第八章欧氏空间简介

批 第八章 欧氏空间

本节恒设为实数域。

定义1 设是上的向量空间。如果有一个规则，使得对于中任意向量唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。 1

都对应中

2

3

4 若则称

为向量与的内积。而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。

第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所

有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。

又如，设是定义在闭区间意二向量

，对应

上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任

则便成为一个欧氏空间。这是因为对任意及实数，均有

同时，若不是零函数，则

故规定的对应是与的内积。

命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有：

(1)

(2) (3)

证明 由定义1知

而由

知

。证毕。

由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有

现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为

定义2 非负实数称为向量长度，记为。

由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的（3）知零向量的长度为0。除此之外，还有 命题2 对任意实数及

，有

其中

表的绝对值。

由此

即知。

定理1 对欧氏空间中的任意二向量

恒有

而等号成立的充分必要条件是 证明 当是由

线性无关。

，于

线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设

知

当

线性无关时，对任意负数均有

，从而

并即

因此必有

这也就是，所以

这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。

定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量

证明 由定理1得

均有

故

把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式

由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量

，恒有

因此

有意义，而亦称为与的夹角。 特别地，当时，就是说由此易知有下述二命题成立。

正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。

命题3 设是欧氏空间的一个向量，那么中所有与正交的向量构成的一个子空间。称之为的正交子空间。记为

。

命题4 设是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与中每个向量均正交的向量构成的一个子空间。称之为的正交子空间，记为

。

因为欧氏空间的每个子空间在的内积下仍满足定义1中的四个条件，所以，欧氏空间的子空间仍为欧氏空间。

以下若不特别声明总假设为维欧氏空间。而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五章§2定义3推广为

定义3 欧氏空间中的向量组说是正交的，如果该组中任意两个向量均正交。

规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为1，则

说这是一个标准正交组。

采用第五章§2命题1的同样证法有

命题5 若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。

由此可见，中任意标准正交组必为线性无关的向量组，从而所含向量个数不能多于个。特别地，若中有一个标准正交组合恰含个向量，则其便构成的一个基底，而称之为标准正交基底。

第五章节2，我们曾介绍了把一组线性无关的向量化成与之等价的标准正交向量组的方法，即所谓正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此，我们有

定理3 如果为标准正交组。

是一个标准正交组，而，则必有，使仍

此由上一章§3定理4及上面的说明即知。

定义4 设和都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有到做为一般向量空间的同构映射，使对任意的

，均有

则说是欧氏空间到的同构映射。若有欧氏空间到的同构映射存在，则称做为欧氏空间与同构。

定理5 在维欧氏空间的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应就是到实数域上的元列空间

的一个同构映射。

证明 由上章§3定理10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。

现在来看内积的对应。设为

是的标准正交基底。任取，设的坐标分别

由于，即知

可见这个对应满足定义4中的条件，因此，它是欧氏空间到的同构映射。

推论1 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

事实上，做为向量空间，同构即已意味着维数相同。反之，若二欧氏空间为，则二者均与

同构，从而二者亦同构。

的维数都

推论2 在一标准正交基下，中任二向量的内积等于其坐标的内积。

推论3 设为的一标准正交基底，，且

则为标准正交组的充要条件是的列构成的一个标准正交组。

推论4 设为的一标准正交基底，，且

则为的标准正交基底的充要条件是为正交矩阵。

定理6 若上三角矩阵，使

是欧氏空间（不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线

而是标准正交组。

证明 设矩阵，使

，则维。再设为的一标准正交基底。则有列满秩

由第五章§2定理2知有正线上三角矩阵使

为正交矩阵。用右乘上式得

由定理5推论4，是一标准正交组。证毕。

定理7 设是维欧氏空间的一个子空间。那么，必有

证明 若

，则

。若

，则

。无论何种情况都有

下面设是维子空间其扩充成的标准正交基底

是的一个标准正交基底。由定理3，可将

令，则

现在来证明恰为的正交子空间。一方面，的每个向量都与的所有向量正交。另一方面，如果有

，它与中所有向量均正交。则当

时有

。故若设

则在两边与做内积后便可得到

从而

。 这就说明了恰为的正交子空间，证毕。

布置作业: p393.1.2.3.4.5.16.17.补充题：3。4。5。8。

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