数学建模内部范文 - 电子科大 - 图文

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京沪线客货列车调度的优化模型

摘要 本文通过合理的假设，设计出客货车安全运行的计算规则，建立了京沪线客货车调度的优化模型。

首先，在模型一中，对现行列车时刻表进行分析，按照安全要求，确定目标函数，制定约束条件，确定可行域，找出最优解，从而得出从济南到徐州段的下行线最多可安排货车79列，上行60列。并绘制出相应的“列车运行图”。

其次，在模型二中，我们建立了增开临时客车的线性规划模型。用隐枚举法求解得到北京至上海、北京至南京、天津至上海、北京至合肥、天津至青岛的五对临时客车在京沪线区间的列车时刻表及运行图。

最后，在模型三中，对列车晚点问题进行实时的调度。我们采用分类讨论法，按速度不同将列车分成四类，确定不同列车组的调度方案，选取从北京驶出的T25至K101/104共5辆列车进行模型检验，并就该调度方案的实际意义进行了分析。

我们对上述三个模型进行了评价，并给出了模型的改进方向。

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一、问题分析

我国铁路自1997年以来先后进行了5次大提速，以前客车的最高时速为60至80公里/小时,到2004年4月18日的第5次提速后,京沪等部分干线客车的最高时速达到了160公里/小时至200公里/小时。京沪线是我国最繁忙的铁路线之一，贯通北京至上海，途经40多个城市，全长1463公里。目前全线采用上行线和下行线独立双向客货混运的运行方式，其中分别运行着175趟和176趟客车，最高时速160公里/小时。

问题（1），在特定区段内，根据现行的列车时刻表最多能安排多少货车，我们采用插空的方法来建立数学模型。根据铁路安全规程的要求，既有线路同方向相继列车的间隔时间不得少于7分钟，所以要能安插货车，即在两列客车之间的间隔时间至少大于等于14分钟。并且满足每一列货车比前一列客车至少晚到站7分钟，同时比后一列客车至少早到站7分钟。满足上述约束条件的情况下，以济南到徐州段为例安排货车。以一天为限，只要有一列货车从济南出站，即认为有一个货运量。用MATLAB编程求解出最多的货运量并制定相应的“列车运行图”。

问题（2）的要求可具体为在现行列车时刻表的情况下，如何安排临时客车，才能使货车的货运量最大。对于加开临时列车，也用插空的思想。先不考虑有货车的情况，假设客车在个个站不停顿，则不存在两列客车的追赶相碰问题，也即在任意两列客车的间隔时间≥14分钟，就能至少安插一列临时客车。在每种情况下，找出临时客车运行时间最短，留出最多时间供货车运行最优方案。

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二、变量说明

1、模型一的变量说明

t1 ：前一列客车在某站的发车时间 单位：小时(h)；

t2 ：后一列客车在某站的发车时间 单位：小时(h)；

t3 ：前一列客车到达相继一站的时刻 单位：小时(h)； t4 ：后一列客车到达相继一站的时刻 单位：小时(h)；

t ：两列客车之间货车的发车时间 单位：小时(h)；

k ：t的可行区间长度； d ：两站之间的距离 单位： 公里(km)；

v ：货车的速度 单位：公里/小时 (km/h)； Zi ：在研究区间内客车的数目； Xi ：某站可发出的货车数目； Yi：某站可发出的最大货车数目；

M：货车总的最大发车数目。

2、模型二的变量说明

t1 ：前一列客车A

在始发站的发车时间 单位：小时(h)；

t ：临时客车在始发站的发车时间 单位：小时(h)； t2 ：后一列客车B在始发站的发车时间 单位：小时(h)；

ti ：其它客车到终点站的时刻 单位：小时(h)； v1 ：前一列客车A的平均速度 单位：公里/小时 (km/h)；

后一列客车B的平均速度 单位：公里/小时 (km/h)； v2 ：

临时客车的平均速度 单位：公里/小时 (km/h)； v ：

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d ：某站距始发站的距离 单位：公里（km）。

3、模型三的变量说明

t： 缓冲时间间隔 单位： 小时（h）

rIB： 列车的标准追踪时间间隔 单位： 小时（h） ： 列车的晚点时间 单位： 小时（h） ： 列车组在实际运行中的间隔时间 单位： 小时（h） ： 列车A的运行速度 单位： 公里／小时（km/h） ： 列车B的运行速度 单位： 公里／小时（km/h）

twI（t）VVtAAB： 列车A的在第i站的发车时间 单位： 小时（h） ： 列车B的在第i站的发车时间 单位： 小时（h）

Mttt

BVM： A、B中高速列车的速度 单位： 公里／小时（km/h）

： A、B中高速列车在第i站的发车时间 单位： 小时（h）

NVN： A、B中低速列车的速度 单位： 公里／小时（km/h）

： A、B中低速列车在第i站的发车时间 单位： 小时（h）

d： 两站之间的距离 单位： 公里（km）

i

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三、基本假设

1、客车在每一站不停车，而货车要停车； 2、每列客车均以同一速度运行；

3、在确定发车和到站的时刻下，临时客车和货车可自动调节与相邻两列车的间距，以保证安全；

4、实时调度的影响最少，即认为调整的车辆数目最少； 5、不考虑不可抗拒因素（暴雨，地震等）造成的火车晚点。

四、模型建立

模型一

设任意到相继两站的发车时间为t1，t2，到站的时间为t3，t4 。货车的发车时间为t。货车的速度为v(km/h) 。k表示t的区间长度。Xi表示某站可发出的货车数目，Yi表示某站可发出的最大货车数目，M表示货车总的最大发车数目。

根据安全条件，其关系如图所示

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建立目标函数 ??Yi?max(Xi)

?M?min(Yi)7?t?t?1?60??t?t?72?60??t?d?t3?7?v60 s. t. ??t?d?t?74?v60?k?Xi??17??7?Xi?Zi5? 模型二

假设两列客车A,B的平均速度分别为v1 km/h,v2 km/h ；从始发站发车的时间分别为t1 h，t2 h。安插在两列客车之间的临时客车的平均速度为v km/h，从始发站发车的时间为t h。某站距始发站的距离为dkm。ti表示其它客车到该站点的时间。

如图所示

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建立目标函数 Z?min()

7?t??160?t??t?7?t2??60 s. t. ? d14d7d?t1???t???t2?v60v60v2?1?dd?ti?(?t,?t)?vmaxvmin?dv 模型三

设两辆在相邻两站的最大速度为

Vmax，则只要求两站之间列车晚点的

时间于列车一最大速度运行这段距离的时间之和小于连车实际的运行时间即可 ，如图所示。 模型如下：

tw＋dVi?It

max

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五、模型求解

模型一

根据现行时刻表，将每列客车从始发站的发车时间按时间的先后顺序排列。找出每两列客车之间的间隔时间，判断是否满足大于等于14分钟。

例如从济南至徐州的客车，第一列客车在始发站的发车时间为00：07，而第二列的发车时间为00：18，其间相隔11分钟，小于14分钟,不符合要求。又如列车的发车时间是15：03，下一列客车的发车时间为15：57，间隔54分钟大于14分钟，可以安插4列货车，分别在15：09，15：16, 15:23, 15：30。用Matlab编程，找出货车可行的发车时间，计算最大货运量并且给出货车安排表，绘制相应的客车、火车运行图。（求解结果与相关程序参见附件1至5）从济南到徐州的下行线最多可安排货车79列，上行线60列。

济南到徐州客车运行图(下行)

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模型二

问题（2）的要求可具体为在现行列车时刻表的情况下，如何安排临时客车，才能使货车的货运量最大，从而达到题目中“尽量减少因加开临时客车对货车影响”的要求。

客车的最高时速可达160公里/小时，而平均速度为120公里/小时。若临时客车以120公里/小时全速前进，并且始终保持与前一列车相距7分钟，也即与前一列车同步调。这种情况下，能安排的货车最多。

用Matlab编程求解，得到北京至上海、北京至南京、天津至上海、北京至合肥、北京至青岛的临时客车的发车时间（下行）分别为00：07，00:00, 20:50, 15:07, 16:29。（具体求解结果与相关程序参见附件6、7）

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模型三：

将所有列车分成四大类：

第一类：Zxx，Txx ；第二类：Nxx，Kxx ；第三类：xxx ；第四类：货车。 情况一：当两辆车都是同种类型时，如图所示：

当tw＜tr时，有于列车A于列车B之间在标准间隔时间的基础上预留了一个缓冲时间tr，因此列车A的晚点不会波及B的正常行驶．

当tr＜tw≤2tr时，如图3所示。由于列车A和列车B之间有一个缓冲时间tr，因此列车A的晚点会使列车B晚点，且A的晚点只影响列车B。

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此种晚点可采取“先让列车A提速，然后将列车B提速”的策略来恢复正点运行。

具体方法：假设列车A的前行列车为同类型的列车，并设SB、Sw分别为标准间隔时间IB和晚点时间tw所对应的距离。因为同类型列车的速度相同，则：

SB＝Sw 故有 Sw＝SB?tw

IBIwSB设经过一段时间t后，A车恢复正点运行，则有t?SwSBTw有?vA?vIB(vA?v)此式可知要恢复正常运行的时间最短，vA的值要尽可能大。若要影响最小，则最多只能影响后续一列列车。否则则该车应走备用线、停运的方法并且A无法恢复正点运行。

情况二：当前一辆是高速列车，后一辆是低速列车时，如图：

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在中速列车发车时取最小值Imin＝IB＋tr，在高速列车到达前方车站时达到最大值Imax，I(t)?vA(tB?tA)?(vA?vB)(t?tB)由于高速列车于低速列车

vB之间的间隔随时间的增大而增大，故可用I来进行调整。可采取压－（t）Imin缩区间运行时间或压缩停站时间来恢复列车的运行。

情况三：当前一辆是低速列车，后一辆是高速列车时，如图：

由上题同样分析，I(t)?vB(tA?tB)?(vB?vA)(t?tA)由于高速列车于低速

vA列车之间的间隔随时间的增大而减小。若低速列车A在时间间隔［tA，tB］那造成B车的晚点，则列车B在进入区间时，与列车A的追踪间隔时间为

IB，列车B根本无法正常行驶，否则会造成追尾事故。现在可采取“高速

列车B在车站i越行低速列车A”的调整策略。

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当然，按照实际要符合货车无条件避让客车的原则，这里就不再讨论货车晚点的情况。

综合上述分析，现在题目要求当得知某客车在某站晚点的情况下，给出影响尽量小的，根据假设，把只调整晚点列车作为最小影响的调整方案，根据模型得出其在每一站最多的允许晚点时间。具体的调整方案是：当实际晚点时间小于允许可晚点时间时，提高该列车的速度就可以在下一站使得客车重新准点运行；当实际晚点时间大于最多的允许晚点时间，则该车在本站让后车先行，后车加速按前车时刻表运行，前车随后按后车时刻表运行。

六、结果分析

1、对货车的速度的分析

货车的速度越快，理论上在容许的范围内可安排更多的货车。若货车以80公里/小时运行，则货运量120多列，货车与客车的运行数量比例大于2：1。此时铁路干线拥挤繁忙，甚至可能导致瘫痪。已知目前主要铁路的客货车数量之比大约为7：5（1.4：1）小于2：1，所以并不是速度越快越好。考虑速度为65公里/小时，拟合出的数值上、下行分别为60，79，与实际更相符。 2、对客车、临时客车的限制

由于安全要求的约束，对客车有一定的限制： (1)不考虑客车在站点的停顿时间

此时线路上客车均以同一速度运行，速度不能大于其平均速度，以最大客

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运量为目标规划，在Matlab编程求解（源程序见附件），得到该条件下的最大客运量为上行60列，下行79列。 (2)临时客车不赶超前面的客车

此时线路上的客车速度快，临时客车就快；客车速度变慢，临时客车就以相应的速度保持与前后两列车之间的间距为7分钟。 3、对列车晚点的实时调整分析

例如，附件8为截取的一段客车时刻表，假如T25在廊坊站晚点3分钟，小于其在廊坊站的最多晚点时间，此时就可以让T25提速，准点到达下个站点；假如K258/255在天津北站晚点两分钟，大于最多的允许晚点时间，则K258/255在天津北让K101/104超过，自己走K101/104的时刻表，而K101/104加速走K258/255的时刻表。因此，可以认为调整方法有两种，一是晚点车加速赶上正点，二是晚点车避让正点车。

1、实际情况中还可以通过压缩停站时间来补回晚点所耽搁的时间，这其实是加速调整方案的变种。一般来讲情况一和情况二的晚点调整采用此方法。

2、前车避让后车的调整方案一般用于情况三的晚点调整，若非要求对所有列车的整个时刻表影响最小，一般不采用这样的调整方法，因为采用此法后，前车的乘客一般很难再准点到达目的地了。

如下表分析所示

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车次/站点 T25 K51 T63 K258/255 K101/104 北京 北京南 丰台 黄村 廊坊 杨村 天津北 天津 天津西 杨柳青 22.00 22.04 22.09 22.18 22.41 23.01 23.16 23.18 23.24 23.32 22.25 22.30 22.38 22.50 23.21 23.50 0.09 0.12 0.20 0.32 22.41 22.44 22.50 22.59 23.21 23.41 23.55 23.57 0.03 0.11 23.19 23.24 23.31 23.43 23.30 23.34 23.42 23.53 0.12 0.21 0.38 0.46 0.57 1.04 1.00 1.07

天津北 133 1396 1449 1435 1497 1504 天津北 4 2 1.5 3 2 2 1.5 3 2 3 2 0.5 1 0.5 1 1 天津 137 1398 1452 1437 1500 1507 天津 10 6 1.07 1.14 天津西 147 1404 1460 1443 1507 1514 天津西 15 8 1.18 1.25 杨柳青 162 1412 1472 1451 1518 1525 杨柳青 27 16 用距离零点的分钟数表示到站时刻（方便分析）

车次/站点 距离 T25 K51 T63 K258/255 K101/104

北京 0 1320 1345 1361 1399 1410

北京南 7 1324 1350 1364 1404 1414

丰台 17 1329 1358 1370 1411 1422

黄村 33 1338 1370 1379 1423 1433

廊坊 72 1361 1401 1401 1452 1461 廊坊 36 20 杨村 108 1381 1430 1421 1478 1486 杨村 25 15 客车晚点分析表 每两站的距离差 每两站标准时间差T25 每两站间T25最少的运行时间 每两站标准时间差K51 每两站间K51最少的运行时间 每两站标准时间差T63 每两站间T63最少的运行时间 每两站标准时间差K258/255 每两站间K258/255最少的运行时间 每两站标准时间差K101/104 每两站间K101/104最少的运行时间

北京 7 4 2.625 5 3.5 3 2.625 5 3.5 4 3.5 北京南 10 5 3.75 8 5 6 3.75 7 5 8 5 丰台 16 9 黄村 39 23 6 14.625 12 8 9 31 19.5 22 13.5 9.375 29 18 20 19 12.5 14 3.75 5.625 10.125 8 5 6 12 7.5 8 21 13.5 15 6 14.625 12 8 11 8

29 19.5 28 19.5

13.5 9.375 26 18 25 18

19 12.5 18 12.5 3.75 5.625 10.125 7 5 7 5

11 7.5 11 7.5 5.875 7.5 4.875 6.5 5.5 20 13.5 19 13.5 客车在每一站的最多晚点时间

允许T25的最多晚点时间 允许K51的最多晚点时间 允许T63的最多晚点时间 允许K258/255的最多晚点时间 允许K101/104的最多晚点时间 1.375 1.5 0.375 1.5 0.5 1.25 3 2.25 2 3 3 4 3 4 3 8.375 11.5 7.375 9.5 8.5 6.5 5.625 11 6.5 2.25 2.375 3 4.5 6.5 4.625 8 7 6.5 5.5 2.25 2.375 2 2 3.5 3.5

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七、模型的评价与改进

1、模型一、二采用插空的方法，简化了计算，而且将列车的停站时间平均到运行时间中，这并不回应相对实际问题的分析，模型二中临时客车的速度是随着它所跟随的客车来变化的，这就保证了对货车的影响最小。 2、在实时运行中，考虑到旅客的利益和运输的利益，可能采取速度快的车优先的原则。

3、本模型采用的客车时刻表是用起止时刻做直线（假设客车中途不停站）得到的，与实际情况不符，更精确的模型应该基于现行的列车时刻表（考虑客车中途停站），并且静态调度和动态调度相结合的方式，综合完成列车调度。

八、参考文献

1、王宏刚 交通运输工程学报 第4卷第1期

九、附件清单

附件1：求解货车最大客运量的MATLAB程序（文件名：huoche.m charu.m）

附件2: 货车最大客运量的计算结果及发车时间(文件名：济南到徐州货

车安排、 徐州到济南货车安排、货车运行图下行（济南—徐州）、货车运行图上行（徐州—济南）)

附件3: MATLAB绘制的货车运行图以及相关程序（文件名：徐州到济南货

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车运行图（上行）、济南到徐州货车运行图（下行）、hcyunxing.m）

附件4：MATLAB绘制的客车运行图以及相关程序（文件名：徐州到济南客

车运行图（上行）、济南到徐州客车运行图（下行）、kcyunxing.m）

附件5：Lguo软件绘制的客车运行图（文件名：运行图1、运行图2） 附件6：求解临时客车安排表的MATLAB程序（文件名：linshikc.m） 附件7：临时客车安排表与运行图（文件名：临时客车运行图（上行）、

临时客车运行图（下行）、临时客车安排表（上行）、临时客车安排表（下行））

附件8：实时调整资料（文件名：列车晚点实时调整）

（具体附件略）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rymw.html