五年级寒假第5讲-数论一（教师版） - 图文

第五讲 数论一

一、常见数字的整除判定方法

1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a〒b)．

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3〓4)∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；

1

例题1

173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 【分析】 用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷11=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9?2=)7、

(11?3=)8、(6?2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．

例题2

张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？

【分析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意

人数是减去1后是3的倍数)：1×312，312?1=311不是3的倍数；2×156，156?1=155不是3的倍数；3×104，104?1=103不是3的倍数；4×78，78?1=77不是3的倍数；6×52，52?1=51是3的倍数；8×39，39?1=38不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.

例题3

用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日．在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有_______个．

【分析】 三四月份的日期：960301~960331，960401~960430．我们把这些日期分类讨论三月份前四位的数

字和为9+6+3=18，所以只要后两位的数字和是3的倍数，那么这个六位数就是3的倍数．这样的数字有：03、06、09、12、15、18、21、24、27、30；四月份前四位的数字和为9+6+4=19，所以只要后两位的数字和除以3余2就可以．那么这样的数字有：02、05、08、11、14、17、20、23、26、29；综上，符合要求的所有六位数一共有20个．

例题4

在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的 两位数是多少?

【分析】 采用试除法.设六位数为11ab11，11ab11=11×10000+ab00+11=110011+ab00如果一个数能同时被

17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340LL191，余191也可以看成不足323?191=132．所以当ab00=132+323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n的末位只能是10?2=8，所以n只能是6，16，26，L验证有n=16时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．

2

例题5

a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是______．

【分析】 由于cdab是9的倍数，所以(a+b+c+d)能被9整除，由于abcd与cdab的各位数字之和相同，所以

abcd也是9的倍数；由于bcda是11的倍数，那么其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，也就是(b+d)与(c+a)的差能被11整除．所以abcd的奇数位数字之和(d+b)与偶数位数字之和(c+a)的差也能被11整除，也就是说abcd也是11的倍数．根据题意abcd是13的倍数，所以abcd是9，11，13的公倍数．9×11×13=1287，所以abcd一定是1287的倍数，又是四位数，可能为1287，2574，3861，5148，6435，7722，9009，其中7722，9009出现重复数字，可以排除；由于dabc是7的倍数，将剩余的数一一检验，发现只有3861满足这一点，所以abcd就是3861．

例题6

用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少？ 【分析】 因为168=8×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．

能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由例8知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数．

至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值．

所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．

例题7

某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，?，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【分析】 设第一户电话号是x+1，第二户的电话号是x+2，…．第12户的电话号是x+12．

根据条件可知x+i是i的倍数(i=1，2，…，12)，因此x是1，2，…，12的公倍数． 而[1，2，L，12]=27720，所以x=27720m．

又27720m+9是13的倍数，而27720除以13余数为4，所以4m+9是13的倍数，则m=1，14，27，…… 第9户的电话号码是27720m+9，是一个首位数字小于6的六位数，所以m取14合适； 因此这一家的电话号码是27720×14+9=388089．

3

例题8

一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，?，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？ 【分析】 这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20．

设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即8+6+b+d+0?(4+7+a+c+2)=b+d+1?(a+c)被11整除，可能是b+d+1=a+c+11、b+d+1=a+c、b+d+1+11=a+c．由于a、b、c、d四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是b+d+1=a+c+11，即b+d=a+c+10．所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．

由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件．

练习1

已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？

【分析】 本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1．

练习2

将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是______． 【分析】 23和19互质，所以它们的最小公倍数是23×19=437．1996÷437=4……248．也就是说我们最小

要加上437?248=189，才能使它们的和能被23与19整除．

练习3

有一个正整数它的数码为0或1，它可同时被45与4整除．请问满足上述条件的最小正整数是多少？ 【分析】 被45整除，即同时被5和9整除，根据被5整除的数的特征，这个数末位是0或5，而这个正整

数的数码只有0或1，所以这个数末位是0．根据被4整除的数的特征，它的末两位能被4整除那么这个数就能被4整除．所以这个正整数的末两位是00．被9整除的数它的各位数字之和能被9整除．所以至少有9个1．最小正整数是11111111100．

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练习4

六位数x1991y，能被52整除，那么x=_____，y=_____．

【分析】 因为52=13×4，则六位数是4的倍数，末两位也是4的倍数，y=2或6．

这个六位数也是13的倍数，根据7、11、13的倍数的特征，可以知道910+y?100x?19=891+y?100x=13×(68?8x)+7+y+4x是13的倍数．即7+y+4x是13的倍数，当y=2时，x=1满足条件．

练习5

从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 【分析】 本题采用试除法．

因为3，5，7，13的最小公倍数为1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645

(100000÷1365=73……355，100000?355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可．

有99645?1365=98280，98280?1365=96915．96915?1365=95550．95550?1365=94185． 所以，满足题意的5位数最大为94185．

练习6

把三位数3ab接连重复地写下去，共有2009个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数．求ab等于多少？ 【分析】 91=13×7，根据被7、13整除的数的特征，前n?3位数字组成的数与末三位的差是7、13的倍数．我

们以3ab3ab3ab为例，只要3ab3ab?3ab是7的倍数，那么3ab3ab3ab就是7的倍数，而3ab3ab?3ab=3ab000，要使它是7的倍数，只要满足3ab是7的倍数．被13整除也是这个情况．推广到2009个3ab也是一样的，只要3ab能同时被7、13整除，那么也能同时被7、13整除．399÷91=4L35，所以399?35=364是91的倍数，相应的ab=64．

练习7

六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？ 【分析】 05

练习8

5

有一个五位数可同时被9和11整除．若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可 得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个 五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？

【分析】 根据题意，设这个五位数为a3b5c；移除前三位后，95c，即9(5+c)，可得c=4；移除后三位后，9a3，

即9(a+3)，可得a=6．根据题意63b54能被11整除，根据整除的特征，那么6+b+4?(3+5)=b+2能被11整除，可得b=9．所以这个五位数为63954．

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