中考数学专题训练 第3课时 开放探究题(含答案)
更新时间:2023-07-20 20:58:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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第3课时 开放探究题
开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念,主要有下列几种描述:(1)答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题;(2)具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.
开放探究题的特点是:(1)条件多余需选择,条件不足需补充;(2)答案不固定;(3)问题一般没有明确的结论,没有固定的形式和方法,需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.
开放探究题常见的类型有:(1)条件开放型:即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一;(2)结论开放型:即在给定的条件下,结论不唯一;(3)策略开放型:即思维策略与解题方法不唯一;(4)综合型:即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.
在解决开放探究题的时候,需解题者经过探索确定结论或补全条件,将开放性问题转化为封闭性问题,然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.
类型之一 条件开放型问题
解这种类型的开放性问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,结合图形挖掘条件,逆向追索,逐步探寻,是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因。
1. (郴州市)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可
判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是_________.
2.(庆阳市)如下左图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,则使
△AED∽△ABC的条件是
类型之二 结论开放型问题
解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象,然后经过论证作出取舍,这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
3.(滨州市)如上右图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),
在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC
交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;
③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________(把你认为正确的序号都填上)。
4.( 梅州)如图,四边形ABCD是平行四边形.O是对角线AC的中点,过
点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F,与CB、AD的延长线分别交于点G、H.
(1)写出图中不全等的两个相似三角形(不要求证明);
(2)除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请选出其中一对加以证明.
5.( 常德市)如图,在梯形ABCD中,若AB//DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少(注意:全等看成相似的特例)?
(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.
类型之三 策略开放型问题
策略开放型也称为设计方案型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探索解题方法或设计解题方案的一类试题;这种类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得以解决。策略开放性问题的解题方法一般不惟一或解题路径不明确,要求解题者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程。
6.(盐城)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 .
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC
=BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
类型之四 综合型问题
这类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知,而仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题;它更具有开发性,能为我们提供宽松的思维环境,解这类题时,要求我们对课本知识特别熟悉并能灵活运用。
7.(大连市)点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC = kAB,连结AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF =∠ABC,EF交直线m于点F.
⑴如图1,当k = 1时,探究线段EF与EB的关系,并中以说明;
说明:①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步);
②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角),在图2中补全图形,完成证明.
⑵如图3,若∠ABC = 90°,k≠1,探究线段EF与EB的关系,并说明理由.
图1 图2 图3
参考答案
1.【解析】由 A B C 90 可知四边形ABCD是矩形,再得到正方形方法有很多,比如邻边相等、对角线互相垂直等。答案不唯一。
【答案】 AB=BC或者BC=CD或者CD=DA或者DA=AB
2.【解析】由本题图形相似已经有一个公共角,再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可。
【答案】 ∠AED ∠B,或∠ADE ∠C,或AD AE
ACAB
3.【解析】由于A、C、E三点共线可证明三角形ACD与三角形BCE全等(边角边)从而可证AD=BE、∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CCBE+∠CEB =∠ACB= 60°,再证三角形ACP全等于三角形BCQ,从而可证AP=BQ,PQ∥AE。如果DE=DP,那么就会有DE=DP=EQ(三角形CEQ全等于三角形CDP)EQ=CE因为∠DCE=60°,所以三角形CEQ为等边三角形,矛盾。
【答案】(1)(2)(3)(5)
4.【解析】考察了相似的两种基本图形,平行四边形中利用全等三角形的简单证明.
【答案】(1) AEH与 DFH.(或 AEH与 BEG, 或 BEG与 CFG ,或 DFH与 CFG)
(2)OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
AB∥CD,AO CO ∴ EAO FCO,
∵ AOE COF, ∴△AOE≌△COF,
∴OE OF.
5.【答案】解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④其中有两组(①③,②④)是相似的.
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P
(2)证明:选择①、③证明.
在△AOB与△COD中, ∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠DBA , ∠DCA=∠CAB,
∴△AOB∽△COD
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB=∠CAB,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB=∠CAB,AB=AB, 1 3
∴△DAB ≌ △CBA,
∴∠ADO=∠BCO.
又∠DOA=∠COB, ∴△DOA∽△COB
6.【答案】:(1)①CF与BD位置关系是 垂直、数量关系是相等;
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.
由正方形ADEF得 AD=AF ,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD
(2)画图正确
当∠BCA=45º时,CF⊥BD(如图丁).
理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF⊥BD
(3)当具备∠BCA=45º时,
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q,(如图戊)
∵DE与CF交于点P时, ∴此时点D位于线段CQ上,
∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD=x ,∴ DQ=4—x,
CPxx1容易说明△AQD∽△DCP,∴CP CD , ∴ , CP x (x 2)2 1. 444 x4DQAQ
∵0<x≤3 ∴当x=2时,CP有最大值1. 2
7.【答案】(1)EF=EB.证明:如图,以E为圆心,以EA为半径画弧交直线m于点M,连结EM.
∴EM=EA, ∴∠EMA=∠EAM.
∵BC=Kab,k=1,∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB, ∠FAB=∠ABC.
∴∠MAC=∠CAB.
∴∠CAB=∠EMA.
∵∠BEF=∠ABC, ∴∠BEF=∠FAB.
∵∠AHF=∠EHB, ∴∠AFE=∠ABE.
∴△AEB≌△MEF.
∴EF=EB.
探索思路:如上图,∵BC=Kab,k=1,∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB.
添加条件:∠ABC=90°.
证明:如图,在直线m上截取AM=AB,连结ME.
∵BC=kAB,k=1,∴BC=AB.∵∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°,
∵m∥n,∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°, ∠FAB=90°.
∵AE=AE, ∴△MAE≌△ABE.
∴EM=EB, ∠AME=∠ABE.
∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠FAB+∠BEF=180°. ∴∠ABE+∠EFA=180°,又∵∠AME+∠EMF=180°, ∴∠EMF=∠EFA.
∴EM=EF. ∴EF=EB. (2)EF=1EB. k
说明:如图,过点E作EM⊥m、EN⊥AB,垂足为M、N.
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°.
∵m∥n,∠ABC=90°, ∴∠MAB=90°.
∴四边形MENA为矩形.∴ME=NA, ∠MEN=90°. ∵∠BEF=∠ABC=90°. ∴∠MEF=∠NEB.
∴△MEF∽△NEB. ∴MEEFANEF∴ . ENEB.ENEB
ENBC k, ANAB在Rt△ANE和Rt△ABC中,tan∠BAC=
∴EF=
1EB. k
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