2014-11第4版姜启源数学模型复习总结(1)

第四版姜启源数学模型复习总结

第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，

数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。

数学建模实例的建模思想及其步骤 §1 数学模型的概念：

模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（ ）而得到的原型替代物。

1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（

）。

1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（ ） A。数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。

B。数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。

C。数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。

D。数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。 1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（ ） A。数学模型和数学建模是完全相同的概念。

B。数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。 C。数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。

D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。 §2 建模的重要意义

（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了; 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. 数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。 例1-2-1 数学建模的具体应用为（ ）。

§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位臵用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）

矩形椅子问题：（1）用?表示椅子对角线AC与x轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是?的连续函数。设相邻的A,B两点到地面的的距离之和为f(?)，C,D两点到地面的距离之和为g(?)，令h(?)?f(?)?g(?)，则h(?)是?的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位臵至少三只脚着地，不妨设??0时，f(0)?0,g(0)?0，h(0)?f(0)?g(0)?0。（3）将椅子旋转?，则A,B旋转到原来C,D的位臵，即AB与CDC,D旋转到A,B的位臵，的位臵互换，因此有

h(?)?f(?)?g(?)?g(0)?f(0)?0，

f(?)?g(0)?0,g(?)?f(0)?0，因此

即连续函数h(?)在[0,?]两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点?*使h(?*)?0,即f(?*)?g(?*)。因为f(?*),g(?*)至少有一个为零，因此f(?*)?g(?*)?0，即?*对应的位臵就是椅子能放稳的位臵。

例1-3-1 椅子放稳问题中椅子的位臵是用用（ ）来表示的，最后问题归结为（ ）。

例1-3-2 连续的零点定理可叙述为（ ）

1-4 实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。

例1-4-1商人过河问题属于（ ），该类问题三要素为（ ），在商人过河问题中，这三要素分别是（ ） 1-5实例3-施救问题。 药物排除过程-指数衰减方程：

dx???x,x(0)?x0，分离变量，积分得到，解dtx(t)?x0e??t。

吸收-排除过程的方程：

dy??x??y,y(0)?0。 dt求解过程：凑微分（完全积分法） 积分得到e?ty(t)?y(0)?dyd??y?x0e??t,(e?ty)?x0e(???)t dtdtx0[e(???)t?1]，因此 ???x0x[e??t?e??t]?0[e??t?e??t] ??????*y(t)?e??ty(0)?半衰期确定衰减系数：x(t*)?x0e??t?x0/2,??ln2/t* 例1-6-1 药物施救问题的微分方程模型为（ ），

其解为（ ） 例1-6-2

§7 建模方法与步骤

基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律 测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。

建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。

模型假设：分析影响因素，分析设臵变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。

模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。

模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。

模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。

模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。 模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。 建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译） 掌握框图：

四个环节：表述（Formulation)- 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题

求解（Solution)- 选择适当的数学方法求得数学模型的解答.

解释（Interpretation)- 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象. 验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答. §8 数学模型的特点与分类

特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。 分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。

表现形态分为：确定还是随机，静态还是动态，离散还是连续，线性还是非线性。

了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。

§6。建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。类比和悟性，实践性。

第2章：初等模型

§1 光盘的数据容量

CLV光盘：CCLV??LCLV，近似计算螺旋线长度：同心圆周长，环形区域面积计算LCLV??(R22?R12)d,平均周长近似LCLV??(R2?R1)R2?R12.d。

CAV光盘：取决于最里圈的密度，等效长度为2?R1对于给定的R2，求R1使容量最大。

R2?R1。 d12?R2RR1(1?1)，R1?R2。

2dR2§2双层玻璃模型建模。掌握分析变量关系和建立模型的方法，了解热传导关系表示。

单层和双层的热量 Q2?k1T1?T2， 2dT1?T2T?TT?TT?T2，Q1?k1 Q1?k11a?k2ab?k1bkldldd(2?.1)dk2Q1Q121??，取k1/k2?16，得到。 Q22?sQ21?8h§3划艇比赛成绩建模：掌握比例关系建模方法

np?fv,f?sv2,，s1/2?A1/3?n1/3，n1/3?v3，得到v?n1/9，进而得到t?n?1/9。

§4实物交换：掌握交换方案的确定方法。

无差别曲线（族）（在其上满意度相同，或效用函数值相同，效用函数等值性）。 无差别曲线的特征：单调减，下凸的

交换路径：甲乙两族无差别曲线族的切点构成交换路径。

交换方案确定：交换路径和等价交换线（价值等值线）的交点即为交换方案。 §2.5 均流池设计

问题：两个问题-恒定流出量与最大流量，形状设计。 1。恒定流出量和最大容量。

恒定流出量等于平均流量。最大容量计算，计算各时间的容量（初值值未定，取为零），考虑最大-最小即当容量。

最优设计问题：成本最小设计（等式约束优化问题）

S(l,w)?340lw?250(2l?w)?450w,s.t.lw?372 求解（消元法，乘子法）

§2.9 天气预报的评价

给出4种预报方法有雨概率和实际观测结果（有雨vk?1,，无雨vk?0），评价优劣

（1）计数模型-把概率进行0,1处理，计算准确率，该方法未考虑具体的概率值。 （2）计分模型-考虑对预报概率进行赋分：

?pk?0.5,vk?1（1）sk??，（2）sk?|pk?vk|，（3）sk?(pk?vk)2

?0.5?pk,vk?0

第3章 连续优化模型

§1 存储模型。掌握推导不允许缺货情况下的订货模型并求解；推导增加购买货款情况下的建模求解问题（习题1）；建立允许缺货情况的订货模型；建立生产销售存储模型（习题2）。

不容许缺货的存储模型：订货费和存储费，每天的费用

c(T)?c1QTc1rT2c1r2c1**，求解得到T?， Q? ?c2??c2c2T2TT2c2r允许缺货的存贮模型：订货费+贮存费+缺货费，订货周期T，订货量Q的二元函数：画图表示：开始缺货时间T1?Q/r，

QT1r(T?T1)2Q2(rT?Q)2总费用C?c1?c2 ?c3?c1?c2?c3222rrc1Q2(rT?Q)2平均每天的费用C(T,Q)? ?c2?C3T2rTrT求导得到：T??T,Q?Q/?,??'*'*c2?c3。c3??相当于容许缺货。 c3§2 最优生猪出售时间模型：掌握利润建模优化方法，掌握求解对参数的敏感性系数方法（敏感性分析方法）。 利润表示Q(t)?p(t)w(t)?c(t) 最优时间t满足：p*'(t*)w(t*)?p(t*)w'(t*)?c'(t*)，

利润最优性条件：边际收入=边际支出。

t*?t*(g,r)依赖于参数，相对敏感度系数（弹性系数，百分比）

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