的总照度为 I( x ) (0 x 3). x (3 x )

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课堂小结设 列 解 答实际问题的解 数学问题的解

实际中优化问题

数学中函数模型

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再见

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