概率04-05学年第一学期（经，A卷）

北京工业大学2004—2005年度第I学期

概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案

一. 填空题(每空两分,共30分)

1. 若A,B为随机事件，且P(A)?0.6,P(B?A)?0.2.当A与B相互独立时,

P(B)? ；A与B互不相容时,P(B)? 。 2. 若每次试验时A发生的概率都是0.2，X表示50次独立试验中事件A发生的次数，则E(X)? ，Var(X)? 。 3. 若随机变量X只取?2,1之三个可能值,且P(X??2)?0.15,P(X?1)?0.5。则E(X)? ，Var(X)? 。 4. 若随机变量

X1,X2相互独立,且

X1～

N(3,3)2，

X2～

N(1,2)2。令

则E(X)? ， X?X1?2X2，Var(X)? ，P(X?1)＝ 。5. 若X1,X2,?,Xn为抽自正态总体N(?,?)的随机样本，记 X?21niX， ?ni?1S2??(Xn?1i?11ni?X)2. 则n(X??)/?～ ,

n(X??)/S2～

_________, (n?1)S2/?2～ ________。进一步，记Z?为标准正态分布上?分位点，tm(?)为自由度为m的t分布上?分位点,?m(?)为自由度为m的?2分布上?分位点,m为自然数，0???1为常数。当?2已知时,?的置信系数为

1??2的置信区间为 _________________；当?2未知时,?的置信系数为1??

的置信区间为______________________, ?2的置信系数为1??的置信区间为 ______________________。

注：做以下各题须写出计算步骤，否则不能得分。 二. 计算题(共70分)

1.(14分) 盒中装有8个乒乓球，其中有6个新的。第一次练习时，从中任取2个来用，用完后放回盒中。第二次练习时，再从盒中任取2个。

(1).求第二次取出的球都是新球的概率；

(2).求在第二次取出的球都是新球条件下，第一次取到的球都是新球的概率。

2. (15分) 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y)??Ax(x?y),0?x?2,|y|?x,??0,其他. (1).确定常数A；(2).求X的边缘概率密度函数fX(x)；求E(X+Y).

(3).3．(13分) 若X1,X2,?,Xn为抽自正态总体N(2,?2)的简单样本，求

(1). ?2的矩估计；(2).?2的极大似然估计。

4．(14分) 设随机变量X 服从标准正态分布N(0,1)，记Y?e?X. (1).Y的分布函数FY(y)；

(2).Y的概率密度函数fY(y)； (3).Y的期望和方差。

求

5．(14分) 对一批锰的熔点做5次测定，结果为1269,1267,1271,1263和

1265oC。若锰的熔点服从正态分布N(?,?2)，其中?和?2为未知常数。对给定的检验水平??0.05，做假设检验： (1). H0:??1266，H1:??1266; (2). H0':?2?4, H1:?'2?4.

附. 标准正态分布上5%分位点为1.645，上2.5%分位点为1.96；定义

P?tn?tn(?)???，P??n2??n2(?)???, 有:

t4(0.05)?2.1318，t4(0.025)?2.7764，t5(0.05)?2.0150，t5(0.025)?2.5706,

222?4(0.025)?11.143,?4(0.05)?9.488,?4(0.95)?0.711,?42(0.975)?0.484，2222?5(0.025)?12.833, ?5(0.05)?11.071,?5(0.95)?1.145,?5(0.975)?0.831.

参考答案：

一. 填空题 1._ 0.5 ； 0.2 2. 10 ， 8 3.__0.9 ， 1.69 4. 1 ， 25 ， 0.5 5.

N(0,1)[X?(?/，

tn?1，

n)Z?/2]?n?12，

n)Z?/2,X?(?/，

，

[X?(S/n)tn?1(?/2),X?(S/n)tn?1(?/2)]2?(n?1)S2?(n?1)S,?2?2??n?1(?/2)?n?1(1??/2)?

二. 计算题(共70分)

1. 解：设Ai表示第一次取到 i个新球，i?0,1,2；B表示第二次取到2个新球。则

(1).由全概率公式，得

2P(B)??i?0P(Ai)P(B|Ai)?C2C6C2822C28?C2C6C5C28112C28?C6C4C2822C28???225784;

(2).由贝叶斯公式，得

P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)P(B)?90/784225/784?25.

2. 解：(1).由????????f(x,y)dxdy???20dx?Ax(x?y)dy?8A?1，得A??xx18;

(2). fX(x)?

???f(x,y)dy??xx(x?y)8?xdy?x

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