X11-2多元函数极限和连续

§11-2 函数的极限与连续

多元函数的极限例：(人影长度) :(人影长度) 人影长度

zC B D hP(x,y)

PD h = PD + OP Hh PD = x2 + y 2 H h2

H

o

y

x2

OP = ρ = ( x 0) + ( y 0) → 0

PD=f(x,y) →0

二、 二元函数的极限设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 是其内点或边界点， D, P0 ( x 0 , y 0 )是其内点或边界点，如果对任意给 定 ε >0 , 总 存 在 正 数 δ , 使 得 适 合 2 2 0 <| PP0 |= ( x x 0 ) + ( y y 0 ) < δ 的 一 切 成立， 点，都有| f ( x , y ) A |< ε 成立，则称 A 为函数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) = A 定 义 (或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |).x → x0 y → y0

r 是其内点或边界点， 定义 设 n元函数 f (r) 的定义域为点集 D,r 是其内点或边界点，若 r r 对于 任给定 的正数 ε , 总存在正数 δ , 当 0 <| r r0 |< δ , 都有 r r r r | f (r) A|< ε 成立，则称 A 为 n元函数 f (r) 当 r →r0 时的极限， 成立， 时的极限，

r lim r r f (r) = Ar→r0

记为

.

定义 设 n元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, P0 是其内点 (P 或边界点， 或边界点，如果对于任意给定的正数ε ,总存在正数δ , 使得对于适合不等式 0 <| PP0 |< δ 的一切点 P ∈ D, 都有 成立， | f ( P ) A |< ε 成立，则称 A 为 n元函数 f (P )当 P → P0 lim f ( P ) = A. 时的极限， 时的极限，记为P → P0

注:

(1).二元函数的极限称为二重极限;( x , y ) → ( x0 , y 0 )y → y0,x → x0

lim

f ( x, y ) = Ax → x0 y → y0 x ≠ x0

lim

f ( x, y )= lim { lim f ( x, y )} f ( x, y )= lim { lim f ( x, y )}为二次极限y → y0 x → x0 y ≠ y0

或

y → y0,x → x0

lim

(2).二重极限存在,是指P(x,y) 以任何方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, f(x,y)都无限接近于A. 故如果P(x,y)沿不同路径趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, f(x,y)趋于 不同的值,可断定极限不存在. (3)有二次极限可能没有二重极限，有二重极限也可能没有二次 极限，两者关系(P34定理11-1)

, ) 二重极限 lim f (x y 与累次极限 lim lim f (x y , )x x →0 y y →0

x x y y →0 →0

不同. 不同 如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 例如, 例如x 0y 0 → →

显然

limlimf (x y =0 , ) ,

二重极限不存在 .1 1 二重极限 lim( x + y ) sin sin = 0 二次极限不存在 x →0 x y y →0

多元函数极限的求法 1)两边夹法则：2

例1 求证

1 lim( x + y ) sin 2 =0 2 x →0 x +y y →02

证 0≤

1 ( x + y ) sin 2 0 2 x +y2 2

1 = x + y sin 2 ≤ x2 + y2 2 x +y2 2

lim( x + y ) = 02 2 x →0 y →0

由两边夹法则

1 lim( x + y ) sin 2 0 2 = x →0 x +y y →02 2

xy 例2 证明 xlim 2 →+∞ x + y 2 y →+∞ 解：因为x2+y2 ≥2xy,

x2

y 2

=0

x>0,y>0,x2 y2

xy 0< 2 x + y2

1 ≤ 2 =0

x2 y 2

xy lim 2 x →+∞ x + y 2 y →+∞

x2 y 2

2) 四则运算，重要极限： 四则运算，重要极限 计算： 例 计算：

sin xy 2 lim( + x y) x →0 x y →0

sin xy 2 = lim lim y + lim x y x →0 x →0 xy x →0 y →0 y →0 y →0

= 1× 0+0=0

3)换元法 )x3 + y 3 =0 例1证明 lim 2 2 ( x , y ) → (0,0) x + y

解

x = ρ cosθ ,

y = ρ sinθ3 3

0 ≤| f ( x, y ) |= ρ (sin θ + cos θ ) < 2 ρ( x , y ) →(0,0)

lim

f ( x, y ) = 0

例2求极限

sin( x 2 y ) lim 2 . 2 x→0 x + y y→0

解

sin( x 2 y ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0sin( x 2 y ) x 2 y , = lim 2 2 2 x →0 x y x +y y→ 0

sin( x 2 y ) u = x 2 y sin u lim lim = 1, 其中 x →0 2 u→ 0 x y u y →0x2 y 1 x→0 两边夹 x → 0, 2 2 ≤ x +y 2sin( x 2 y ) ∴ lim 2 = 0. x →0 x + y 2 y →0

例3

xy + 1 1 1 解 原式 = lim = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 y→ 0

xy + 1 1 . 求 lim x →0 xy y→0

1 = . 2

4)无穷小量性质 ) 例 计算下列极限1 lim 2 x →∞ x + y 2 y →∞

1 lim xSin[ 2 ] ( x , y )→( 0, 0 ) x +y

5)极限不存在的方法： )极限不存在的方法：(1) 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y0 ) , )n

若极限值与 k 有关2) 找两种不同趋近方式， 存在， (2) 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，x → x0 y → y0

但两者不相等

种趋近方式， (3) 找 1 种趋近方式，使 lim f ( x , y )不存在 )x → x0 y → y0

y

x y 不存在. 例1 证明 lim x →0 x + y 不存在. y →0证

o

x

x y 0 y = lim = 1 I1 = lim x →0 y →0 x + y y →0 0 + y x y x 0 I 2 = lim = lim =1 y →0 x →0 x + y y →0 x + o故极限不存在. 故极限不存在.

x3 y 不存在. 例2 证明 lim 6 2 不存在. x →0 x + y y →0证3 取 y = kx ,

x3 y x 3 kx 3 k lim 6 , 2 = lim 6 2 6 = 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k 3 y→ 0y = kx

其值随k的不同而变化， 其值随 的不同而变化， 的不同而变化 故极限不存在. 故极限不存在.

二、多元函数的连续性r 定义 设 n 元 函 数 f (r ) 的 定 义 域 为 点 集 r r r D, r 0 ∈ D , 如 果 lim f ( r ) = f (r 0 ) 则 称 n 元 函 数

r r f (r ) 在点 r 0 处连续. 否则为间断点 处连续.P → P0

r → r0

一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函 一般地， 的定义域的内点， 数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 处连续， 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) = f ( P0 ).P → P0

x π 2 2 lim e cos = 1; lim arcsin x + y = . x →0 x→0 2 yxy y→3 y →1

多元初等函数： 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多

元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

例如: 例如2 xy z = sin( y + x ); z = x ln( x + y 2); z = 2 2 x +y2 2 2

内连续。 分别在半平面 x≥0;x2+y2>2;(x,y)≠(0,0)内连续。 ≥ ; ; ≠ 内连续

函数不连续的点称为间断点。 函数不连续的点称为间断点。

例：指出下列函数间断点

xy (1). f ( x, y ) = x y2

初等函数 间断线 x = y 2 外处处连续. 除 除(0,0)外处处连续.

xy , x2 + y2 ≠ 0 (2). f ( x, y ) = x 2 + y 2 0, x2 + y 2 = 0

(0,0)点极限不存在

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