对傅里叶分析的认识与应用

对傅里叶分析的认识与应用

摘要：通过对傅里叶级数的学习与了解，我对傅里叶技级数的发现，推理与认识进行了归纳总结与演绎，并且在解决实际问题上进行了一些工作。 关键词：傅里叶级数；热传导方程；傅里叶分析

1. 引言

傅里叶级数通常指将一个周期为一的函数

??e?2?ikxf(x)表示为：

an??Ansin2?kx??Bncos2?kx的形式的变换，当然周期也可以是2?，

n?1in?12l,?什么的，都可以作此展开，而傅里叶级数中，中也有其完美的美学意义与历史价值，《死海古卷》里有句古话：“一个波动包含无数频率。”成分这也是对傅立叶级数的最好评价。更不用说用完美的正弦曲线绘制世界所给人带来的那种惊叹，周期运动，是宇宙中最常见的巧合。 2. 理论

对于傅立叶级数的得出，我会通过自身认识进行展出，对于sin2?t

周期为1

sin4?t周期为1，周期为1，不

变。看得出，共同的周期为1，和周期也是1.

?Asin(2?kt)??(t)根据我们的需要：N个k?1k

?sin2?k?cos?k?cos2?kt?sin?k因sin?k与cos?k中没有t，所以作为系数的一部分得?(akcos2?kt?bksin2?kt)，

k?1nN而为了有更为普遍的意义，这里加入一个常数项系数应用的更方便）。

a0（而这么写是为了以后2a0n??(akcos2?kt?bksin2?kt) （1） 2k?1a0更像是交流电路中的直流分量。 2一个函数用sinx与cosx表征，那么其实就是函数在sinx与cosx上的一种投影。就像f(x)在x上的投影为f(x)，一条函数的曲线在空间中可以向任意一些坐标进行投影（只有这些坐标之间正交才有意义）而在傅里叶分析中，f(x)在

sin2?kt与cos2?kt所形成的无限维希尔伯特空间上进行n次投影就得出了傅里

叶级数的各项系数。

2.1我们要证明这是一个合格的正交坐标系： 傅里叶级数将可能具有的系数：1,sin2?kx,cos2?kx 分别取：

1,sin2?kx ?sin2?kxdx?0

011,cos2?kx ?cos2?kxdx?0

01 sin2?kx,cos2?kx ?sin2?kxcos2?kxdx?0

01由此可以证明所有基底相互正交。

2．2证明所求系数为f(x)在基底上的投影长度。

在1上 a0??f(x)dx

01在sin2?kx上 an??f(x)sin2?kxdx

01在cos2?kx上 bn??f(x)cos2?kxdx

01在e2?ikx上 cn??f(x)e2?ikxdx

01从上式得出，系数便是一种希尔伯特空间的投影取值。 对于e2?ikxe2?ikx?cos2?kx?isin2?kx

e2?ikx?e?2?ikxe2?ikx?e?2?ikxcos2?kx? sin2?kx?

22ia0ne2?ikx?e?2?ikxe2?ikx?e?2?ikx则（1）式变为：??(ak?bk)

2k?122ia0nak?ibk2?ikxak?ibk?2?ikx???(e?e) 2k?122a0n???(cke2?ikx?c?ke?2?ikx) 2k?1?因为对称性原理c?k?ck

a0n???cke2?ikx 2k?1而对于其中一项系数cm列出cme同除得e?2?ikx2?ikx?f(x)??cke2?ikx-

k?mn---

cm?e积分：其

?2?imxf(x)??cke2?i(k?m)x

k?1n?10cmdt??f(x)e2?ikxdx??011n0k?m2?i(k?m)xedx ?中，

?10e2?ik?mxdx?11e2?i(k?m)?ik?mx10?1((e2?i(k?m)?ik?mx?e)?0

)cm??e2?imxf(x)dx

02.3总结：给一个f(x)，如果写出f(x)=?cke2?ikx

k?1nck??e2?ikxf(x)dx

01而f(x)?a0??an??bn是在cosx与sinx为基底的态函数，此时不考虑cosx与

n?1n?1??sinx同时为x的函数

两图中，f(x)不

发生变化，只有坐标发生了变化。

f(x,y)?f(cosx,sinx)这里事实上就是傅里叶变换的过程

二．对原方程的认识

这个图很不陌生，可以用振动方程的

2F定解条件来解：u(x,t)?02T??n?x01n?xn??t sinsincos?2llln?1n?我们可以化简为：u(x,t)??Bnsinn?1n?xn?t cosll当t?0时，u(x,t)??Bnsinn?1?L?xn?xB?是图中折线的傅里叶级数n?u(x0)sindx0ll?l)时因为如图：看得出，没有余弦分量，是奇函数，居然推出x?(0,

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