圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）的定义、方程和性质知识总结

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0?e?1时，表示椭圆；当e?1时，表示双曲线；当e?1时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2??2px?p?0?，

x2??2py?p?0?，其中：

① 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；

p2等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。

三、求抛物线标准方程

求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.

① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。

注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y?ax或

x22?ay，这样可避免讨论。

② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

四、抛物线的简单几何性质 方程 性质 设抛物线y?2px?p?0? 2焦点 范围 对称性 顶点 离心率 准线 通径 ?p?F?,0? ?2?x?0 关于x轴对称 原点 14e?1 x??p2 2p 注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的；

② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，

数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。

五、直线与抛物线有关问题

1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如ax2?bx?c?0（*）的式子：

① 当a?0时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；

② 当a?0时，若△＞0?（*）式方程有两组不同的实数解? 直线与抛物线相交； 若△=0 ?（*）式方程有两组相同的实数解? 直线与抛物线相切；

若△＜0?（*）式方程无实数解? 直线与抛物线相离.

2．直线与抛物线相交的弦长问题

① 弦长公式：设直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB?或AB?1?11?kAB2?xA?xB

?yA?yB. 2k② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：

抛物线y2??2px?p?0?上一点M?x0,y0?的焦半径长是MF??x0?x2p2，抛物线

??2py?p?0?上一点M?x0,y0?的焦半径长是MF??y0?p2

六、抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB为过抛物线y??2px?p?0?焦点的弦，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，直线AB的倾斜

2角为?，则

① x1x2? ② AB?p242p2,y1y2??p；

2sin??x1?x2?p；

2③以AB为直径的圆与准线相切；

④弦两端点与顶点所成三角形的面积S?AOB?⑤

1FA?1FB?2pp2sin?；

；

0

⑥ 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90；

七、抛物线有关注意事项

1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而

不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视??0这个条件。

2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.

1.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线?的方程为_____________. 解

析

：

抛

物

线

的

方

程

为

y?4x2，

2??y1?4x1A?x1,y1?,B?x2,y2?,则有x1?x2，?2??y2?4x2两式相减得，y1?y2?4?x1?x2?，?22y1?y2x1?x2?4y1?y2?1

?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x

2.（2009天津卷理）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则?BCF与?ACF的面积之比

45234712S?BCFS?ACF=

（A） （B） （C） （D）

【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。 6C42F: (0.51, 0.00)AF-5510x=-0.5-2B -4-6解析：由题知

S?BCFS?ACF?BCACxB??xA?12xB?12， ?12xA?12又|BF|?xB?12?2?xB?32?yB??3

由A、B、M三点共线有

yM?yAxM?xA?yM?yBxM?xB即

0?2xA3?xA?0?3?332，故xA?2，

∴S?BCFS?ACF?2xB?12xA?1?3?14?1?45，故选择A。

3.（2009福建卷理）过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45?的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p?________________ 【答案】：2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为y?x??y2?2px2p?2?0，又AB??p?x?3px?4?y?x??2p2，联立有

(1?1)(3p)?4?22p24?8?p?2。

4.在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。 （1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点M(m,0)(m?0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式。

【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。

25.已知m是非零实数，抛物线C:y?2ps（p>0）

的焦点F在直线l:x?my?m22?0上。

（I）若m=2，求抛物线C的方程

（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA2F,△BB1F的重心分别为G,H

求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。

7已知抛物线C：y?2px(p?0)过点A （1 , -2）。 （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，

2且直线OA与L的距离等于55？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。

（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)

已知抛物线C:y?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

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