初中数学八年级上册多边形的内角和导学案

第十一章 三角形

11.3 多边形及其内角和

11.3.2 多边形的内角和

学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.

2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.

重点：多边形的内角和与外角和公式. 难点：多边形的内角和公式的推导.

一、知识链接

1.三角形的内角和是多少？

2.正方形，长方形的内角和是多少？

一、要点探究

探究点1：多边形的内角和

问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以引_____条对角线,它们将四边形分成____个三角形,那么四边形的内角和等于_______度.你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？ 已知：四边形ABCD.

求证：四边形ABCD的内角和为180°. 证法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形，

证法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形，

证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形，

证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.

方法总结:这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.

（2）从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线,它们将五边形分成_______个三角形,那么五边形的内角和等于多少度？

（3）从n边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？那么n边形的内角和等于多少度？ 多边形的 边数 图形 分割出的三 角形个数 多边形的内角和 4 5 6 …… …… …… …… n 要点归纳：n边形的内角和等于____________________.

例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.

要点归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也____________. 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分 ∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．

方法总结:由四边形的一组对角互补，知另外一组对角也互补，再结合角平分线、平行线的性质，运用整体思想即可求解.

例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？

针对训练 1. 若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是________. 2.五边形的内角和为 ,十边形的内角和为 . 3.下列度数中,不可能是某个多边形的内角和的是( ) A.180 B.270 C.2?700 D.720° 探究点2：多边形的外角和

如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．

问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？

问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？

问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 解：五边形外角和=5个平角－五边形内角和

问题4：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？

要点归纳：n边形的外角和等于360°.与边数无关.

问题5：回想正多边形的性质，正多边形的每个内角是_______度,每个外角是______. 典例精析 例3 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.

例4 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数.

针对训练 1.若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形. 2.已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形. 二、课堂小结 多边形的内角和定理 多边形的外角和定理 (n-2) × 180 °(n ≥_______的整数） 多边形的外角和等于_________. 特别注意：与边数无关. 正多边形 内角=_______，外角=________.

1.判断．

(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )

2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．

3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左

转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米．

4.一个多边形的内角和不可能是（ ）

A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.

拓展提升

7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.

1.判断．

(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )

2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．

3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左

转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米．

4.一个多边形的内角和不可能是（ ）

A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.

拓展提升

7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.

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