生产策略

摘要

本文讨论了工厂根据当年市场对产品每月的需求量，如何制定生产策略从而使总损耗最少的问题。

把此类求工厂总损失最小生产策略问题化为最短路问题的多阶段决策问题。设每个顶点代表各月，且以每个顶点为转折点进行生产策略调整，运用Matlab软件求出每个阶段的最小损耗。进一步用图论软件表示出各个阶段，用Matlab软件求出的每个阶段的最小损耗即为每个阶段的权值。最后，图论软件会自动求出最短的路径，此路径即为使工厂损失最小的生产策略。

关键词：最短路模型 图论软件 生产策略 Matlab软件

一、问题重述

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的

生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益.

某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增.若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费c2?0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费c3?0.4元.假定生产率每调整一次带有固定的调整费c1?1万元。

请你们：

制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小。

二、问题分析

我们知道，在实际生产中生产率的不同将对生产部门产生以下两种影响： 1.生产率过高，导致产品大量积压，流动资金不能及时回笼，使工厂资金链断裂；

2.生产率过低，产品不能满足市场需要，生产部门失去获利机会。 可见，为使工厂的总损失最小，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，及时调整生产率，从而制定出使工厂总损失最小的最优生产策略。

我们把此类求工厂总损失最小生产策略问题转化为最短里问题的多阶段决策问题。将每个月看做一个顶点，以每个顶点为转折点进行生产策略调整，运用Matlab软件求解每个阶段的最小损耗，并将其作为权值赋给每个阶段，再用图论软件表示出各个阶段。最后，图论软件会自动求出最短路径，此路径即为使工厂损失最小的生产策略。

三、符号说明与模型假设

3.1符号说明

符号 顶点x1~x12 顶点x13 弧x1?x1?n 说明 1至12月月初 12月月末 从i月至i?a?1月不调整生产策略，12?i?a?2,11?i?1 i月至i?a?1月库存保管费和短期损失费的最小值以及第i?a月sxi?xi?n sxi?x13 s 3.2模型假设

的调整费用之和，12?i?a?2,11?i?1 i月至12月库存保管费和短期损失费的最小值，11?i?1 工厂一年总损失 1）市场年初需求量为a?6万单位； 2）市场需求量以b?1万单位/月速度递增； 3）单位产品单位时间的库存保管费为c2?0.2元； 4）单位产品单位时间的短期损失费为c3?0.4元； 5）生产率每调整一次的固定调整费为c1?1万元； 6）工厂严格按照生产率生产产品。

四、模型建立与求解

4.1模型建立

将使工厂总损失最小生产策略问题转化为最短路问题，借用图论软件画出图形表示各月之间的联系，以便计算出各阶段的最小损失，即为赋给各顶点之间的权值。

各月的市场需求量见下表一：

月份 1 2 7 3 8 4 9 5 6 7 8 9 10 11 12 需求量（万单位） 6 10 11 12 13 14 15 16 17 表一：市场各月需求量

Step1. 计算sx1?x2，表示1月的库存保管费和短期损失费的最小值0以及2月生产率的调整费用1万元，即sx1?x2=1万元。

同理可得：sxi?xi?1(11?i?1)皆为1万元，sx12?x13为0.

Step2. 计算sx1?x3，表示1月至2月的库存保管费和短期损失费的最小值以及3月生产率的调整费用1万元，即sx1?x3=1.1万元（1月至2月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.2）。

同理可得：sxi?xi?2(10?i?1)均为1.1万元，sx11?x13=0.1万元。

Step3. 计算sx1?x4，表示1月至3月的库存保管费和短期损失费的最小值以及4月生产率的调整费用1万元，即sx1?x4=1.4万元（1月至3月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.3）。

同理可得：sxi?xi?3(9?i?1)均为1.4万元，sx10?x13=0.4万元。

Step4. 计算sx1?x5，表示1月至4月的库存保管费和短期损失费的最小值以及5月生产率的调整费用1万元，即sx1?x5=2万元（1月至4月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.4）。

同理可得：sxi?xi?4(8?i?1)均为2万元，sx9?x13=1万元。

Step5. 计算sx1?x6，表示1月至5月的库存保管费和短期损失费的最小值以及6月生产率的调整费用1万元，即sx1?x6=3万元（1月至5月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.5)。

同理可得：sxi?xi?5(7?i?1)均为3万元，sx8?x13=2万元。

Step6. 计算sx1?x7，表示1月至6月的库存保管费和短期损失费的最小值以及7月生产率的调整费用1万元，即sx1?x7=4.2万元（1月至6月的库存保管费和短

期损失费的最小值见附录5.6)。

同理可得：sxi?xi?6(6?i?1)均为4.2万元，sx7?x13=3.2万元。

Step7. 计算sx1?x8，表示1月至7月的库存保管费和短期损失费的最小值以及8月生产率的调整费用1万元，即sx1?x8=5.9万元（1月至7月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.7)。

同理可得：sxi?xi?7(5?i?1)均为5.9万元，sx6?x13=4.9万元。

Step8. 计算sx1?x9，表示1月至8月的库存保管费和短期损失费的最小值以及9月生产率的调整费用1万元，即sx1?x9=8.2万元（1月至8月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.8)。

同理可得：sxi?xi?8(4?i?1)均为8.2万元，sx5?x13=7.2万元。

Step9. 计算sx1?x10，表示1月至9月的库存保管费和短期损失费的最小值以及10月生产率的调整费用1万元，即sx1?x10=11.2万元（1月至9月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.9)。

同理可得：sxi?xi?9(3?i?1)均为11.2万元，sx4?x13=10.2万元。

Step10. 计算sx1?x11，表示1月至10月的库存保管费和短期损失费的最小值以及11月生产率的调整费用1万元，即sx1?x11=15万元（1月至10月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.10)。

同理可得：sxi?xi?10(2?i?1)均为15万元，sx3?x13=14万元。

Step11. 计算sx1?x12，表示1月至11月的库存保管费和短期损失费的最小值以及12月生产率的调整费用1万元，即sx1?x12=19.2万元（1月至11月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.11)。

同理可得：sxi?xi?11(i?1)均为15万元，sx2?x13=18.2万元。

Step12. 计算sx1?x13，表示1月至12月的库存保管费和短期损失费的最小值23.5万元（1月至12月的库存保管费和短期损失费的最小值见附录5.12)。

经计算各边权值如下表：

4.2模型求解

将Matlab软件计算所得权值加入图论软件中，设x1为起点，x13为终点，可得最短路径如下图：

最短路线如图中绿线所示，由此可看出：工厂在4月初、7月初和10月初改变生产率，会使总损失最小。

上图可知：从x1到x13的最短路径为x1?x4?x7?x10?x13，总损失s?4.6万元。 最短路径各阶段每月生产量及损耗计算如下： 1）x1?x4阶段：

由Matlab程序计算得出：1月到3月的库存保管费和短期损失费的最小值为0.4万元，每月生产量均为7万单位。因为3月调整生产率的费用为1万元，所以，此阶段总费用为1.4万元。 2）x4?x7阶段：

与x1?x4阶段同理可得：4月到6月的库存保管费和短期损失费的最小值为0.4万元，每月生产量均为10万单位。因为7月调整生产率的费用为1万元，所以，此阶段总费用为1.4万元。 3）x7?x10阶段：

与x1?x4阶段同理可得：7月到9月的库存保管费和短期损失费的最小值为0.4万元，每月生产量均为13万单位。因为10月调整生产率的费用为1万元，所以，此阶段总费用为1.4万元。 4）x10?x13阶段：

与x1?x4阶段同理可得：10月到12月的库存保管费和短期损失费的最小值为0.4万元，每月生产量均为16万单位。

因此，总费用为s?1.4*3?0.4?4.6万元。

六、模型评估

本文联合使用了最短路径问题模型、图论软件和Matlab软件，将此类求最

小损失问题转化为最短路径的多阶段问题，使问题得到了简化，并且能够轻松得出最小损失和工厂的生产策略。

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